ParallélogramineB. triangles, polygones ('), — On

appelh paralléht/ramme (') un quadrilatère (p. 69, note i) dont les côtés sont deux & deux parallèles.

Pour mesurer l'aire du parallélogramme A BCD /] ~^

(fig. a6), abaissons des [roints A et D les per- ^—^ ^-^

pendiculaires Ail et DK sur ItC et son prolon- p- ^|,

gement. On démontre que {') les deux triangles ABH, DCK sont égaux (superposables). Donc on a :

surface AHCI) + surfoce AliH = surface AUCD t- surface CDK.

c'est-à-dire :

surface du paratiéiogramme ABCD ^= surface du rectangle AHKD.

.appelons alors base (*) (3ir;) du parallélogramme le c•^lé BC

(') L« lecteur trouvera dans tous les traitî's do géométrie élémentaire les (MmonatralioDs de* propoiitions qne nous noua bornons A énoncer. Ces démonstration! reposent sur les définitions et propriétés londamenteles des droites perpendiculaires et parallèles, savoir ;

Une droite est perpendiculaire sur une autre si elle forme avec elle deux angles droits {voirQor)i).

Par un point A pris Jur une droite 011 peut mener une et u no seule (droite) perpendiculaire à cette droite. ~ D'un point II pris kora d'une droite on peut abaisser une perpendiculaire et une seule sur cette droite.

Deux droites sont dites parallèles si elles ne se rencontrent pas quelque loin qu'on les prolonfe.

P«r un point pri» hors d'une droite on p«Mt toujours mener une parallèle à celte droite ; on n'en peut mener qu'une teule d'itprès te postulait dit PottuUU d'Eudide [voir Deur. liv., V, S 9).

(') De -v^%Xi.i}.ai, porallèle et ypoi|jiiï|, droite, l'n parallélogramme dont les angles sont droits est un rectangle. Un parallélogramme dont tous )es côtés sont égaux est appelé losange [ou rhombe).

{') En appliquant les théorèmes dei n" ififl, 172.

{*] On pont naturellement prendre pour base, au lieu de BC, un cflt* quelconque du parallélogramme ; une démonstration semblable conduit

(c'est l'un quelconque des cûlés du parallélogramme) et liaalcnr (û^it:] la longueur AH ou DK, c'cst-à-dirc la distance des deux côtés parallèles BC et AD. Nous pouvons dire que taire da parallélogramme est éijale au produit de la longueur de sa base par sa hauteur.

76. — Soit maintenaQt proposé le Iriant/le ABC (Tpîïwv^v). Le trîanglepcu t être regai'décommela moitié du parallélogramme ABCD (Cg. 27) ; en effet, on démontre que les deux triangles ABC, DCA qui composent ce parallélogramme sont égaux (siiperposabics). Appelons alors, hauteur (') (relative au côté BC) la perpendicu-

laire AH abaissée du sommet A sur le côté oppose BC. Nous pouvons dire que l'aire du triangle { j est égale au demiproduit de la longueur de sa base par la longueur de sa hauteur. [On peut naturellement prendre pour base un côté quelconque dti triangle ; à chaque côté correspond une hauteur].

Remarque. — Les conclusions sont les mêmes dans le cas où le pied H de la hauteur n'est pas entre B et C maïs bien sur le prolongement de BC; ainsi dans la figure a8 l'angle .\BC est alors obtus, tandis qu'il est aigu dans les figures 26 et 27.

77. — Considérons enfin un polygone quelconque (66), par exemple le pentagone ABCDE. Prenant un point 0 à l'intérieur

AUX mêmes conclusions, d'où il résulte que, de quelque c&td que l'on parte, le produit de la longueur de ce cfité par la hauteur corretpoR' danle a la min\e valeur.

