Mesures. Longueur ée la ctrcoBtéreace

SI. Les mesures. — L'întért-t que présentent les caraclËres des grandeurs que nolic S / a mis en lumière tient, comme on sait, au fait suivant : on peut, grùce aux opérations que ces caractères rendent possibles, 'f mesurer » les grandeurs.

Considérons, par exemple, un segment rectilîgne AR. Nous nous attachons i cette grandeur parce que c'est la plus sîmpli?. de toutes {cf. n' 53). Mais tonl ce qne nous allons en dire pourra E'ire étendu aux divers types de grandeurs géométriques tels que angles, aires volumes, etc. (cf. S 3).

Pour mesurer le segment Ali, on prend comme unilé une longueur fixe, par exemple un rnèlre et, à partir du point A, on porte (^etle unité, bout à bout, autant do fois que |>ossible sur le segment AB. Il peut se faire qu'après avoir {>orlé l'unité un nomliic exact, m, de fois, on tombe exactement au point W; on dît alors que la longueur Alt égale m fois l'unité et qu'elle a pour niesure, en mt'Irex, le nombre m.

Supposons, au contraire, que la longueur AB soit plus longue que ni fois l'unité et moins longue (') qne {m -h i) fois l'unité : nous dirons en ce cas que m est la mesiur approchée par lUfnal en mètres) de AB, et que (m + i ) en est la niesure npprwhée par excès. Pour avoir de AU une mesure exacte, ou plus exacte, nous devrons prendre une nouvelle unilé, plus petite que le mètre, )>ar

l'I Etant donnée uan langueur quelconque AB. il existe évidemment toujoun un naiabre m tel que m fois l'unité s«il moindre que AB taodi» que (m + i) fois l'unité surpasBo AB. C'est là une vérité intuitive que nous ne saurions mettre en doute, mais dont ati^x% ne [louvons cependant donner aucune dimonâlralion. Cette vérité joue dune, dans tes systiracs de géométrie, lo rolc d'un axiome. Elle a été furmulcc en ces termes, vers iftHu, par le professeur autrichien Stolz, sous le nom û.'axiomt d'ArrAiméde :• Sideux longueurs «ont données.il y a toujours un multiple [produit par uu nombre entier] de la plus |>elite qui surpasse la plus

MESURES. LOItGSEI/K DE LA ClRCOlFéBEnCF. 75

exemple le ceDtîëniede mètre ou cenlimétre [la longueur du cenlimèlre est telle que U mesure du mètre en centimètres soit égale k 100] : nous obtiendrons ainsi, soit une mesure exacte (en centimètres}, soit une mesure approchée à un cealimèlre près de la longueur AB. Désignons par m cette mesure : nous pourrons dire

que la mesure de AB en maires, est la fraction ■ [m centièmes de mètres) ; cette mesure est exacte ou approchée à — r près. Répétons le même raisonnement en prenant pour unité auxiliaire, non plus le centimètre, mais telle fraction du mètre qu'il nous plaira. Si nous ponrons choisir le nombre entier n de manière que le segment AB contienne un nombre exact de fois, — soit m fois, — la n*"* partie de l'unité, la mesure du segment \B, en mètres, sera

donnée par une fraction — : ce sera un nombre rationnel ;',. Dans le cas contraire on constate, en raisonnant comme au n* 48, que. qud que soit n, on peut former une fraction de dénominateur n qui donne une mesure de AB, approchée h - près. En prenant n

arbitrairement grand on aura la mesure du segment AB avec une approximation arbitrairement grande.

62. Remaniae. — Si nous nous servons, pour représenter les nombres, de la notation décimale, nous aurons avantage à n'utiliser que des nombres n qui soient des puissances de lo, c'es(-idire k toujours prendre comme unités auxiliaires {Jraclionx de tunilé principale o» sous -unités) le ilixihne, le centième, le mUlihne, de l'unité principale. I.a mesure évaluée par rapport à l'une de ces sous-unités donnera en ell'et, par rapport ù l'unité principale, une mesure exprimée par un nombre décimal. Ainsi une longueur do 1465 millimèlres a pour mesures en mètres : 3.465.

