Air» d'un rectangle. Produit de deux longueurs

Cherchons à mesurer l'aire A'aarectan<j!e A BCD (quadrilatère dont les quatre angles sont droits) sachant que les côtés AB et BC ont respectivement pour mesures (par rapport à l'unité de longueur) les nombres a et b.

Supposons, en premier lieu, que les nombres a et 6 soient entiers.

Nous considérerons d'abord le rectangle BCC,U, dont les côtés, BC et BD, ont pour mesures n et i (lîg. 30). Portant sur BC la longueur BG de mesure i, je construis le carré BGGiB dont la surface serû prise pour unité iCaire (n" 68). Or on voit immédiatement qu'autant de fois la longueur BG contient la longueur-unité BG, *'« '^•

autant la bande rectangulaire BGC,B contient de carrés égaui à B(>G,B. Donc l'aire de celte bande rectangulaire a pour mesure le nombre a [a mètres carrés si l'unilé de longueur est le mètre] . Cela dit, le i-eclangleABCD contient évidemment autant de bandes rectangulaires égales à BCC.B que le côté AB contient de fois la longneur-unité BB| : il en contient donc h. J'en conclus que le rectangle proposé \BCD, contient a X 6 carrés égaux à l'unité d'aire : i7 a pour mesure le produit a X fc ('),

Si les nombres a et b, au lieu d'être entiers, étaient simplement rationnels, on parviendrait à la même conclusion h condition d«

(■) C'est pourquoi le produit aX b de deux nombres cardinaux est dit nombre plan : il représente une surface (portion du plan), celle d'un rectangle.

L89 ORASDECRS

prendre une unité auxiliaire contenue un nombre exact (entier) de fois (*) dans a et dans b.

Supposons maintenant que les longueurs \B et CD n'aient point de mesures exactes (nombres rationnels) par rapport & l'unité BB,. En ce cas nous ne pouvons donner du rectangle ABC (par rapport à l'unité d'aire) qu'une mesure approchée. Désignant par a, ^ des mesures arbitrairement approchées de AB et CD, nous pouvons construire un rectangle dont les côtés aient pour mesure « et f:i et qui recouvre avec une approximation arbitrairement grande te rectangle donné. Plus les mesures a et fi seront approchées, plus le produit a X j5 sera une mesure approchée du rectanr/le VBCD.

Ces remarques nous conduisent à regaixler en tout cas la construction d'un rectangle dont les côtés sont des longueurs données AB, CD, comme une opération équivalente à la multiplication arithmétique. Nous dirons que Vaire du rectangle ABCD (rectangle construit sur \R et CD)e*( le « produit (') » des deux longueurs \B et CD [appelées v dimensions " </« rectangle]. Pour avoir une mesure exacte ou approchée de ce produit, on n'a qu'i Taire le produit des mesures exactes ou approchées des deux longueurs.

D'ailleurs, en conséquence des théorèmes de la géométrie, la « construction <> d'un rectangle dont on connaît deux dimensions est toujours réalisable avec la rcgle et le compas ('). La multiplication géométrique est donc une opération parfaitement et rigouint défmie.

74. — Ces préliminaires posés, si nous démontrons d'une aire donnée quelconque qu'elle est égale (n' 56) h l'aire d'un rectangle

{') Cela CBt toujoura paisible puisque les'fra étions qui oot pourTaleim o et b peuvent toujours £tre réduites au même dénominaleur. Soit n ce dénominateur : la »'•■■• partie de l'unilé de surface sera l'unité auxiliaire requise.

(*) Au lieu de dire que le recItatgU est un produit, les anciens employaient le mot rectangle (rectangle de d. ux quantités, rectangle de deux nombres] dans le sens où nous prenons le mot produit. Nous avons nousmtmes continué à appeler earri le produit d'un nombre par luj-mèiue. Le carré d'une longueur AB est désigné par le symliole AB'.

(') Prenant sur une droite un segment AB ayant pour longueur une dimension a du rectangle, il faudra mener en A et B des perpendiculaires à AB (sut lesquelles on prendra des longueurs égales à t) : or c'est là une construction que'^la géométrie rationnelle enseigne à faire tris ritnplement [vidt infra, 3'1'i).

nlCRESSIO:t SUR la «lESrRB DES AIKES ET DES TOLrUES O"

\BCD que nona savons construire, nous pourrons considérer la nweure de o^tle aire comme tlicoriqtiement déterminée et nous dirons qne l'aire est égale au n produit des deux dimensions da rectangle a.

Rappelons, comment, pour les figures classiques les plus simples, le problème peut être ainsi résolu.