AB CD

exemple, est le quotient des deux rapports rj^ • ) i]o • c est-à-dire

le rapport ^y|^, représenté lui-même par une longueur. Le produit de AB par CD est également une longueur (voir la construction de Descartes, note i). Dans les paragraphes précédents, au contraire, nous n'avions su définir le produit de deux longueurs qu'en tant qu'il représente la surface d'un rectangle.

96. Proportions. — Pratiquement, le calcul des rapports sert surtout à l'étude et à la transformation des couples de rapports égaux que l'on a coutume d'appeler « proportions n.

Soient données quatre longueurs que je désignerai par les lettres

majuscules A, B, G, D. Si le rapport g est égal au rapport k> on dit que le coupledes rapports y et ^ constitue une proportion (*)-

{') Longueurs déduitei, au moyen d'une conatruction géométrique {vide, chap. iii. § 5), des longueurs sur lesquelles on opère. L'idée de représenter par une longueur le résultat de toute opératjoa effectuée sur des longueurs, — idée d'une portée considérable — s'est précisée dans l'esprit de Des CAHTBS entre l'époque où il écrivit les iteguIiM ad directionem ingenii (vers i63i)) et l'année où il composa sa Géométrie [1636-3;]. Dans \eiRegulae (qui sont, il est vrai, inachevées), Descahtes représente encore un produit par une surface. Dans la GioTrUtrie, au contraire, il s'exprime ainsi ((Eue. de Deecartea, éd. Ad.-Tan., VI, p. 370) :

g Soit, par exemple, AB l'unité, et qu'il faille multiplier BD par BC ; je n'ai qu'à joindre les points A et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le produit de cette multiplication. — Ou bien, s'il faut diviser BE par BD, ayant joint les points E et D, je e AC parallèle à DE, et BC est le produit de cette

Fig. ai.

division >.

I Et il est à remarquer, ajoute plus loin Des- CABTES, que par a' ou b^ ou semblables, je ne conçois ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usités en algèbre, je les nomme des carrés ou des cubes, etc. i Voir aussi sur le calcul des longueurs. Deux. tiv. ch. m.

(') Le mot latin proportio a souvent été pris, autrefois, dans le sens de rapport [ratio). Ce n'est qu'au xviii^ siècle que son sens tut définitivement fixé [Jacques BG)iNOUtLt.i en donne la définition suivante {Dt rationibm et proportionibus (1688) : f Si ralionet lequaUt invicem comparantur, exiatU proportio ■).

RAPPORTS ET rnOPOHTIO^S

Les longueurs A. B, C, D sont appelées n terniesde la proportion » Lorsque U proportion est écrite sous la forme :

on appelle souvent les termes A et D u termes extrêmes > ou a extrêmes », et les termes B et C « termes moyens n ou « moyens » ('). Si B est égal à C, on dit que B ou G est moyen proportionnel (ou moyenne proportionnelle) entre A et D {vide n" 20).

Nous trouvons, dans les Eléments d'Euclide (v* livre) une théorie générale des proportions géométriques [vide, p. roa). Celte théorie nous enseigne h déduire, d'une ou plusieurs proportions données, certaines proportions nouvelles. En voîci les premiers principes :

La proportion g = n p^i^ ^'J^ retournée (ôviTialtv Xiyni) ; eu d'autres termes, on a (comme conséquence de la proportion donnée) :

Les termes moyens peuvent être inlerverlis (èv«XXi{) ; en d'autres

termes, on a ■ r = n -

La proportion donnée enlraine également comme conséquence la

. A + B C-i-D,,„ ,, , proportion — g — = - -jj- - (sjvBwk AéTfoç ,.