(') Lorsqu'une t^odeur a pour metUM un Dombre rationnel on dit que cette grandeur et l'unité sont conimenturablea (cf. ëlclide, Elém., livre X ; i!mfuxpti (U^iOT,) ou que la grandeur est commenaurable atitc l'unili. Une grandeur non commensurablc avec l'unité est dite incommensurahle (às'J^jji^tpov) avec l'uniti ■- Flusieur» grandeur» sont ditei commensurabUa (entre ellei| si chacune d'elles est commensurabis avec l'une d'entre elles prise pour unité. S'il n'en est pas ainsi, les grandeur» sont incommensurableg (entre elles).

"b l-KS GRA^tDEUIlS

Les syslèmes d'unilés el sous-unités ainsi définis, tels que le système : hilomèlre, hectnm^tre, nitrtre, décimètre .. : , oale système : kilnifrnfitme, keclnr/ramme , tjramme, déàgranvite..., sont des systèmes île mesures décimales; leur ensemble constitue ce que l'on appelle un « syslhne décimal de mesures 'j h.

£3. Hesures défînioB par des racines. — La mesure que nous venons de définir (comme nombre rationnel) est exacte on approchée. La distinction ainsi établie entre deux sortes de mesures A n'est i>oint accidentelle, car il existe manifestement

des grandeurs qui ne {)euvcntéti-e exactement mesuiécs par rapport à aucune fraction de l'unité. Considérons, parexemple, le triangle ABC ;(ig. 19) ^'K ".'■ qui est rectangle en A (c'est- à -dire où l'angle A est un angle droit), dont les côtés VBct AC sont égaux, et qui a une fiypolenii.se (côté liC opposé à l'angle droit) égale à i mètre. I^ théorème de Pytkngore 1') nous apprend que la mesure exacte (en mètres) de la longueur AB ne pourrait être que la racine carré

du nombre-; or cette racine, comme celle de a, n'est pas un

nombre rationnel (') (n° 37).

Nous pourrions, il est vrai, en ce cas encore, attribuer un sens aux mots « la mesure exacte » : celle-ci ne serait plus un nombre, mais elle serait du moins déjinie 'déduite de l'unité) par une opération ai'îtbmétique simple (extraction de racine qui peut être elTectuéc, nous le savons, avec une approximation aussi grande que l'on veut, n'48).

N'est-il pns permis de généraliser cette manière de voir et de

(') Le lytlËme do mesures adopte par ta loi frauçaUe (ayslèmc métrique) est, en majeurs partie, décimal [l'ide infra, n" tii!\).

n VrA m/m. ,,,„.

(') La lon),'U(!ur AB et l'unité sont, suivant Euclide, communs urablcs en puissance, car aux termes do la déf. ;l du liv. X des Eléments, i deux segments sont eommciisurables en puissance si tes carres conslruils sur eux peuvent être mesurés [exactement] avec une m£nie unité d'aire >. Le contemporain de Platon, Tiiêètête d'Athènes, avait fait une élude approfondie des grandeurs — dérinies par les ligures géomôlriqucs classiques — qui sont incommensurables avec runité, La classiRcation qu'il su avait donnée est sans doute, à peu de choses près, celle qu'expose Euclidb au livre X des EtémenU.

MESURES. LOKGL'BVIt DE LA CIIICO\FEneNCB •^■J

déHnii' la mesure exacte d'une grandeur qiiclcontjue (longueur, ou angle, ou aii-e, etc.) comme une quantlEé qui est te résultat d'opérations arithmétiques (') efTectuées sur l'unité (c'cst-A-dire sur le nombre i)? Sî ces opérations sont toutes possibles, 1b mesure exacte se trouvera âtre le nombre rationnel déGni nu n" 61. S'il \ a, au contraire, parmi elles, des extractions de racines impossibles. la mesure exacte ne pourra pas être calculée, et l'on devra se contenter d'une mesure nppi-ochéc, laquelle sera, précisément, le résultat approché des opérations qui déPmissent la mesure exacte. Celte manière de présenter les choses est légitime dans certain*) cas, mais non point dans tous, ainsi qu'on le constate, par exemple, lorsqu'on cherche à déterminer la mesure d'une circonférence.

