Les grandeurs géométHqaes et te calcul

tS2. — Nous avons vu, dans les derniers paragraphes du chapitre précédent, que l'analyse uiâme de la notion de nombre, allant de pair avec les exigences des sciences appliquées, nous oblige à élargir le cadre primitif de l'arithmétique. A câtc des calculs exacts nous avons Tait une place aux calculs approximatifs. Or c'est dans les problèmes de mesure géométrique que ces calculs se sont présentés à l'homme pour la première fois. 11 importe donc de nous demander, dans quelles conditions, au juste, la science du calcul peut être appliquée aux grandeurs géométriques.

Nous savons que les grandeurs sont, avec les figures, l'objet d'une science théorique que l'on appelle 7cfo/n(-/f7V. Celte science, — qu'il ne faut pas confondre avec l'art empirique des géomètres orientaux ('}, recueil de recettes pratiques, plus ou moins exactes (cf. n° 71) — , cette science spéculative et désintéressée, naquit en Grèce comme la science des nombres. Sirur jumelle de l'arithmétique pythagoricienne, elle en partage la perfection et lui est si semblable par la nature des facultés qu'elle met en jeu que l'on

(') Etymologiqucment parlant, la gcométrie, art de mesurer le sol, «t l'arpentage. Mais, de mgme que la logistique (utrf«, p. lai, note i) l'arpentage (qui porte lo nom do géodésie} fut rejeta par les Grecs hors de la science proprement dite, et le mot i géométrie u prit la sens d'i étude spéculative des grandeurs et des figures i (cl. i6^|.

LES GRANDEURS GfiOH^TItlQOES ET LE CALCUL 63

Appelle souvent du même nom « géomètres ■>, ceux qui s'adonnent h l'une ou h l'autre science (').

Quels liens y a-t-i\ entre les deux sdences sœurs? C'est ce dont nous allons nous rendre compte en étudiant dans le présent cbapitre la tliéorie des grandeurs.

Il noas faudra, il est vrai, supposer connues certaines propriétés des figures qui ressorlîgsent en droit k notre ctiapitre m. Mais ces propriétés «ont ai simples et elles nous sont à tous si familières que le lecteur voudra bien nous autoriser k les regarder comme acquises. En fait elles furent, |4us ou moins consciemment, utilisées par les hr»nmes primitifs longtemps avant que ne s'ouvrit l'ère de la démonstration et de la science rationnelle. Et les géomètres grecs, eux-mêmes, ne chercbérent pas tout d'abord i les analyser (*), mais les acceptèrent d'emblée comme point de départ de leurs déductions. Il nous sera donc permis de les admettre k notre tour, afin de pouvoir étudier tout de suite cette pseudo-géométrie, prolongement direct de l'arithmétique, où la ligure n'intervient cpa'i titre accessoire et sous une forme aussi réduite que possible.

83. LoogneurB r«oUUgnea. — Le type par excellence de la grandeur géométrique est la longueur rectîligne, c'est-è-dirc la longueur d'une ligne droite (') limitée, ou, plus précisément, d'un segment recltligne (portion de liroite) compris entre deux jNiints A et B. C'est à oe type de grandeur, le plus simple et le plus clair, que les mathématiciens s'eiTorcent de ramener toutes les autres.

[<] C'est en ce t d'apris la légende, n'est géomètro.

(>) Voir, lur la définition logique des figures élémentairea le Deuxième ïivrt, chap. V,

(*j C'e*t à dessein que nous ne donnons, dans ce paragraphe, aucune déllnitiaD de la ligne droite et da plan. Nous avons de cei notions premières une vue intuitive, que nous ne pourrions qu'obscurcir en cherchant à en donner prématurément une définition logique. Une droite, e'est une règle sans épaisseur ; un plan, c'est, par exemple, un tableau noir ou une feuille de papier. Euclidb lui-même ne nous donne, dans son système de géométrie [voir ch. m, § A) aucune explication logique des notions premières et de leurs propriétés, mai» se borne à spécifier quelles sont cellei dont il a besoin pour édifier ses i Eléments >.

La notion de longueur rectîligne (') présente certains caractères qui la rapproclient de la notion de nombre.