Le rapport g— — w est égal aux deux rapports tî et q et Jorme, par conséquent, une proportion avec chacun d'eux. Soient données, d'autre part, les deux proportions :

ndédail

Soient données les deux proportions :

n = 5. j, = -, : on en dedatl

('} Od dit aussi que l'u quairiènte proportionnelle ai

113 LES GKA^DEURS

Eiiclide établit toutes ces propositions parla géométrie; nou» ne le suivrons pas dans cette voie, car nous arriverons bien plus rapidement aux mêmes résultats en employant les méthodes de l'Arithmétique, à laquelle nous allons pouvoir ramener toute la théorie des proportions; il nous sulTïra, pour cela, de faire subir k la notion générale de nombre une nouvelle extension, hardie en apparence, mais parfaitement naturelle au point où nous en sommes.

87. Les rapports sont des nombres. — Je dis que Us rapports de longueur (ou, plus généralement, les rapports de grandeurs géométriques d'un même type quelconque) constituent une classe de pseudo-nombres sur lesquels on peut effectuer toutes les opérations de t Arithmétique et qui renferme comme sous- classe la classe des nombres rationnels.

Considérons un rapport G . SI les deux longueurs A, B, sont commensurables (vide a' 61), ce rapport ^ , on l'a vu, doit être regardé comme un nombre rationnel (rapport des mesures de .A et de B).

Supposons maintenant que A et B soient incommensurables (>) ;

le rapport g n'est plus un nombre rationnel, maison peut le représenter avec une approximation aussi grande que l'on veut par un nombre rationnel {dit valeiw approchée du rapport); car, si l'on calcule (en choisissant convenablement l'unité) des mesures a, (i

de A et B sufTtsamment approchées (n° 61) le rapport ^ des longueurs mesurées par « et j6 pourra être aussi voisin qu'on le voudra de i, . D'ailleurs nous avons vu que l'on peut elTectuer sur les rapports de longueurs incommensurables toutes les opéralions fondamentales déGnics plus haut.

En résumé les rapports sont parfois des nombres rationnels et parfois n'en sont pas; mais ils se pi'ètent toujours k des opéralions

(<) Ce cas se prrâente, par exemple (d'après la n" 03) si le« segments lie longueur A et B sont, l'uuuncAté, l'autro l'hypoténuse d'ua triangle rectangle qui a ses deux petits câtés égaux.

RAPPORTS EX PROPORTlO.tS llJ

bien définies, opérations qui coïncident rigoareasenienl avec les opérations de {"arithmétique dans le cas où les rapports sont des nombres rationnels.

Ces remarques nous incitent à donner aux rapports do longueurs le nom de nombres ; nous les appelleions « nombres alijébriques n et les qualifierons irrationnels dans le cas où ils ne sont pas des nombres rationnels.

En particulier, si nous prenons la longueur B pour longueurunité, nous regai'derons le rapport g comme élant le « nombre » qui mesure la longueur A : quidquid refertur ad uniintem ni linea recta ad aliam rectam, écrit en 1717 le professeur Christian Wolf, numéros dicitar ('}.

L£s nombres irrationnels se pn'lent exactement aux mêmes opérations qae les nombres rationnels.

M. Comparaiaon des rapports âa grandaurs bétérog^aes.

— Il importe de remarquerquesi.au lieu de rapports de longueurs, nous considérions des rapports d'angles, ou d'aires, ou de volumes, nous nous trouverions toujours définir les mêmes nombres. En etTet OD peut toujours comparer entre eux deux rapports de grandeurs hétérogènes <de ty[ies dilTérents} et décider si ces rapports sont égaux ou si l'un est plus petit que l'autre : un rapport d'angles, par exemple, sera dit égal & un rapport de longueurs s'il est le même nombre rationnel ou s'il a la même valeur approchée (voir le n° précédent) quelque loin que l'on pousse l'approximation ; si les deux rapports ne sont pas égaux celui dont la valeur approchée est la plus grande (lorsque rapproximation est poussée très loin} sera dit plus grand que l'autre, et ainsi de suite. Il est dès lors permis de dire que deux rapports égaux quelconques sont égaux h un même nombre.