64. Longueorde la ciroontéreooe. — Considérons une circonférence {ou cercle) {') dont le rayon ait pour mesure iunilé (par exemple, i mètre). Comment mesurer celte circonférence?

Si l'on prend un mètre en ruban et qu'on l'applique sur le contour de la clrconrérencc, on constatera que la longueur du contour n'est exactement égale è aucune fraction de mètre. Cette longueur est comprise entre G et S mètres, plus précisément entre a X 3,1 et 2 X 3,2, plus exactement encore, entre g X 3,i4 et ^ X 3,i5. Quelque loin, cependant, que l'on pousse la subdivision du mètre (en millimètres, dixièmes, centièmes de millimètres, etc.) on n'obtient jamais une mesure exacte de la circonférence : on en a seulement des mesures de plus en plus approchées.

Mais la mesure eflective d'une cîrconférencs au moyen d'un mètre flexible est une opération physique qui ne présente aucune

{') Lorsqu'une mesure ou uns quantité est définie comme résultat de telles opéralions, on dit qu'elle est calculable par radicaux.

[') On appelle circonférence ou cercle la ligne formée par l'ensemble des points situés à égale diatance d'un même point nppeié centre du cercle; le segment de droite joignant le centre à un point quelconque de la circonférence s'appelle rajon [radius]. Il est bon de noter que le mot circon- /irenca désigne exclusivement le contour {itipiaipsu) du cercle ; le mot cercle, au contraire, sert également à désigner la surface limitée par ce contour. Le segment (double du rayon) qui joint, en passant par le centre, deux pointa opposés de la circonférence (et la coupe en deux), l'appelle diamètre.

^8 LE* GnA:<nBURS

garantie. Nous avons déjà dît que les géomèlreo nu poliraient en faire état et devaient avoir recours i une méthode théorique, seule susceptible d'être rigoureusement précise. C'est pourquoi ils imaginèrent la méthode i'cxkautthn ^cf. n° B8), que l'on appellerait aujourd'hui méthode du passage à la limile. ('). Encore, Euclide, le prudent, n'ose-t-il appliquer directement cette méthode (*) au problème de la rectihcation du cercle dont les termes mêmes ne lui pai-aissent pas logiquement recevahles ; car, pour seulement parler de la longueur du cercle mesurée avec uneunitércctiligne, il faudrait l'avoir définie, c'est-à-dire connaître un procédéde construction géométrique {vide infra, ch. ut, S5) qui fournisse un segment « égal » k la ctrcoaféreace du cercle : il faudrait donc avoir déjà résolu le problème de mesure que précisément l'on se pose. C'est le grand géomètre sicilien Archiuiède (') qui iTsolut, le premier, ou plutôt trancha cette difficulté logique : il comprit qu'en déterminant une mesure arbitrairement approchée parexch ou par défaut de la longueur du cercle, on se trouve vérifier par surcroît que cette longueur ea;f>/e(') [j'entends : vériQer que l'on pourrait, théoriquement, construire un segment rectiligne qui soit égal à la circonférence] (ce qu'au n* 57 nous avons admis comme intuitivement évident).

66. — Considérons ('), — pour appliquer la méthode (Tex/iauslion — un carré ABCD (fig. 20) inscrit dans la circonférence

CJ Voir sur le mot « limite » p, fi'i, noie n.. Le mot • exhaustion u cet du XV II' siècle. On le trouve en particulier chez Grécoire de Saint- Vincbtit \viie infra, 67),

Cj En revanche Evclidi: applique, par exemple, la méthode d'exhaustion, à la démonatralion du théorème suivant : Us aires de deux eerclen diflirenla tant proportionnelles {vide n" pS) aux carrés de Itws diamètres : ici, en ellet, l'assimilation de la circonférence à un contour rectiligne et de l'aire du cercle à une aire polygonale n'eit pea poitiUée.