CI Parle mot Aaufeur nous désignons eu général une longueur [cf. 11° 7(1, ^, ftr, etc.]. Dana lo cas du triangle, cependant (et dans le cai de la pyramide, vide injra] lo même mot ■ hauteur ' désigne iudistiD clément, tantAt le segment de droite tel que AH, tantôt la longueur de ce segment. Il on sera do même pour le mot c6ti (côté d'un triangle ou d'un polygone) et, chez certains auteurs, pour le mot tiaae (d'un triangle ou d'un parallélogrammej.

SUR LA. MESURE DES AtlIES ET DES VOLUMES

de ce polygone et joignant ce point aux divers sommels (fig. sg) nous décomposons le polygone en triangles. Evaluant séparément les aires des triangles et faisant leur somme, nous aurons l'aire du polygone.

Exemple. — Soit à évaluer l'aire d'un trapèze (') (quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et inégaux, (fig. 3u)). .Vp[>elant Acbases les deux câtcs parallèles et /iau/eu/'(du trapèxe) la longueur la perpendiculaire AH aux bases nous démontrons (en décomposant le trapèze en deux Iriangles ADC. ABD) que taire du trapèze est éijaU au demi-proiluil de la demi-somme des longueurs de ses bases par sa hauteur (*).

78. Stéréomitrie. — La mesure des volumes des corps ou solides géomélriques (Ttipi»), — on appelle ainsi les figui^es gconiétriques tracées dans l'espace à trois dimensions et pourvue» d'un volume 'voir n" 60), — est l'objet de la sléràoméirie. Cette science ne suivit que de loin les progrès de la planimétrîe, bien que l'on trouve déjà dans le manuel d'Abmes quelques mesures approximatives de volume (comparer n" 71). L'ignorance où nous sommes, — opinait Platon dans les premières années du iv° siècle {Lois Vil, cliap. ai), — par rapport fi la mesure des corps suivant leur longueur, largeur et profondeur, convient moins h des hommes qu'à de stupides animaux : « j'en ai rougi non seulement pour moi-même, mais pour tous les Grecs ». Protestation sévère, mais qui porta ses fruits : car lorsque Platon mourut en 3/|8, les bases de k stéréométrie étaient d'oi-es et déjà, grâce aux travaux d'Arckytas de TarenEe et d'Ewloxe de Cnîde, solidement établies.

(') Le mot TpancE^'-OM a été employé par lei Grecs dans dea acceptions dÎTersea ; celle que nous indiquons a seule subsisté.

(I) Les hauteurs des deux triangles AH et DHi (voir fig. 3i)) sont égales.

LES G HA IDE uns

Pour meaurer les volumes, nous raisonnerons et procéderons comme noue l'avons fait pour mesurer les surfaces {' ■.

(') Je rappelle les énoncéa des propriétcs fondamcntalea des plans »ur lesquelles reposent les définitions des figures mlidet dont nous allons nous occuper.

Par Iroi» pointa quelconques de V espace, twntituia sur une même droile.il patse un plan et un seul (nous nous dispensons de défitiir la notion de pian. voir »upra, n" 53). Ce plan contient toutes les droites qui joignent l'un des trois points (C sur la figure) à un point arititraire M de la droite indéfiniment prolongée qui passe par lesdeux autres pointa (Aet B sur la fig. 3i). Par définilion, la parallile à une droite AB menée par un point C est kl parallèle CD (fig. li) ratnée k AB par C dans le plan déterminé par la droite AB et le point C.

Deux droites <fui te coupent, telles que CM, AB (fig. 3i) ou deux droites parallèles telles que AB, CD déterminent un plan [c'cit-i-dire qu'il existe un plan et

Si deux droites ne se coupent pas et ne ans des plans UilTërents.

e coupent suivant une droite [c'est-à-dire ont en

Fig. î..

sont pas parallèles, elles s.

Deux plans quelconques .

commun une droite, indéfiniment prolongeable dans les deux sens, appelée interteetion des deux pUnsJ et forment un dièdrefn» 59), — ou sont parallèles [fig, 3a; sur la [figuration d'un plan par un parallélogramme, voir .'iqi.