Etant données deux longueurs (deux segmenta de droites) AB et

CD quelconques (fig. s), on peut dire si elles sont égales ou îné-

ijales: elles sont égales (ou (ongruenles) si elles sont exactement

superposables, c'est-à-dire sî, en déplaçant l'une d'elles, on peut

^ y l'amener à coïncider avec Vautre; lorsqu'elles sont

inégales, on peut dire laquelle est la plus grande ;

^ ° on peut faire la somme ou la différence de deux

'*' '■ longueurs en les plaçant bout à bout le long

d'une mâme droite; enfin on peut (/l'ni'scr une longueur donnée en lia nombre donné de parties égales. Ce sont ces caractères arithmétiques (') des longueurs qui nous permettront de les mesurer.

Nous retrouverons les niâmes caractères arithmétiques (donnant lieu aux marnes opérations) chez les diverses grandeurs qu'étudie la géométrie. Montrons-le par quelques exemples fondamentaux.

64. AngIflB. — On api^clle angle la figure formée par deux demi-droites (') issues d'un m^me point 0. Ces demi-droites sont appelées côtés de l'angle ; le point 0 est appelé sommet. Marquant sur la première demi -droite un point quelconque A, sur la seconde demi-droite un point quelconque B, je puis regarder l'angle comme

(<) On remarquera qu'une longueur rcclilignc telle que AB est indépendante do la position particulière qu'occupe dans l'espace le vegmenl de droite AB. Si nous dËplaçons ce segment et lui faisons occuper dc« positions diverses, nous avons toujours afTaire à une seule et mime longueur. Au contraire, par les mots « droite o, « gemment reetiligne », nous entendons toujours une droite ou un serment )ilui» dans l'espace.

{') Nous passons sous silence les caractères fo nd amen tau .\ qui sont, pour te sens commun, inséparables de la notion de longueur, mais qu'EucLiDE et lc9 géomètres grecs prenaient soin d'énumérer sous forme d'axiomes et que les logiciens contemporains ont analysés avec plus de précision encore. Ainsi : Les grandeurs igalea à une mime grandeur sont égale» entre ellet ; ai à dtt grandeurs égales on ajoute des grandeurs égales, les toula seront égaux ; et ainsi de suite [les exemples que nous citons sont les deux premiers axiomes, ou notions communes, v.o-.vii ivitlii d'EuclideJ. Nous reviendrons plus loin sur ces axiomes (voir i^eiuiém» lie, chap. V et Troisième dV., chap. ii).

(^) Etant donnée une droite qui passe par un point 0, cette droite peut être prolongi/e indérinimcnl de part et d'autre du point 0. J'appelle demi droite la portion de la droite qui est située tout entière, soit à droite, soil à gauche du point 0.

LSS GRANDEURS GÉOUÉTRIQUES ET LE CALCUL 65

défini par les trois points A, 0, B, puisque les deux points 0 et A définissent une droite OA (le premier côté de l'angle), et pareillement les deux points 0 et B une droile OB (le second calé de l'angle); je désignerai donc mon angle (') par les trois lettres AOB, la lettre relative au sommet étant placée entre les deux autres ; mais je me garderai d'oublier que le clioix des points A et B sur les côtés de l'angle est arbitraire (').

5 ■ sTi

►•ig. 3. Fig. 4.

Un angle est plus ou moins grand suivant que ses côtés sont plus ou moins écartés. Un angle est donc une grandeur.

Nous regardons comme le plus petit angle possible celui dont les deux côtés sont confondus (fig. 4<i] et comme le plus grantl ang\e possible celui dont les deux côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre (sur une même droite (fig. M>)).

Deux angles sont étfaux (congiuents) lorsqu'ils sont exactement superposables ; il en est ainsi, par exemple, pour les angles AOB, A'OB' (fig. 5), dont les côtés sont en prolongement les uns des autres ; ces angles sont dits <i op~ posés par le sommet (') n. — Etant donné deux angles inégaux, l'un est nécessairement plus grand que l'autre.