(*) Dana le traité intitulé : ■t.-rtù.i-i iii\p,is:i. Cf. Heatii, Tke u/orks o/ Arcliimedes, Cambridge, 181)7, P- !l'-

('} Sur lea condilionï auxquellei doivent satisfaire le* valeun approchées pour que cette concluaion «oit valable, voir p. Sa, note 3.

{') C'est la méthode iuivie par Antifhon (5' siècle av. J.-C.) (jui s'inspire peut-être de la tradition pythagoricienne. Sur les moyen* à employer pour construire le carré inscrit ou ciiconicrit — et les polygones réguliers dont il sera question plus loin — voir le liv. Il des EUment» d'Eucui» et tous les traités de géométrie.

MESUaeS. LORGL'EUR DE LA CIHC0NFÉRE:<CE

(c'esMl-dîre inlérienr h la ârcanténntx et ayant ses quatre sommets A, B, C, D sur son contour) : la mesure (exacte oc très approcWe) du contour de ce carr# est une mesure approcl)^ jmt cMfeut (') de la longneor du cercle. Considérons au contnire (fig. ai) le cnrié A'B'C'iy drconscrit (extérieur au cercle et dont chaque cdté est langent au cercle, c'est-à-dire le touche ai un sent point) ; la mesure du contour de ce carré est une

mesure approchée par excis de la longueur du cercle. Eovisageoas otsatte sur b figore 3o, an lieu du carré ABCD, le ptÀjgoBB i hml cÂtév éfmi\ {octogone rérfalier) AEBFCGDH qui est inserît dans le cercle (ses Irait sommets sont sur le cercle); la Bwanre du contour de cet octogone est une nooveUe valeur approchée par défaut de la longueur du cercle, valeur plus approchée que la précédente ; pareillement, sur la Tignrc ai, la mesure du contour de l'octc^one régulier (') ,\,B,CiD,E,F,G,H, est une mesure approchée par excès (plus approchée que la valeur donnée par le carré A'B'C'D) de la longueur du cercle.

Supposons, maintenant, que nous coasidérions, non plus un carré ou un octogone, mais un polygone régulier ('), ayant beaucoup plus de c6tés, tous tr^ petits, et dont la figure se rapproche par conséquent antant que nous le voulons de la figure même du

(') Je ngsrde esmiBK éridanl qm le contou d'un carré on polygone irucrit «si iB«i»die qae 1« contaur de la circonférence, tandis que le contouT d'an carré ou polygone eireontcrit est aapérieur. On le voit immédialeaMiit sur la figure.

(') Sur l'emploi iet lettre* aSectéei d'indices, vttir p. 30, note 3. (*) Un polygone doDt le* cM^ et le* angles sont égaax [comme il arrive pour l'octogone AEBFCGDH de la Tigure no] est appelé polygone figuier (cf. Evczibb, EUmenta, Hrr. IV).

8o LES GDAKDEURS

cercle (') ; ce polygone peut t'ire Inscrit dans le cercle (c'est-à-dire intérictir an cercle, ses sommets é<anl tous sur Je cercle, exemple : le polygone ABCD... sur la figure 22) ou circonscrit au cercle (extérieur, chacun de ces côtés touchant le cercle en un point, exemple : le polygone A'BT.'D' ... sur la figure 22); la I mesure du contour du polygone est tou- / jours, dans le premier cas, une mesure approcliée par défaut, dans le second cas une mesui-c approchée par e»cès de la longueur du cercle; l'approximation est ailleurs arbitrairement grande (vide n'Ai); anssi dit-on que les périmètres des polygones réguliers inscrits cl circonscrits ont pour limite la longueur du cercle lorsqu'on leur donne un nombre de côtés de plus en plus grand.

66. Remarque. — Pour juslificr rigoureusement ces conclusions, on prouve que la mesure du contour d'un polygone inscrit et celle du contour d'un polygone circonscrit sont arbitrairement rapprochées Cune de Caalre lorsque les polygones ont sullisammenl décotes; il en résulte que l'une et [autre donnent bien {•) des valeurs arbitrairement approchées de la longueur du cercle.

(') Ed donnant au polygone do plus en plus dn côtés nous ipuiton» progreiïivemeDt l'aire du cercle : d'où le mot « exhaustion ».