99. NombrAs proportlonnelB. — Revenons maintenant après un long détour, h la notion de mesure introduite au n' 61. Nous

(') Bleimnta malheseoa anivertai. Halle 1717 t. I, p. ai, et. Newton (ArUkmttiea univeraatia 1707) : Per numtrum abitractam quantilalit tu/uvii ad aiiara tjuadem generîs quantilatem, qutxe pro unitate habetur, ralù>iMm inUtiigimua.

BoiTwlDI. — L«t Principe* dl I'AdhIj'h nulhfnHliqo*, 1

Il4 l'Es GH.inDBUnS

uonciiions de l'étude qui précède que, quelle que sok l'unilé choisie, toute lougtieur a, par rapport à cette unité, une mesare exacte qui est un rapport fie loni/iteurs, partant un nombre irrationnel' ou ratioime!. Considérons, d'autre part, une série de longueurs \, B, C,... dont les mesures par rapport à deux nnilés différentes sont respectivement a, b. c,... ela', b', &...; on a les égalités

fait que j'exprimerai en disant que les nombres ^Irralioanels ou rationnels a,b,c...el a', h', c'... sonl lies nombres proporlionneU -, en d'autres termes, tout changement d'unité se traduit par la substitution aux mesures anciennes de mesures proporlioaDelles.

Les égalités marquées (i) sont des proportions luimériques. On. les énonce souvent ainsi : a eut à a' comme b est à 6', comme c est àc'. On peut aussi- défmir la proportionnalité en disant que les nombres a, b, c,... se déduisent des nombres a', b', c',... en les multipliant par un même facteur ;non nul) qu'on appelle coefficient de proportionnalité ; ce coellicient est le nombre -; ■

Nous obtiendrons 'des nombres proporlionneh lorsque nous traduirons en nombres les proportions géomélriquest.

Remplaçons, en effet, dans ta proportion .; — v., les longueur» A, B, C, I>, par leurs mesures a, b, c. d (l'unité étant arbitraire) ; nous aurons la proportion numciique :

A toute ti-ansformalion de cette proportion correspond une Irans- Ibrmation semblable de la proportion géométrique, et réciproquemenl Ainsi, tous les théorèmes euclidiens énoncés au n° 96 pourront être vérifiés arithmétiquement ('); ils résultent immédiatctemi<nt des règles du calcul élémentaire, que l'on a le droit d'appliquer aux nombres irrationnels comme aux nombres ratîon-

ritliméliqueB fait l'objet du livre VIE des

RAPPORTS IT PROPORTIONS Il5

Appelons m, pour simpliGer l'écriture, le nombre i (nombre

irrationnel ou rationnel) : nous avons a = bxm tic = Hxm ; H en

ri, I a b X lu «i b ,. . ,

résulte par exemple que - = ■ ■ , ou ■ = ^ (interversion des

termes moyens) ; de même, nous avons :

a +-b ^ bx(m -+-'■ ^^. ,. '^j^J iysiin -+il)

d'où résulte la li-i^ta-.i Xô-^xi. Le lecteur fera sans peine les autres vérifications.

Remarquons, d'autre [>art, qu'en multipliant par le produit b X (/les deux membres de la proportion numérique, on obtient l'égalité :

oii ne figurent plus de rapports; on énonce ce résultat en disant que dans toute proportion le produit des {termes) moyens est égal au produit des extrêmes.

100. Applications de la théorie des proportions. — La théorie des proportions numériques n'exige point, on le voit, une étude spéciale. Ilistoriquement('), cependant, cette thûorie n'a pas joué en arithmétique un moindre rôle qu'en géométrie.

Nous avons parlé au n° 20 des médiétés de Tliéon de Smyrnc. Ces médiétés sont définies par des proportions.

