ÂF"AC'* B"B~CX' AB

Les mêmes égalités sont encore vraies lorsque la parallèle A BC ne traverse pas le triangle et ren- ^^

contre les côtés AB et AC sur leurs prolongements (comme il arrive sur les figures 59).

D'ailleurs, une fois acquise l'égalité ^^ des deux rapports vg et tç^,, on démon- ^'8- ^9-

Irera (*) facilement, en s' appuyant sur les théorèmes de la géocurvilignes aemblables : les points A', B', C, D' sont les images des points A,B,C,D ; les segmenta AB, CD d'une part, et tes segments 1 homologues > AB', CD', d'autre part, sont proportionnels (ce qui veut dire que leurs rapports sont égaux).

(') Ce théorème est souvent appelé théorème de Thaïes; mais iî ne semble pas que l'on soit autorisé à en attribuer la paternité au géomètre de Milet.

(') Menons CD' parallèle à AB (Hg. bâ). Notre tbéor£me, appliqué aux «6tés QA et CB du grand triangle donne l'égalité v-q =- ur , "»• *> l'ott veut (d'après les propriétés des proportions mentionnées au n" 95] l'égalité équivalente xp- " ~gïj ■ Mais la ligure BB'CD est un parallélogramme, et par suite BD' = BC. Donc on a bien ^q = dq ■ I^ démonstration est semblable lorsque la Tigure est disposée comme sur Ips figures 59.

On démontrera aussi (voir chap. m, § 3) que le rapport -, j,- est égal au rapport de deux droites quelconques se correspondant dans les deux triangles (par exemple deux hauteurs, ou deux bissectrices).

LES GKA5DEURS

mélrîe, que ces rappoils sont aussi égaux au rapport -^ comme nous l'avons déclaré.

91. — Maiscetleégalitédesrapporls-^, ^, qu'affirme notre proposition, peut-elle, elle-même, être démontrée} On ne saurait la prouver quepardesconsidéralionsarithmétiques. Dupointdevuede la géométrie, il faut l'admettre a priori (ou admettre une proposition équivalente), ce qui relaient à voir dans la conÉlraction des f/éomèlres grecs la définition même de la similitude et de téf/alilé des rapports de longueurs. Nous dirons, en d'autres termes, que le p rapport de deux longueurs /

^ -^ et m est égal au rapport de

doux autres longueurs n elp, ii ces longueurs satisfont à la condition géométrique suivante : Sur deux demi-droite»

arbitraires Ox, Oy issues d'un mêraepointO, je porte à partir de 0 des longueurs égales à f, m, n, p [savoir 0\ — /, OB = m sur Ox, et OC ^- ». CD = p sur Oj] ; les deux rapports seront dits égaux si les droites AC et BD sont parallèles (fig. 60).

Semblable définition ne se trouve toutefois justifiée que par ce fait que, dans le cas où elle est arithmétique ment contrôlable, — c'est-à-dire lorsque les quatre segments l, m, n, p sont exactement mesurables. — elle est en effet véridique ('). De ce fait.

Kg. 60.

(') Supposons que l'unité ou Bous-unité de longueur aoit contenue ui nombre exact de foia dans AB' et dans B'B, par exemple 2 fois dans AB' e 3 (oÎB dans B'B. Divisons AB en cinq segments égaux à l'unité, et par les extrémités de ces segmenta, menons les parallèles à BC qui coupent AG aux points G,, C, Cj, Cj. Je démontre que les segments G.C', C'Cj, CXb, C,C sont tous égaux à AG,.; [menona C.jD parallèfe à AR ; la figure BïBXjD est un parallélogramme [nO 75); donc C]D ■« BtB:] >e ABi ; d'ailleurs lea angles des triangles AB,C, ot CjDCj sont égaux {fide infra, 168); donc ces triangles sont égaux et l'ou a CXa = ACi ; la mSi tion a'applique aux aegments CiC, ..., C|C|. Il résulte de là que le point C e«t aux deux tiers de AC comme le point B' e^ t aux deux tiers de AB. On a semblableiuent si B'C eat hors du triangle (casdes rigures btf].