Un plan est dit paralièle à une droite donnée (' contient une droite parallèle à cette droite donnée.

I de lui) s'il

Un plan — je le désigne par

t P — 9111 est paraUêle à un e plan Q est parallèle à toutes tes droites contenues dan» le plan Q,

Par un point extérieur â

un plan donné P, il passe un

plan parallèle àP et un seul.

Quand deux plan* sont pa-

■"'S' '^- rallèles leurn interaeclions par

untroisième planquelconquesontdeuxdroites parallèles.

Une droite BA (fig. îl) qui coupe un plan P au c- ,,

point A est dite perpendiculaire sur ce plan si elle 'S- '■

est perpendiculaire à toutes les droites du pion P qui passent par A.

Pur un point A d'un plan P on peut mener une droite H une seule perpendiculaire au plan P.

D'un point B puis hors d'un plan P on peut abaisser une droite et une seule perpendiculaire sur le plan P.

Deux droitrs perpendiculaires à un mfme plan sont perpendiculaire». Un pian Q (fig. î^l est dit perpendiculaire à un autre plan P s'il con-

DICRESSIO^I SUR LA HESURB DES AUBS 8T DES VOLUMES 9I

Nous commencooiM donc pai' considérer l«9 potyèdres, figares de Vtapêce qui correspondent aux figures planes appelées polygones.

Un polyèdre (itoXuiipiiv) est un solide limité par des polygones situés dans des plans différents et ayant deux à deux un c&li commun (exemple : lig. 35). Les polygones sont les faces du polyèdre, leurs càtésen sont les arétet, leurs sommets en sont les sommelt.

Le polyèdve le plus simple est le cu&tf (xJ^o;), corps limité par sis carrés égaux (fig. 36). Le cube qui a pour faoe l'unité de surface est, par définition, l'unilé de volume. Ainsi le volume du cube dont l'arête est i mètre a pour mesure un mitre cube.

70. Volume du parallélépipède rectangle. Produit de trol« loognaura. ~OaB,ppeH&paraltélépii'èderectangle( ns;^o À ) t, 1 = tt ixiiov ) , un corps limité par six rectangles, opposés et égaux deux k deux (') {exemple : une boîle, une chambre, fig. 37). On démontre que toutes les arêtes dn parallélépipède rectangle AEtCDA'B'CD' sont égales soit A AB, soit à AD, soit k AA' . Ces trois longueurs sont appelé» les trois dimensions (') du parallélépipède : on peut regarder la longueur \A' comme ° '^ la hauteur et AB, A'B' comme les deux côtés {di- '*■ "■ meustons) de la base ABCD du parallélépipède.

On peut raisonner sur le parallélépipède rectangle comme sur le rectangle plan. Supposons d'abord que les trois dimensions \B,

tient une droite perpendiculaire à ce plau {il contient en ce cas une infinité de telles droites).

Ces diverses propositions, que noua dicta immédiatement notre intuition peuvent être déduites lo^quement d'un petit nombre de définitions et postulats. Bile* sont démontrées au xi' livre des EUments d'EucLiDF..

(*) Lei rectai^le* opposés sont situés dans des plans parallèles.

ci On les appelle souvent : longueur, largeur, profondeur (;»^koî, r). jtoj, piOo;, dit Evclide).

9a LES GRilKDEURS

AD, AA' aient (par rapport à l'unité de longueur) des mesures exactes (nombres rationnels) a, b, c. On démontre que la mesure du parallélépipède (par rapport au cube-unité) est le produit (') ax b X c.Si, par contre, les trois dimensions n'ont pas de mesures exactes, le produit de leurs mesures approchées donne la mesure du parallélépipède avec une approximation arbitrairement grande. Nous concluons de là que la construction d'an parallélépipède rectangle sur trois longueurs données (c'est-à-dire : ayant pour dimensions trois longueurs données) est une opération équivalente à la multiplication arithmétique de trois Jacteurs. Nous conviendrons donc de dire que le volume du parallélépipède rectangle ABCDA B'C'D' est le produit des trois longueurs AB, AD, AA'.