On peut faire la somme de deux angftes. En fis- SelTet, étant donnés deux angles quelconques, nous pouvons toujours

[') Loraqu'aucuno confusion n'est à redouter, on désigne souvent uu angle par une seule lettre, celle qui se rapporte au sommet.

(') D'une manière générale, lorsque noua désignons une droite — telle que OA — par deux de ses points, nous entendons parler de la droite indéfiniment prolongeable. Lorsque nous ne prenons en considération que la portion de droite limitée aux pointa 0 et A, nous <ltsons i segment OA » et non i droite OA »,

(') En latin, les traducteurs d'Euclide, appellent ces angles i anguli verticales ou ad ttriicem i, c'est-à-dire e angles au sommet >. On peut, do plusieurs manières, amener les deux angles AOB, A'OB' à coïncider. On peut, par exemple, plier la feuille de papier, en rabattant la partie droite de la figure 5 sur la partie de gauche autour do la i charnière > Ty (bissectrice) : OA' vient couvrir OA, OB' vient sur OB.

BouiiDUi. — b» Priecipu Jg I'AcsIjih mjthinuliqi». 5

6€ LES SHiTIBEtJM

les Juxtaposer de manière qu'ils akent mène lonmtet O. an cM common OB et soient situés de pert el d'aolre de ctcdié : le* deuxangtflsoccTipenl slon les piwitionB (') A(Aet BOC (fig. &) : on dit qn'th sont adjacents. L'angle AOC hrmé p«r U r^onirs «les deox «nglea dtmaés peal être considéré coaiine teor sonamr.

On peut Faire la tïiffirenee de deitx angles. Ponr cela, on juxtapose encore les deu\ angles en leur donnant même sommet el un cdlé commun, mais le |>Ius petit angle est placé cette fois à l'intérieur du plus grand. Ainsi (voir la figure 5) la dilTérence entre l'angle A'OB (qui est le plus grand angle possible) et l'angle .\0B est l'angle A'OA : cet angle est dit sappliiniettl ou supplémentaire de l'angle AOB.

Fig 6. rig. -.

Enfin, on peut diviser un angle quelconque en un nombre quelconque de parties égales. Ainsi, suc la figure 7, l'angle AOB est divisé en deux angles égaux, AOD el DOB : la droite OD qui par^ lage l'angle en deux en est la bissectrice ['). Les angles partiels pourraient être divisés k leur tour, et ainsi de suite indéfiniment.

[■) Nqu* faisont la figure en août platant dau* le cas où les deux anglei proposés sont aigu* (voir d-destous). Lorgque Ici angles sont obtus, il faut ponr jastiRer pleinement la définition de lenr somme, faire appel aux conventions de la IrigonométrJB que nous développerons plue Md.

(>) Si noua pra4«ngeons au-deti du point O les deux cAtéi de l'angle noua fiwiiMni quatre angles AOB. BOB', A'OR, A'OA (fig. H) dont ki bksKtrices OD, OD', OD,, OD,', sont en pndonga^ent deux à deux. On démontre facilement que les deux droites D'OD, D,'OD, sont per]t>endicid aires l'uno sur l'antre (forment na angle droit, voir ci-des- «•u*>. EneBet, l'angie DOD',. est la eonuae de DOA tmmlU de BOA) et de AOIX, [moitid de AOA'); donc il est la moitié de l'anime BOA' isonune de BOA et AOA'I qvi est le ploa grand angle possible ideux dtoiti}.

Fig. 8.

LES GRA^UBinS <dOMÉTniQUES ET LE CALCUL 67

L'angle moitié du plus grand angle possible est appelé anffk droit ('î (A^OB sur la fig. 9). C'est pourquoi l'on dit que le plus grand angle poasible a pour grandeur deux angles droits ou n deux droits ». Les deux côtés d'un angle droil et leurs prolongemenls sont dits perpendiculaires l'un sur l'auli-e.

Un angle plus petit qu'un angle droit est dit angle aiyu; un angle plus grand qu'un droit est dit angle obiva. La différence A'OB (voir la fig. 9" entre un angle droit AOB et l'angle AOA' est appelée complément c angle complémentaire de AOK.