Mais c'est surtout dans le calcul pratique qu'intervient la pro-

(') Avant que la conception du nombre irrationnel ne se Tût répandue, on ne raisonnait arilhmitiquement que eur les proportions de nombres rationncU, et le* résultats obtenus ne s'appliquaient aux grandeurs ÎDCommeniurables que par approximation. Cependant les savants du moyen-âge négligent parfois de formuler, au sujet des nombres qui interviennent dans leurs raisonnements, les restrictions traditionnelles : ainsi JoRDANVs Nemoharivs (itii* siècie], chez qui certains auteurs pensent trouver la notion générale de nombre {voir le Traclatiu dt numeris dati» de Jordanui et les commentaires de Max Curtze dans lo supplément historique de la Ztilsck. f. math, u. phya., XXXVI, iH<|i]. Stevin (ii48-i63o) a nne conscience plua natte de ca qu'il fait lorsqu'il assimile, daD9 SCS cal uls, les grandeurs incommensurables aux nombres rationnels. DBfCAHtEB tut cependant le premier à dégager les raisons qui légitiment cette assinulatîon [vide înfra $ â).

LES GR\:tUEUnS

portion. Elle est, en effet, le fondement d'un mode de raiaonnement fort ancien, qui est, aujourd'hui encore, famillGr h nos écoliers: la règle de trois (en latin reyula de Irlbus numeris, ou, par abréviation regala delri — règle dorée, dit un traité allemand

nombres a, b, c, soient connus tandis que i^/ est un nombre inconnu que l'on veut calculer ; noua dirons : ce que a est à b, i l'est h -

; donc d ■•

Cette rè<^lc fut connue des calculateurs orientaux et des logisliciens grecs depuis une liaute antiquité. Nous en trouvons de nombreuses applications dans les traités d'arithmétique indiens. « Si l'on reçoit, — dit lllioskara ('), — ici nisbcas pour 63 ^>albas du meilleur campbre, calcule et dis-moi, ami, combien on en

recevra pour la - palhas. — Si une esclave de i6 ans est cédée

pour 33 nïshcas, que coûtera une esclave de so ans!* Réponse :

l'âge).

Tous ces problèmes sont ramenés par leurs anleuis à des proportions.

101. Relations entre grandeurs. Homogénéité. — Nous devons faire encore, avant de clore ce paragraphe, quelques remarques accessoires.

Nous avons vu que. nous étions tonjours en droit d'assimiler les proportions géométriques aux proportions arithmétiques. Plus généralement, il résulte de l'analyse qui précède et en particulier des remarques faites au n° 95 que nous avons le droit de calculer sur les longueurs, et pareillement sur les autres grandeurs géométriques, exactement comme sur des nombres.

C'est ce qui permet aux traités de géométrie d'énoncer à volonté les propriétés des figures sous forme de relations entre grandeurs (voir la note i, p. 117), ou d'égalités numériques entre

(<) Lilavali apud Coi-eukoohe, Algebra with arilhmelîc aiul mensuration [rom th« sanscrit of Brahmagupta and Bluueara, 1817, p. 33, 34.

RAPPORTS ET PHOPORTIOnS

mesures de grandeurs. Le même traité passe souvent, sans prévenir le lecteur, d'un point de vue h l'autre. Aussi les mots longueur, mesure ou valeur de longueur, nombre, t/aantilé seront, à moins d'îndîcalîon contraire, regardés comme équivalents.

En revanche, tes égalités ou relations (') auxquelles conduisent les calculs relatifs aux grandeurs présentent toutes un certain caractère qui est une conséquence directe de leur signification géométrique : ces égalités sont homot/ènex.

Voici ce qu'il faut entendre par le.

La géométrie ne compare entra elles que des grandeurs de même espèce. Ainsi, ai le premier membre d'une égalité est une longueur (ou une aire, ou un volume), le second membre doit dire pareillement une longueur (ou une aire, ou un volume): si le premier membre est une somme de termes (ou plus généralement une combinaison de sommes et différences telle que A ^ B -(- C H- D — E), tous les termes doivent être des grandeurs de même espèce.