Gela dit, si nous démontrons d'un volume donné quelconque qu'il est égal au volume d'un parallélépipède rectangle que nous savons construire [voir au n° 60 la dérinilion de l'égalité entre les volumes de deux corps] nous pourrons considérer la mesure do ce volume comme théoriquement déterminée. C'est en ce sens que la géométrie rationnelle résout le prohlénie de la mesure des volumes.

80. Volume d'un prisme droit. — On appelle prisme (*) droit wn corps limité par deui polygones égaux situés dans des plans parallèles [ces polygones sont les bases du prisme, ADCDE et A'B'C'D'E' sur la fig. 38] et par des rectangles joignant deux à deux les côtés correspondants ({laraliélcs) des bases (rectangles AB\'B', BCB'C, etc., sur la fig. 38); l'en- Fig îa, semble des rectangles constitue la surface latérale du prisme: les côtés .W, BB', etc., sont les arêtes; ces arêtes sont perpendiculaires sur les plans des Iwses et leur longueur commune est appelée ii hauteur n du prisme.

Lorsque les bases d'un prisme droit sont des parallélogrammes, ce prisme est appelé parallélépidhle droit. En raisonnant sur un tel parallélépipède comme sur le parallélogramme (n° 7B), nous démontrons que le volume du parallélépipède ABGDA'B'C'D'

(') C'est pourquoi le produit ilo trois nombres cardinaux, qui reprciente le volumo d'un solide, est appelé nombre aolidf. (') Ppioiia de TcpUiv Bcier, et. Eucude, liv. XI, dit. i3.

DIGtlESSlO:^ SUR LA MESURE DES AIIIES ET DES VOLUMES 9^

(dg. 3()) est égal au volume du parallèle pi j)è(lG rectangle AEFDA'E'F'D' qui a une base éijale &i «ne haalear égale. J'en conclus que le volume de .\11CD\'13'C'D' esl égal an produit de Vaire de &<t base par sa haaleur.

Le volume du prisme droit à base triangulaire VBCVIÎTG'B' (fig. 4d) est manifeetement la moitîédu volume du parallélépipède

•^tsi^x

Fis- 39.

Fig. io.

droit ABCDA'B'C'D' ; or la base de ce prisme (triangle ABC)

est la moitié du parallélogramme ABCD : donc le volume du

prisme droit à base triangulaire esl encore le produit de taire de sa

base par sa hauteur.

Cela dit, nous remarquons qu'un prisme droit quelconque tel

que ABCDEA'B'C'D'E' (fig, lu) peut toujours

être décomposé «n prismes droits k bases

triangulaires. [Ainsi, en menant sur la figure ^i

'es droites AC, .\D et A'C et AD', nous décomposons notre prisme en trois prismes à

bases triangulaires ABCA'BC, ACDA'C'D'.

ADEA'iyE'], D'ailleurs tous ces prismes ont

même hauteur et la somme des aires de leurs

bases est l'aire du prisme total. Donc le volume de ce dernier esl encore égal au produit de Faire de sa base par xa hauteur.

Fig. i..

81 . Frlmcu obliques. — On appelle prisme oblique un corps limité par deux polygones ' égaux situés dans des plans parallèles (ce sont les bases du prisme, ABCDE et VB'C'D' sur la fig. 4a) et par des parallélogrammes joignant Jeux à deux les côtés des bases (parallélogrammes ABA'B', etc., surlalig. 43); lescôlésAA', BB',... sont les nr^fesdu prisme. La

Fig. Si.

longueur HH' d'un segment de droite compris entre les deux bases et perpendiculaire k leurs plans est appelée « hauteur » du prisme (').