Etant donné deux droites quelconques tracées dans un même plan (par exemple sur une même feuille de papier infiniment grande), et qui sont, l'une et l'etitre indéfiniment prolongées par les deux bouts, on admet qu'elles se rencontrent toujours à moins qu'elles ne soient «parallèles ». Elles forment ^ angles (voir la fig. 5] deux à deux égaux ou supplémentaires.

55- DistincUon «ntra l'égallt« de figure et l'égiilitâ de grandeur. Les aires. — Nous définissons comme égales ou congrue n tes des ^^uref géométriques (telles que segments recU~ lignes ou angles) qui sont superpoeables et nous admettons que deux figures superposables ont même grandeur. Nous admeltons aussi que, réciproquement, si deux segments ou angles ont même grandeur, ils sont nécessairement superposables. Ainsi, pour ces figures, il y a coïncidence entre l'égalité définie an moyen de la superposition et l'égalité de grandear. Mais cette coïncidence ne subsistera pas lorsque l'on aura affaire à des figures plus compliquées.

Prenons, par exemple, un trianf/le ABC, figure formée de trois segments reclilîgnes AB, BC, CA (côtés du triangle) reliant deux i deux trois points k, B, C (appelés sommets} donnés dans un plan. Végalité (le fujare (appelée aussi coiigruence) entre ce triangle et no autre triangle .A'B'C sera définie comme il a clé dît plus haut : les deux triangles sont égaux s'ils sont exactement

(') Les expresiiODS anguiu* recluê ou normatù, aeutu», obUuu* s« trouvent chez Boèce (v" siècle ap. J.-C.) [chez Euclide : loiila bpSi^,

68 i-Ks

supei'posables (c'est le cas sur la figui-e lo). Que faut-il entendre, d'autre part, pai- Véyalilé île grandeur, et tout d'abord qu'est-ce que la grandeur d'un triamjle ? Nous ne sommes pas actuellement en état de donner une définition rigoureuse de cette notion, mats nous eu avons une conception très nette. La grandeur d'un triangle, c'est la grandeur de la portion de plan comprise entre les câtés du triangle (portion ombrée, sur la figure lo) appelée surface du triangle. Et pour i-econ naître, le cas échéant, que les grandeurs de deux triangles sont égales, il noussuifira de remarquer que la portion de plan limitée par un triangle peut être décomposée, d'une infinité de de manières enaulantdemorceauxqu'il nous plaira;

Fig. ,„. Fig. M.

ainsi sur la ligure ii, l'intérieur du triangle ABC est décomposéen trois triangles partiels : il est la somme de ces triangles. Considérons, alors, deux triangles, ABC et A'B'C, non auperposablee, mais dont les surfaces peuvent être respectivement décomposées en un m£me nombre de figures partielles, se correspondant d'un triangle à l'antre, et superposables ; en ce cas, ABC peut être regardé comme la somme de figures partielles égales, chacune à chacune, aux figures partielles qui composent A'B'C ; nous exprimerons ce fait en disant qu'il y a égalité de grandeur entre les surfaces dos deux triangles, ou simplement entre les deux triangles ABC et A'B'C,

On pourra de la minio manière — théoriquement tout au moins, car pratiquement l'opération peut être dilTicile à réaliser — reconnollrc l'égalité de grandeur entre la surface d'un triangle et la surface (l'intérieur) d'une figure plane (c'est-à-dire Iracée dans un plan) limitée par des segments recliligncs en nombre

LES gra:4i>evrs géométriques et le calcul 6g

quelconque [une telle figure s'appelle polyijone ' ')| ; et l'on pourra recooaailre aussi l'égalité de grandeur de deux polygones quelconques {').

Nous admettrons, d'autre part, comme évident le fait suivant : De deux polygones qai ne sontp{u égaux, tanesl toujours plus petit que fautre : nous entendons par là que l'un des deux polygones (le plus petit) est égal à une partie de l'autre (le plus grand).