RAPPORTS ET PROPOSTIOriS IO7

d'ailleurs on conclura, en raisonnant comme au n* 61, que lorsque les grandeurs /et m, n et p qui satisfont à la condition énoncées sont incommensurables, les rapports de leurs mesures approchées ont des valeurs d'autant plus voisines l'une de l'autre que les grandeurs ont elles-mêmes été mesurées avec une approximation plus grande.

93. — La construction géométrique, faite comme il a été dit, permet de décider si deux rapports donnés sonl ou ne sont pas égaux : die permet également de classer par ordre de grandeur les rapports inégaux. Soient en effet considérées quatre longueurs ', m, n, p que nous portons comme tout à l'heure sur les deux droites Ox, Oy (fig. 60), savoir / et m sur Oa; (OA = l, OB ^= m), netp sur 0^ (OD "= p). Si l'extrémité de la longueur n tombe en G (point

de rencoDlre de Oy avec la parallèle \B à CD), les rapports - et ^ sont égaux (n° 8I1. Si cette extrémité tombe en Ci {c'est-à-dirc si la longueur P est plus petite que OC), le second rapport est plus

petit que le premier. Si elle tombe en C,, le rapport - est plus

jronrfque-.

Ainsi, sans pouvoir dire précisément ce que c'est qu'nn rapport, le géomètre sait comparer les rapports au point de vue de leur grandeur ; il sait, par conséquent, ranger un ensemble de rapports donnés suivant une suite croissante, c'est-à-dire dans un ordre tel que chaque rapport soit supérieur ou égal & tous ceux qui le précèdent dans la suite.

Il y a mieux. Le géomètre peut définir, sans ambiguïté, la somme, la différence, le prodiûl ou le quotient de deux rapports donnés.

93. — Remarquons d'abord qu'étant donné le rapport de deux hngueui's gaeleon^uet, on peut loujourt trouver un rapport égal formé de deux longueurs dont Cane est fixée à Fat'anre {par exemple égale à Funité). Portons, en effet, les deux longueurs données sur Ox (fig. 60): elles prennent les positions OA, OB. Prenons, d'autre part, sur Oy, la longueur OD égale k l'unité de

longueur et menons AC parallèle & BD- Le rapport q^ satisfait i la condition requise.

lO» LES GRANDEURS

Cela dit, soit à faire la somme de deux rapports t^W' '/t'-W'-

M 1 . j .CD G,D,

Nous pouvons remplacer ces rapports par des rapports rrr, . -pp ,

qui leursontrespectivementégauxet où EF est égala Viinîlédeloiiijaear. D'ailleurs les deux longueurs (segments) CD et CiDi ont une somme bjen déterminée qui est un certain segment Gli (n° 53).

Nous considérerons alors comme somme des deux rapports ^p

,C,D, r , , , . AB . A,B,-| ,

~ÊF \ P^"^ conséquent, comme sonmie de f,!,, et ,,..-, le

rapportj.gr.

94. — Passons au produit de deux rapports. Nous en pouvons donner a priori la délinition, défmilion que nous interpréterons comme il suit. J'imagine qu'après avoir agrandi une l'iireuve pliotographique, on opère sur l'agrandissement un nouvel agrandissement ('). Finalement l'épreuve aura été agrnudic dans un rapport qui sera regardé comme le produit des deux rapports d'agrandissement successivement adoptés. Considérons, en d'autres termes, deux segments Ali, CD de l'épreuve primitive ; appelons A'B', CD' leurs images sur la seconde épreuve, et (*) A'B', CD" leurs images sur la troisième épreuve. Par déQnition, le produit des . , ,,, ,. , AB / CD\ , A'B'/ C'D'\

deux rapports (a agrandissement), pji, (ou rrfyj el a'^B'\°" C'i)'l