IV'R LA MESURE DES AIRES ET DES VOLUMES

(ou portion de cercle comprise enlre deux rayons donnés OA, OB, fig. àj) est égale k la demi-longueur de Carc AB multipliée par la longueur du rayon.

85. Alr« et volume du cylindre. — C'est par une méthode semblable que nous parviendions ù la définition et h la délermina- Uon des aires et volumes des corps ronds tels que le cylindre, le cône, la sphère.

On obtient (on engendre) un cylindre {n-JMii^i^ de xuXiïStiv, rouler) — plus précisément un cylindre droit — en faisant tourner un rectangle ABCD autour d'un de ses côtés AB pris comme pivot (') de telle sorte que chacun des câtés AC et BD se meuve

Fig. ÛS. Fig. Sg.

dans un plan et engendre un cercle. Si l'on remplaçait le rectangle par un parallélogramme on aurnît un cylindre oblique (fig. /19).

Le côté CD du rectangle (ou parallélogramme) générateur, ou plutôt, les droites de l'espace avec lesquelles, en tournant, ce côté vient successivement coïncider, sont \es génératrices du cylindre ; il y en a une infinité dont l'ensemble constitue la surface, plus exactement, la surface latérale du cylîndi-e, Les cercles engendrés par les côtés AC et BD de ia figure génératrice sont appelés bases du cylindre (*). Quant au côté .\B, si le cylindre est droit, il est dit axe du cylindre {axe de rotation ou de révolution) ; sa longueur est la hauteur du cylindre.

Pour évaluer l'aire de la surface latérale et le volume du cy-

(') C'ett là la définition du cylindre que donne Euclide {Elimenli, Jiv. XI. déf. Hi). Celle définition — qui indique conunent Ja iigure est engendrée — eil dite difinilion ginilique.

(■) D'aprèa la terminotogis adoptée dans la théorie générale de« cylindres te contour de l'un ou de l'autre des cercles du base sera une " direclrice 1, du cylindre [courbe iur laquelle s'appuient les génératrices].

BouTUM». — L« Priiuipai di l'Anal^is Dutbi'maliqug. 7

LES GRAMDBimS

lindre droit, nous însciiroas dans le cercle de base inférieur un polygone régulier A.BCD ... d'un grand nombre de côtés (je n« marque sur la ligure ci-contre que les premiers sommets du polygone). On démontre facilement que les points A', B', G', ... où les génératrices .\A', BB', CC, ... du cylindre, issues des points A, B, G, ... rencontrent le cercle de base supérieur sont les sommets d'un polygone régulier (inscrit dans ce cercle) égal (con-

^ ,^ gruent) au polygone .\BCD ... Construisant ce

polygone, nous constatons que la figure ABCD ... A'B'C'D' ... (polytdre ayant pour arêtes les côtés des deui polygones réguliers et les génératrices qui joignent leurs sommets correspondants] est un » t \ prisme droit, prisme qui sera dit m inscrit dans le f''"-' t cylindre ". L'aire de la surface latérale de ce fig. 5o. prisme, — c'est-à-dire l'aire de la somme de ses faces latérales, qui sont des rectangles égaux, — est égale k la hauteur commune (') des rectangles (hauteur du cylindre), multipliée par la somme des longueurs des côtés AE, BC c'est-àdire par le péiimitre du polygone régulier inscrit dans la base. Or, lorsque nous augmentons indéfiniment le nombre des côtés de ce polygone, son périmètre se rapproche indéfiniment de la longueur de la circonférence de base. D'où cette conclusion : taire de la sur/ace latérale du cylindre droit est égale au produit de la longueur de la circonférence de base par la hauteur da cylindre.

Pareillement, le volume du prisme inscrit est égal au produit de sa hauteur (hauteur du cylindre) par l'aire de sa base. Augmentant indénnimenl te nombre des côtés de cette base, nous constatons que le volume du cylïndre est égal au produit de Caire de sa base par sa hauteur.

86. Aire et volume du oône droit. — Le cône droit (kûvc:) est engendré ]^>ar un triangle rectangle \BG qui Eourne autour

(') Je regarde comme la hauteur de l'un quelconque des nctangles coniidéréi la longueur de ceux de ses câtés qui lout des génératrices du cylindre. Cette hauteur est ■ commune ■> à tous les rectangles (c'est-àdire est la mime pour tous).

DIGftESS>0:< SUR LA HESUKE DES AIDES ET DBS VOLUMES 99

d'un de ses côtés, autre que l'bypotéause, pris comme pivot ('). Le côté-pivot (6g. 5i) est l'axe du cône, sa longueur en est U haaiear, son extrémité B en est le sommet ; les droites de l'espace avec lesquelles vient successivement coïncider l'hypoténuse tournante sont les génératrices ou arêtes ; leur ensemble constitue la surface latérale du cône ; le cercle engendré par le càté AC est le cercle de base.

Pour évaluer l'aire de la surface latérale et le volume du cône, nous inscrirons encore un polygone régulier dans le cercle de base. Ce polygone, avec les géocratrices qui joignent ses sommets au sommet B du cône, déËnit une pyramide qui est Il inscrite dans le cône n. Evaluant l'aire des faces *' "'

latérales et le volume de cette pyramide, puis augmentant îndé- Tmiment le nombre des faces, nous parvenons aux conclusions suivantes : Caire de la surface latérale du cône droit est égale au demi-produit de la longueur de la génératrice par la longueur de la circonférence de base; le volume du cône droit est égal au tiers, da pnxluit de la hauteur par Paire du cercle de base (').

87. Sphère. — On appelle sphère (<TfiiiTp>), la figure découpée dans l'espace à trois dimensions par l'ensemble des points situés à la même distance d'un même point, appelé centre de la sphère ; l'ensemble de ces points constitue la surface de la sphère ; tous les poiols de l'espace qui se trouvent à l'intérieur de cette surface (plus rapprochés du centre) sont dits intérieurs à la splière; le segment de droite joignant le centre à un point quelconque de la

('] Si le triangle tournant n'est pas rectangle, maia pivote cependant

de telle sorte que le côté BC décrive un cercle, la figure engendrée est

un côtu oblique. On peut toujour» définir ce cOne comme

/'•, 1a figure obtenue en joignant tous tes pointa d'une

\ circonféreace à un mfimo point titué hois du plan de

Jr~~\ cette circonlérence.

/ \ (') La portion d'un cane comprise entre la base et

/' --X un plan parallèle à la base (situé entre le sommet et