De ces diverses remarques nous concluons que les grandeurs superlicîclles des polygones sont — tliéoriqiioment tout au moins — des u grandeurs comparables » : j'entends par là que l'on peut effectuer sur ces grandeurs les diverses opérations définies au n° 53. Ainsi, l'on peut former la somme ou la difTérence des grandeurs de deux polygones : par exemple, sur la (îgure 13,

lig. .1. Fig. ,3.

la surface du pentagone (polygone à cinq côtés) ACBB'C' est la somme des surfaces des deux triangles, ABC, A'B'C accolés l'un contre l'autre. On peut, d'autre pari, décomposer la grandeur d'un triangle ou polygone en un nombre donné de parties égales.

60. — Considérons maintenant un cercle ou une courbe fermée (') quelconque (fig. i3). l'eutil y avoir égalité de grandeur

(') Un polygone [iiolû^uiViV, figure k plusisura angles] est dctiiii par n Jommeft A|,...A. reliés deux à deux par n câtia, A|A], A^Aj, AjAi,... A.-, A.. Un polynonc à î cftléa est un triangle, un polygone à ^ cAtéi est un quadrilaUre, un polygone à ,'>, fi,... cAlés est un pentagone, un hexagone, etc. Un polygone a autant d'angles que de côti». On désigne un polygone par les lettres qui désignent ses sommcti.

(') Puur démontrer rigoureusement que les opérations dont il est ici question sont théoriquement possibles et pour comparer elleclivement les grandeurs des polygones il faudra s'appuyer sur les théorèmes qui font l'objet du g 3 de c« chapitre et, en particulier sur cette remarque que tout polygone est décomposable en une somme de triangles,

[') On appelle ligne courbe ou courbe toute ligne (ou composée de droileaj qui n'est pas ilroite. Une courbe fermée est une courbe qui, lorsqu'on In parcourt à partir de l'un quelconque de ses points, aboutit à son pnint de départ. Une courbe non fermée est dite ouverte.

yO LES QRiillDKUKS

enUe la surface (partie ombrée) limitée par celle courbe et La surlacc d'un polygone? U se peut qu'une telle égalil« soit impoasiblc à conLiôler avec les instrumenta dont dispose le géomètre (règle, éqnerre, compas). Commeot, en elTet décompoMr la Cgure courbe et la ligure i angles en morceaux qui puissent se recouvrir? En théorie, toutefois, nous pouvons toujours imaginer que la figure courbe soit fluide et que, sans en altérer la grandeur, nous puissions en modifier la forme de manière à la transformer en un polygone. Nous en concluons que les grandeurs des deux ligures sont » comparables » {vide t^ra).

Les grandeurs superûcielles des figures géométriques seront, d'une manière générale, désignées par le mot « aires n {'). Les remarques qui précèdent montrent que les aires se prêtent aux mêmes opérations que les longueurs.

L'opération qui a pour but de déterminer un polygone, et plus particulièrement un carré, ayant même grandeur qu'une surface limitée par une courbe est appelée u quadratare a.

57, Rectification des courbea. — Portons maintenanl notre attention sur le contour des triangles ou polygones, c'est-à dire sur la ligne brisée qui les limite (celte ligne comprend l'ensemble des cAlés du polygone). Ce contour est une grandeur jouissant des propriétés énoncées plus baul (n" 53), car, ni l'on porte bout à bout l'ensemble des côtés du polygone, on obtient une longueur recliligne; celle longueur est souvent appelée (') « périmèlrcdu polygone ».

Considérons, semblablemeni, le v contour » d'une ligne courbe. Ce contour a nne grandeur qui est une longueur, car, en théorie, nous pouvons toujours imaginer qu'il soit redressé et appliqué

('j Le mot u Biirluce ■ eal souvent employé comme synonyme d'tairo». Cependant, il est prétérable de reserver l'appellation de a surtece • à la ligure géométrique dont U grandeur (indépcndautc de k Ggure) est une aire. Remarquons qu'il ne réaulte pas de là que qui dit n surface • dit flgure occupaal dans l'espace une position ne varietur (cf. p. G.'i note i). Une surface qui se déplace eu conaervant même grandeur et mime [orme est toujours la même surface, à moins toutefois que l'on ne ipécîlie le contraire comnie il urrivera dans certains chapitrer de la science.

('( C'est, en réalité, la mttureàa celte longueur qui devrait être appelée périmètre.

