Reports et proportions

88. — La mesure, telle que nous l'avons déAnie au s 2, indique combien de fois l'unité est contenue dans la grandeur mesurée. Elle est donc relative k l'unité et variable en même temps qu'elle : ainsi la longueur qui a pour mesure 1 609 en kilomètres mesure

(') ^.Ti.r'pourl'aire, ^n.r^ pour le volume, avec les notalions et dans lee condittoiii iadiquccs page g6, Dote 3.

(*) AncniMÈDE a présenté ces faits soub diverses loTmes; il énonce en particulier comme il suit le théorème relatif au volume : o xjXivSpo; 0 ^ii:v [ilv î-/tov "iiT,ï Ti^i [Ufla^i^ xixXqj zCut ii f^ aoaip^, Zfyoi Si 'aiv TÎi 3[X[iiTpi{) "ctIc a^îîac aÙTOî te tijuiXiii tn'.v rf,; ooïipic, xii i, iniçivEi» («urtaco totale c'est-i-dire surface latéral plus surfaces des bases) a'j~oû T^ç ÏTtiçi'vEia; T»;; oçiîpi; {Hipt otpn'paî r.a\ xuXî-iSp'.uc, I préface}. Sur le tombeau d'Arcbimède, un monument représentant la sphôre ot le cylindre circonscrit (qui a pour base un grand cercle) immortalisa l'énonce de ce théorème.

I09 LES GRANDEDItS

I ooo en milles anglais. Mais il y a quelque chose qne ne modifient pas les changements d'unités. Considérons en effet deux longueurs commensurables quelconques dont les mesures exactes aient été calculées par rapport \ des unités différentes : il résulte des définitions du n' M que le rapport {ou ({aotiènt) des mesures respectives des deux longueurs reste le même lorsque ton passe d'une unité à une autre ; ce rapport, en d'autres termes, ne dépend que de la grandeur relative des deux longueurs et non de l'unité qui sert k les mesurer. C'est pourquoi notre langage ne prêtera à aucune équivoque si nous convenons d'appeler u rapport {ratio) des deux longueurs AB et CD i> le rapport de leurs mesures exactes déterminées relativement k une unité quelconque: nous pouvons ajouter qu'en conséquence de nos définitions (61). le

rapport Wg n'est autre que le nombre (entier ou fractionnaire) qui mesure la longueur \B quand on prend la longueur Gl> pour unité.

Ainsi les mesures exactes représentent des rapports de grandeurs à grandeurs semblables (car nous pourrions raisonner sur des grandeurs quelconques comme nous l'avons fait sur les longueurs), el les calculs efTeotués sur les mesures ne sont que l'expression numérique des comparaisons et rapprochements auxquels donnent lieu les rapporta de grandeurs.

Il en est ainsi du moins pour les grandeurs exactement mesurables. En sera-t-il autrement pour les autres? — Sans doute, dans le cas des grandeurs incommensurables, l'assimilation de la mesure à un nombre fractionnaire n'a plus qu'une valeur approximative. Mais lo notion de rapport de grandeurs, — qui est, nous venons de le voir, indépendante de l'unité et par conséquent du calcul, — est-elle nécessairement dépendante de la notion de nombre? Ne pourrait-on pas soutenir que nous en avons l'intuition directe et qu'en conséquence noua sommes libres de l'appliquera toutes les grandeurs géométriques, indistinctement?

?ious allons \-oir qu'il en est ainsi en effet et que l'on peut considérer et étudier des n rapports >i de grandeurs quelconques, se prêtant tous à des opérations identiques (';.