(') puisque la longueur du cercle est comprise (voir p. 79, note 1) cnlrft tes longueurs do ces deux contour*. — Que ce com- ^

plcment de démonstration, détaillé avec soin par Arcbihède, soit elTeclivement nécessaire, c'est ce dont on se convaincra si l'on fait allenlion aufuit suivant. Do co qu'un contour polygonal, auquel on donne de plus en plus de côtes, tend vers une ligne géométrique connue (c'est-à-dire a une ligure qui dilTère de moins en moins de cette ligne) il ne resuite pas que la longueur du contour ait pour limite la lonjçueur de la ligno connue. Donnons-nous, par e^femplc (dg. -j'J) un ABC, et considérons Buccessivement les contours polygonaux suivants ;

liDEFC, à i côtés {U, E. F étant le milieu des eûtes du triangle) ;

BGIIIEJKLC. à f^ côtés (G, H, l étant les milieux des côtés du triangle BD£ et J, K, L les milieux des côtés du triangle EFC) :

puis les contours !t [6,3'j,,.. côtés, qui se déduisent les uns des autres d'après le même procédé.

Ces divers contours ont pourlimilela ligne BC. Cependant on démontr*

uEsunes. lo:vgl'Eur de la circo:if£iienck 8i

67. — Voilà comment ont raisonné les géomètres ('). Mais c'est ici que surgît l'anomalie, ou, du moins, ce qui fut loogtcmps considéré comme tel. Lecontour du carré AltCD, celui de i'octogone régulier AEBFCGDH, ou celui d'un polvgono régulier, inscrit ou circonscrit, ayant un nombre an de côtés, tous ces contours ont des mesures qui peuvent être définies 'déduites de l'unité) au moyen d'opérations arithmétiques connues (') ; ainsi le contour du carré AfiCD a pour mesure exacte ^ X /â (le sens de l'expression u mesure exacte n éUint élargi comme il a été dit au n*63); le contour du carré circonscrit V'B'C'D'a pour mesure 8; le contour de l'octogone AEBFCGDH (Gg. 3 t)a pour mesure 8 X \J-i — va, etc. Pourra-t-on, semblablemcnt, indiquer une combinaison d'o/)^rafio/if conams dont le résultat dénnissc la mesure de la circonférence ? La réponse est négative ('), maïs les géomètres ont été longs !i s'en convaincre, et les tentatives faites, vingt siècles durant, pour trouver une expression arîlhméljquc de la longueur du cercle, se comptent par milliers. L'une des plus célèbres est celle de Gréijoinde Sainl-Vincent [auteur de l'Opus <feonictriciiin ijuiirlralurir circuit et seclionum coni, lO't-;, qui fut combattue par Descartes, Pascal, Hnygens. Aujourd'hui encore, les Académies Scientifiques sont saisies presque chaque année de nouvelles solutions du problème de la a rectification » ou >< quadrature u du cercle. Et cependant, \' impossibilité de la résolution de ce problème' ('), pressentie par Legendre et Euler, a été prouvée en toute rigueur,

que Uurs hngueurs tant btutea égale» entre eUet et égales au dotible du cité du triangle équiiatiral.

(I) Ils ont auui imaginé de nombreusci méthodes indîrectet qui conduisent à des régultats équivaleDts.

(') Ce sont là des conséquences immédiates de^ théorèmes de la géométrie métrique (voir chap. 111, l ^),

(*) Et cela, en donnant aux mots ■ opérations connues s qui figurent dans l'énoncé de la question, l'acception la plus générale qu'ils puissent comporter. On ne peut former [vide injra. Deux. Liv.j aucune équation a^ + a,- , X.- 1 + ... -|- Ht = o de quelque degré que ce soit, dont les coefficient* a», a>-i, ... at soient des nomïtres laiionnels et qui ait pour racine (Taleur de l'inconnue «] la mesure de ta longueur du cercle de rayon 1.

(<) Il existe par contre certaines courbes (autres que le cercle) dont la longueur exacte est mesurée par un nombre rationnel pouvant être calculé. De telles courbes sont dites reelifiable».

