I ■ A"* / CI

est égal au rapport jrg> (ou ^ir^-j-

De cette définition résulte celle du produit des rapports v,g,.

~rir~ t de deux couples quelconques de longueurs ; nous savons en

elTct (d'après le n" 93) construire une longueur AiBt don tlerapportJi

A,B, soit égal k .,.,-, ; le produit vn? X T"'»"' *^™' '^^^ 'o". ^S^^

. . A,B. A,B, , . AjBj au produit v-r,- X , ,.,-, , donc a t-ii> ,■

Ayant déflui le produit et la somme de deux rapports

(■) Comme noui raisonnons eur l'agrandissement, nous pourrions raisonner sur la réduction.

(') Les «ignet A', A'. ... se lisent : A prime, A tteonde, cf. supra, àt.

RAPPORTS ET PROPORTIONS lOQ

quelconques, nous saurons définir leur quotient et leur différence en particulier le quotient d'un rapport égal h i par un

.f^^i .CD ,. . , . .

tapport TTj sera le rapport j-ii dit inverse ou rapport inverse de

ABl Cî)\'

D'ailleurs, il serait facile de vérifier 'nous nous en dispenserons pour ne point allonger cette exposition) que les sommes et produits de rapports jouissent de toutes les propriétés associatives, commutalives et autres que nous avons énumérées en définissant les opérations fondamenUlcs de l'AritliméLique.

95. Application du calcul des rapports sn calcul des longueurs. — Ainsi, -sans faire appel à la notion de nombre, nous sommes en état de construire un véritable calcul des rapports géométriques {'), calcul analogue au calcul des fractions (Chap. I, S 5), et qui coïncide exactement avec ce calcul dans le cas particulier où les rapports sont des nombres 'mesures exactes, voir n° 88).

D'ailleurs les opérations effectuées sur les rapports correspondent toujours, aux termes mêmes de leurs défmitions, à des opérations elTectuécs sur les grandeurs; il sera donc toujours possible de transposer le calcul des rapports en un calcul relatif aux grandeurs elles-mêmes.

Convenons de remplacer un rapport (de longueurs) donné quelconque par le rapport ^^ar.-j^, où UN est la longueur-unité; nous savons toujours (n' 93) construire la longueur \B; nous dirons que celte longueur représente [est mesurée par) le rapport donné. Moyennant cette convention, les règles énoncées plus haut peuvent être prises comme définitions des opérations fondamentales (addition, soustraction, multiplication, division) efl'ccluées sur les longueurs. Les opérations ainsi définies ont ceci de remarquable que les résultats auxquels elles conduisent sont eux-mêmes toujours des

{'] Naua ne nous sommes occupés dans les paragroplies précédents que de* rapports de loogueura : l'étude des rapports d'angles, d'aires ou de valûmes, conduirait manifestement aux mêmes conclusions. Sur la comparaison de ces diUérentes sortes de rapport, vidt infra, n° g8.

IIO I^S GRANDEURS

longaears ('). Le quotient des deux longueurs AB, CD, par