(') C'est EuDoxE deCmdb, contemporain de Ptaton, qui paraît avoir constitué le premier une théorio générale des rapporta géométriquec, et l'oD a même attribue à ce géomitre la paternité du V* livre dos

ET PROPORTIONS Io3

90. Rapporta de longnenrs. Blmllitncle. — Le géomètre se fait du rapport de deux longueurs (ou, plus généralement, de deux grandeurs géométriques) une idée parfaitement nette quoique difficile à formuler en termes rigoureux ('). Cette idée est liée h celle de la similitude. Imaginons par exemple que nous fassions une réduction ou un agrandissement d'une épreuve photographique : nous dirons que la nouvelle image est semblable à la première ; elle a la même forme sans avoir la même grandeur. Traçons sur l'épreuve primitive deux segments de droites arbitraires AB, CD, et appelons (*) A'B', CD' les « images » respectives de ces deux

EUmenU d'Euclide, où te trouve l'exposé de cette théorie. Les proportions du V* livre simplifient considérablement l'étude des aires et volumes (voir le paragraphe précédent) et redonnent, par unevoie nouvelle, les réluitats auxquels on a tout d'abord été conduit par la considération directe de l'égalité géométrique. (Exemple : Le théorème de Pythagore, voir igg). M.Zeutben suppose (Hiat. dei malh. dans l'arttigu.) que les difficultés inhérentes à la théorie des proportions ne furent définitivement surmontées que peu de temps avant Euclide : c'est pourquoi celui-ci aurait tenu à laisser une place dans son système à la méthode ancienne k cftté de la nouvelle.

(') Le rapport ().4-f°î) ^"'' *!'' Euclide, une certaine manière d'être (irsii afkaii, quatdam fuibitudo) de deux grandeurs homogènes entre elles suivant la quantité [EUmenU, liv. V, dé(. 3]. Mais Euctinx (ou Eudoxe, voir la note précédente} ne se contente pas de cette affirmation : il donne du rapport une définition indirecte et arithmétique qui ne diffère guère au fond de celle que fournit la théorie moderne des nombres irrationnels exposée ci-dessous au § 8.

Deux grandeurs, dit-it (déf. 4), sont dites avoir une raison [ratio] entre elles lorsque ces grandeurs étant multipliées peuvent se surpasser mutuellement ! en d'autres termes (en désignant les grandeurs par A et B), si l'on peut trouver deux nombres entiers m et n tels que m fois A > B et n fois B > A. — Que deux grandeurs de même espèce (par exemple deux longueurs ou deux aires) satisfassent k ces conditions (et aient par conséquent un rapport), c'est là un postulat qui équivaut à l'axiome connu sous le nom de pottulat d'Archimède {vide, p. 74, note 1).

La définition des rapports égaux est donnée en ces termes par EvcuDE : ■ Des grandeurs sont dites en même raison, la première à la seconde et la troisième k la quatrième, lorsque des équîmultîples [produits par un même nombre] quelconquesde la première et de la troisième et d'autres équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième sont tels que les preniiers équimultiples surpassent, chacun à chacun, les seconds équimultiples, ou leur sont égaux à la fois, on sont plus petits à la fois. 1 (trad. Peyrard).

0 Les segments A'B', CD', ... sont dits ftomologues des segments AB, CD, ... et proportionnett à ces segments.

io4

LES GRA^tDEURS

segments sur l'épreuve réduite ou agrandie. Nous dirons que le (i rapport » de AB h A'B' (rapport que nous désignerons par le

symbole TTirr) <^3' ^9^,1 {^) au rapport de CD à CD' ; ce rapport est donc indépendant du choix des droites AB, CD considérées : il caractérise le rapport des échelles (') {rapport de réduction ou dVgrandissement) des deux figures (').

L'exemple le plus simple de figures semblables nous est fourni par une construction qui était bien connue des géomètres grecs du v' siècle (Hippocrate de Ghios et Arcbytas de Tarente en particulier). Soit un triangle ABC et une droite B'C, parallèle au côté BC, qui conpe les côtés AB, AC aux points B' et C (Hg. 55) : les triangles "B- "^^ ABC et AB'C sont deux figures semblables (';,

en sorte que l'on peut écrire (voir la note i) :

AB' AC B'C AB ^ aC ~ "BC^ "

(') Noua écrirons du:

tel arithméticiens

AB

m exprimant l'égalité par le même «igae que CD