BoDTuori. — Lm Ptiocipel de l'Asal^iM insIbéaiaUquf. C

Sa LES GRANDEURS

eo i88a, par le professeur Lindemann (') de l'Univorsité de Munich.

Ainsi, la mesure de la circonfôicnce par rap|>ort au rayon (pris pour unité) ne i>eut cire déPinie au moyen d'opérations arithmétiques que d'une manière approxiinative. Tout ce qu'en peut dire l'arithméticien, c'est, par exemple, qu'elle est comprise entre (') u X 3,i'i)5g36535 et a x 3,iâiô9a6Ô3<3, valeur» que I'od pourra toujours préciser en calculaiil de nouvelles décimales.

La circonrérence dont ]e rayon a pour mesure un nombre r est r fois plus grande. Sa mesure est comprise entre a x/'X '■i,iii5...b et 3 X r X 3,i-'ii5 ... (i.

Ajoutons qu'au lieu d'une fraction décimale, on peut utiliser, pour l'eprésenter la mesure du cercle avec une approximation arhUrairemenl grande, d'autres types d'expressions arithmétiques dont nous nous occuperons plus loin (S 7).

68. — La ilemi-hn^ueur de la circonférence de rayon i esl dési(/née, irordinaire, par la lellre ~. On exprime l'impossibilité de la « rectification » du cercle (au sens du n° 03; en disant que la longueur ;; et le nombre qui la mesure sont traiiscemianls {').

69. — .\près les mesures de longueurs, il convieut d'étudier lea mesures d'aires et de volumes. Mais ici nous rencontrons une dilliculté. Il est absolument impossible, en efl'et, de mesurer les sur-faces et les corps sans lonîr compte de leurs figures et sans invoquer certains théorèmes de géomélrie pure dont nous ne nous occuperons que plus loin chap. m). Cependant, afin de ne pas séparer en deux Ironisons la ihéario de la mesure, nous .ivons cru

(') BtirickU der Berlintr Akademîe. iS.Sy, II.

[') Ces valeurs approch^psoDl été données par Viète {Variorumde r*bus malhtmaticis responsotum liba- VIII, i.>i|7, chap. xv ; Geomeirica xJy,).o-j fi.ixir,iii, bene proxima verae). Auchimède, datti m xJxào'j iii'pt,aii avait

indiqua les valeurs :a x ( l + ' ) [approchée par défaut) et-j x ( '' + — ) ■

Des valeurs tout aussi approchées furent données par les mathématicien* hindous qui sans doufe les trouvèrent indépendamment des Gm os bien qu'ils vinssent sept siècles plus taid [Leions de calcul d'Aryabhola, trad. Rodet, Journ. atiati^e, t. Xlli, p. tçii) ot suiv.).

{") Quantitas tranacendtnê dit Lgirniz. vicia «ruditorum, 170'i, p. 9a [Continuatio analifêtos quedialurarum) et Math. Werk., V, p. iâ.

DtGBESSIO;^ SUR LA HE3UaE DES AIRES ET DES VOLi;MES 83

devoir rappeler tout de suite, dans ua paragraphe spécial formant parenthèse, les règles bien connues du (i système inétri<iue », qui permettent le calcul des aires et des volumes. D'une part, eu eRet, l'exposé de ces règles n'offre au point de vue de la gêométiie des figures qu'un intérêt secondaire. Et d'autre {>arl, il complétera utilement ce que nous avons dit et dirons encore du calcul des grandeurs, en nous faisant voir licitement de quelle manière les grandeurs géométriques peuvent se combiner suivant les lois de l'arithmétique.

- Dlgressloa sur ta mesure des aires et des volumes ea géométrie rationnelle.

70. — Revenons d'abord un peu en arrière, et complétons par quelques remarques tes observations que nous avons présentées touchant le problème de la mesure.