LES GBAIlDEIinS OÉOU^TUQUES ET LE CALCUL

sur un sèment rectiligne. L'opération qui a pour but de déterminer Je segment rectiligne qui a mâniG longueur qu'une courbe donnée s'appelle : recli/îcatmi.

58. — ?Jous avons admis que, virtuellement, une aire ou une longiîeur courbe p<^ut toujours être comparée à l'aire ou au contour d'un polygone. Est-ce M» un pur postulat, ne pouvant tHre Justifié que par des notions d'ordre physique telles que celles de déformation ou de redressement? Non point : les théorèmes de la géométrie rationnelle permettent d'cITectuer en toute rigueur, et sans faire intervenir aucune déformation, la quadrature et la rectification des courbes simples. C'est ainsi que les géomètres grecs ont déterminé la grandeur du cercle à l'aide d'une méthode rationnelle dite méthode d'exkauslion. Celte méthode, fondée sur le calcul des longueurs, est purement géométrique en fait. Cepemdant, on a avantage à l'inlerpréter dans le langage des nombres, en utilisant la notion de mesure. C'est k ce point de vue que nous nous placeions pour en exposer le principe au pi-ochain paragraphe.

60. Figures à trois dimensions. — Nous pouvons faire, sur la grandeur des ligures tracées dans l'espace à trois dimensions, des remarques aniJogues i celles qui procèdent.

GoAsidérons, par exemple, la fig^ire fonnée par deux demiplans (') limités 4 leur intersection, c>s'.-'i-ilire à la droite qu'ils <Hit en commun ; celle figure — dont on se fait une idée en imaginant une feuille de papier tt lettre, infimnient grande et ouverte — est appelée 'lièdrt ou an^le diidre ; les deux demi-plans sont les faces du dièdre, la droite commune est {arête jvoir la figure i^, où tes deux demi-plans «ont représentés *' '*'' par des parallélogrammes, que l'on suppose respectivement situés dans ces demi-plans et ayant un cdté commun sur l'arétej.

Un dièdre (*) est plus ou moins grand, suivant que ses côtés sont plus ou moins écartés; un dièdre est donc une grandeur.

('} Etant doBBÊ un plan (voir p. «3, ««te 3) qvi pan« par tme dreite, cette droite, indifiniment prolongée dan» tes deux seni, partage le plan en deux régions que l'on appelle demi-plans.

('] On observera le parallélisme qu'il y a entre ces pTopoeitions et celles du n" 54-

3,Nzed.ïGOOgIc

•J3 LES GnAriDEL'HS

Deux dièdies sont égaux (congruents), lorsqu'ils sont exactement superposables : il en est ainsi, par exemple, pour les dièdres (') PQ. P'Q' dont les faces sont en prolongement les unes des autres (je veux dire que les deux demi-plans P et F' ou Q et Q' appartiennent au même plan) : ces dièdres sont dits « opposés par faréle » {(ig. i5^.

On peut faire la somme ou la différence de deux dièdres (') en les juxtaposant de manière qu'ils aient la même arête et une face commune ; ainsi sur la figure i6, le dièdre PK est la somme des dièdres PQ, QR; le dièdre PQ est la différence des dièdres PU etQR.

\y^Ji

Fig .5.

Fig. 17.

Un dièdre est droit si ses faces sont pcrpcudiculaires l'une sur l'autre [exemple : le dièdre formé |)ar le ]jlanclier d'une chambre et une cloison] ; deux dièdres dont la somme est un dièdre droit (exemple : les dièdres PQ, QR sur la fig. 1 7) sont dits complémentaires l'un de l'autre.

Le plus grand dièdre possible est la somme de deux dièdres droits : ses faces, en prolongement l'une de l'autre forment un plan |PS sur la fig. 17] ; deux dièdres [tels que PQ et QS] dont la somme est un dièdre se rcduisant k un plan sont dits supplémentaires l'un de l'autre.

Les dérmitions des dièdres aigus ou obtus, du plan bissecteur qui partage le dièdre en deux dièdres égaux, etc., se déduisent de la même manière des diverses définitions relatives aux angles.