Ceci posé, on démontre que tout prisme oblique est égal k un prisiHe droit Bjranl une base d'aire égale el une hauteur égaie. On en conclut que le volume <hi prisme oblique est irjal au prwlait de faire de sa base par sa hauteur.

82. Pyramide triangulaire on tétraèdre. — Ndus avons défini au n"60 la pyinmide tiiangulaire. Celle pyramide est un polyèdre k quatre faces que l'on appelle pour cette raison tétraèdre (du grec Tïxsisôpo/). Construisons (fig. ^3) le prisme oblique ABCSDID qui a pour base inférieure la base ABC de la pyramide S\BG et qui a uoe hauteur égaleà la longueur de la perpendicnlairo abaissée du sommet S sur la face MtC (hauteur . Menons, d'autre part, la droite AE qui est une diagonale du parallélogramme ACED. On démontre que la pyramide SABG a même volume que chacune des deux pyramides équivalentes SADK, SACK.Onen conclnlque te volume delà pyramide e^t le tiers du volume du prisme et est, par conséquent, égal au produit de l'aire de la base de la pyramide par U tiers de sa hantear. On peut naturellement traiter comme base du tétraèdre l'une quelconque de ses faces.

83. Pyramide quelconque. — On donne, d'une manière générale, le nom de pyramide à un solide limité par un polygone (appelé base) et par des faces triangulaires latérales ayant un sommet commun S cl pour côtes op|>osés à ce sommet les dilTérents côtés du polygone>base (exemple : la lig. 44}- £u décomimsant la base en triangles (triangles AltC, ACD,ADË sur la figure i'i) on décompose la pyramide donnée en pyramides triangulaires qui ont

[') Si Ic9 bases sont elles-mSmes des paratlélogrti dit paraUiUpipède oblique.

le prisme est

DIGHESSIO\ BUK LA «ESUIIB DBS AIRES ET DES VOtUUES 9»

des hauteurs égales ('), et doDt les bases ont pour soiHDie l'aire de la base polygonale proposée. On en conclut que le volume de la pyramide est toujours le produit de faire de sa base par le tiers de sa hauteur (*).

84. Aire du cercle. — Nousnenuus sommes occupés jusqu'ici que d'aires ou de volumes limités par des droites ou des faces plaaes. C'est qu'en elTet, quelque combinaison d'opéralions connues (cf. n" 63) que l'on opère sur l'unité de surface (plane) ou l'unité de volume, ou n'obtiendra jamais comme résiillat — si ce n'est dans des cas très exceptionnels — ni une aire plane limitée par une ligne courbe, ni un volume limité par une surface courbe (surface Don-plane). Les mesures de semblables aires ou volumes ne pourront donc pas, en général, ôli-c ratiicnées par un procédé théorique exact (=) k des mesures de longueurs recliligncs ainsi

('] toulta rgales A la hautsur de la pyramide pnipesêe, c'est-à-dire à la longueur de la parpendiculaire abaissée du somiaet sur la base [par l'expivssion ■ hauteur de la pyramide ■ nous dcsîgiions, suivant les cas, cette perpendiculaire ou sa longueur, cf. p. RN, nota i].

{') La découverte de celto proposition est attribuée à Evdoxe deCmde [vuU tupra, aP 78). — Rappelons qu'à l'étude la pyramide se tattach* celle d'un corps solide remarquable qui a joue un frrand rôle en géométrie : c'est la pyramide trenquée ou trône de pyramide (nupiii!; xiiXojpiï on '^0,':i^s!ihr,) portion de pyramide comprise entre la btue et un plan parallèle à la base; ce plan coupe les diverses faces 3

latérales de la pyramide suivant des segmeats de -t;

droites dont la réunion forme un polygone, appelé ,' ' \

base supérieure du tronc ; la base de Is pyramide en es: la bane inltrUare; aiDM, la figure ABCA'B'C ci-contre est un tronc de pyramide à bases triangulaires. Le tronc de pyramide est la di/firence de» deux pyramides [sur la figure : SABC, SAB.C] ; il a pour hauteur la diftérence SIl-SH' des hauteurs '"^ ''^•