Soit k mesurer une aire plane (n° BO). Prenant comme unité d'aire le mb Ire carré — c'cst-è-dire l'aire du carré dont le côté est long d'un mètre, — nous pouvons, ihéoriqucmenl du moins, placer sur la surface à mesurer (de manière à la recouvrir aussi exactement que possible) un certain nombre de carrés égaux à l'unité ou de fractions de ces carrés (cf. n" 65). Mais comment réaliserons-nous en fait, une semblable opération? Ou plutôt, puisquelle n'est pas réalisable, comment, pourrons>nous en prévoir le résultat sans l'elTectuer. Telle est la question è laquelle ont dà répondre les premiers géomètres. La même question se pose au sujet des volumes ( cf. n° 60) lorsqu'on cherche à les mesurer en prenant pour unité le mètre cube, c'est-à-dire le volume du cube dont le câté est I.

71. — Le problème ainsi formulé peut être étudié de deux points de vue différents. On peut renoncer de primeabordà trouver une mesure exacte de la grandeur que l'on considère : c'est ce que fait la géométrie empirique. On peut au contraire, — et c'est là ce que veut faire la géométrie rationnelle, — chercher à établit qu'étant

84 LES GRA:4DErHS

spécifiée une l'oime de grondeur, la mesure d'une grandeurdc celle forme est égale à la mesure d'une grandeur correspondante ayant une forme plus simple : j'entends par là que, si loin que soit poussée t approximation, on trouvera le même nombre comme mesure des deux grandeurs correspondantes ('); ce qui indique — notons-le en passant — que, dans le monde idéal des êtres géométriques, les deux grandeurs jouissent d'une proprî<.^(é commune, ont une parenté, totalement indépendante de nos procédés de mesure et de leur plus on moins grande approximation (comparer le n" 88).

Les calculateurs égyptiens ('} se plaçaisnt au point de vue empirique lorsque, )x>ur avoir la mesure d'un triangle ABC où l'angle A est petit (fig. a^i). ils faisaient le produit des mesures de AB et de UC et divisaient par 2 ; règle qui n'est que très grossièrement approximative ('), Le géomètre grec, au contraire {l'iile infra n° 76) ■*■ — lorsqu'il démontre que la mesure do l'aire du

triangle est égale au demi-produit des mesures de BC et de la hauteur AH (lig. a'i) — se place au (wint de vue théorique. Aussi «ou œuvre est-elle impérissable : les Instruments ont beau se perfectionner et nous permettre d'atteindre une approximation plus grande, la relation constatée par Ini entre In grandeur d'une aire et celle de deux longueurs ne saurait être altérée.

72. — Comment maintenant, la géométrie rationnelle parvientelle à SCS rm3?Elle n'eiTectuc pas de calculs numériques, mais, remontant à l'origine de la notion de mesure, elle « opère n dii-eclement sur les ligures des grandeurs en cherchant à y discerner certains points, lignes ou surfaces auxquels elle puisse appliquer les théorèmes connus (je veux dire : les théorèmes dont elle dispose déjà). D'ailleurs, il lui faut d'ordinaire pour pouvoir appliquer ces

{') Les uiiilés avec lesquelles sont mesurées les grandeurs étant supposées choisies à t'avance et une fois pour toutes.

[^} Cf. le Manuel du calculateur d'AnUEs : vide Eisenlobr [iupra, p. a, note 2), op. cit., p. laG sqq.

(') La méthode égyptienne est on rcvancho parfaitement recommandable li l'imperfection des instruments dont nous disposons doit nous faire perdre en tout cas le bénéfice que nous tirerions d< d'une règle exacte.

DICRES5I0:i SUR L\ UESLKE DES AIRES ET DES VOtCMES 8^

théorèmes, compléter les figures siii- lesquelles elle raisonne en y adjoignant (par la pensée tout au moins) certains points, ou lignes, ou surfaces auxiliaires. Les opérations qu'elle eïïectui: reviennent donc, en définitive, à des constructions théoriques de certaines ligures géométriques qui sont en relation avec les (îgurcs données (sur le sens du mot construction en géométrie, voir cb. m. % S;.

C'est par de tels moyens, nous l'avons vu, qu'Archimèdc a déterminé la longueur de la circonféience. C'est également p.ird« tels moyens que la géométrie rationnelle enseigne à calculer les aires et les volumes formés par les figures les plus simples.