des deux pyramides. Appelons A la mesure de celte hauteur, 6 et 6 les mesures (exactes ou arbitrairement approchées) des aires des deux bases (intérieure et supérieure) : la mciure du volume du tronc do pyramide est donnée en termes précis, au i^'' ou nu 11' siècle ap. J.-C, par Hêeon d'Alexandrie {SUreometrica l, chap. 33, 31, Meirica. liv. II}; elle a pour expression (exacte ou arbitrairement approchée) : * X (*-!- f -i-ifT^T).

{') c'est-à-dire conduisant à la mesure exacte «t non pas seulement à une mesure approchée. C'est pounjuoi le problème de la détermination des aires et volumes courbe* est exclu des Eliments d'EucuEE. Euclîde se borne à des eomparaiton» de telles aire* ou de tels volumes entre eux' {vidt n° G4).

g6 LEâ GRANDEURS

(ju'il a élé requis au n°73. Mais, si l'on suppose connue la longueur tl'une courbe, par exemple, la lon^ieur du cercle de rayon i , on peut déduire de cette longueur la grandeur de nonibi-ciises surfaces ou volumes dans la figure desquels cuire cette courbe.

Proposons-nous, tout d'abord, de déterminer l'aïro du cercle.

Inscrivons dans le cercle île centre 0, comme nous l'avons déjà

fait, au n" 66, un polygone régulier ayant un très grand nombre

de très petits côtés égaux Ali, BC, ... et dont le contour est tiès

voisin du contour du cerele. L'oirc de ce polygone esl la somme

des aires des triangles 0AI5, OBC. etc. Tous ces triangles sont

d'ailleurs égaux (comme ayant leurs trois certes

égaux, voir 173) et leurs hauteurs OH ,

OH', etc., sont par conséquent toutes égales (In

longueur commune de ces hauteurs est appcico

(tpoUihiic). Si donc le polygone a n côtés, son

aire est égale à n fois l'aire ilu triangle 0.\B,

P'B- '■'•■ c'est-i-dii-c à n fois le dcmi-produil de la lon-

gueurAB par la longueur OH, ou, si l'on veut, égale au demï-pm ■

duil de la longueur OH par la longueur du pérlmilre du polygone

(ce périmètre égale n fois AB). Cela dit, multiplions indéfiniment

le nombre dos côtés du polygone, de manière que son contour se

rapproche indéfiniment du contour du cercle; la longueur OH est

de plus en plus voisine de la longueur du rayon du cercle, et le

périmètre et l'aire du polygone se rapprochent de

plus en plus de la longueur et de l'aire du cercle, /^ ^^

Nous concluons (') de là que taire ('; du cercle est \ y

égale aa demi-produit de la longueur de son rayon

par la longueur de sa circonférence ('), '*' ''

La môme démonstration établit que l'aire d'un secteur circulaire

(') Pour rendre la dcmODBtratiou rigoureuse, il faut suivre la voie qui a élé indiquée au § ^,

(') Ahchihède énonce ainsi ce théorème : [KjxXoj [ittpijait, Œuvr., éd. 'Ileiberg I, p. -ila] nie kjkJ.û; Çoo^ Èot! -f.-jù-'oi ôpgoYUJvîui où i, |ièv Ix T'j-j yAllpOV *0i| (*'.à TÙrt nei'i tT,v ôpej.v, r, oï TT£;;;),i-c?Dî TÎi pàjEl. Tout cercle eat égal à un triangle rectangle, son rayon étant égal à un det rôtis de VangU droit et son périmètre à la base du triangle rectangle.

(^) Lorsque nous auroos défini les nombres irrationuels et transcendants nous pourrons dire que la mesure de l'aire du cercle dont le rayon a pour mesure le nombre r est - X ;) .n.r, donc n X r' (voir n" 68).