Désignons, par exemple, par A, B, C, D, ... des longueurs; nous dirons (') que ce sont des grandeurs de dimension i . Tout produit ou carré de ces longueurs (^), A. B, A.C, ... ouA*,B',... sera 'ou pourra être interprété comme) une aire (i/rant/eur de dlmention 2). Tout produit d'une grandeur de dimension 2 par une Longueur (exemple : A.B.C. A'.B, A.B*, A', ...)sera(ou pourraêlre interprété comme) un volume (grandeur de dimension 3). Considérons, d'autre part, une grandeur telle que .j.C ou à- (quatrième proporlionnelle à A, B, C) ; cette grandeur est une longueur. l\ CD est de même des grandeurs telles que

--.C. elc.

produits d'une longueur C par un rapport de grandeurs de même

C) Par rtiation, nous entendons une igaliti dont chaque membre est le rëiultat d'une combinaison d'opérations ofTectuces sur des grandeurs.

C) Ceci nous conduit à regarder les rapporta de longueurs (et parejllementlei rapports de grandeurs quelconque de mîme espèce) — et, d'une manière générale, les nombres — comme de» grandeurs de dimemion o.

(^1 J'emploie ici io signe . dans le sens multiplié par comme en arithmétiquo (tvir n" 7).

ItS LES GRA:<DEUIIS

espèce, c'est-à-dire par un nombre. £n conséquence les grathl«ur» A.C r. r A.C.Dl A.C ,,r A». Cl .

sont des aires. Les grandeurs

AC . nf A'.C.Dl A.C , „ ,, r A'BCD A'.C.DI -^.A.D [on -j-J, BrA.B.D[„„— iji— ,o„-g- ]

sont des volumes, etc. Je dirai alors que les égalités

qai ont Ucu entre grandeurs de même espèce sont homogènes, tandis que l'égalité

n'est pas homotfène.

Nous verrons plus loin par quels caractères [se traduit l'homogénéité dans les relations entre mesures a, b, c, d, ... qui correspondent aux relations établies entre les grandeurs A, B, G, D, ...

103. Extension de l'idée ds mesnre. — Nous avons défini la mesure d'une grandeur au n° 61 en partant d'une iongueur-unîti que nous supposons contenue un certain nombre (entier ou rationnel) de fois dans la grandeur h mesurer. La dclînition ainsi donnée s'applique immédiatement aux mesures de longiieura, de surfaces ou de volumes.

Soit, au contraire, à mesurer une température. Il est clair qu'on ne saurait regarder une température comme contenant un certain nombre de fois une température-unité. Cela n*aurait aucun sens. C'est pourquoi l'on substitue b la mesure directe de la température une mesure correspondante que l'on considère comme équivalente; on se sert, par exennple, d'un thermomètre k mercure et l'on mesure la longueur de la colonne mercurielle qui h représente Il la température.

It n'y a rien de commun, on le voit, entre une telle mesaïc et une mesure ordinaire de longueur ou de surface. Cependant on a coutume d'employer le même mol '< mesurer a pour désigner les

RAPPODTS ET PROPORTIONS

deux opéralions. De même on dit que, — duw certaines Umites et à supposer que certaines condilions pliysiques ne se «nodifteiit pas, — les variations de température sont proportionneUes aux variations de la colonne de mercure, le laal prvparlionitel aMyutl point ici, il est vrai, le sens matbénuttique que nous lui avons donné au n" 90.

Dans le domaine même de la géométriâ, il y a certaines grandeurs, les angles par exemple, que l'on a avantage à mesurer indirectement en les comparant à de^ grandeurs proporlîonnelUs d'une autre espèce. Et ici le mot «. proport icsme Ile i> a toute sa valeur, car nous avons vu (n° SB) que, dans le domaine de la géométrie, nous pouvons donner delà pro/>orIion/ia7//(! entre grandeurs d'e^>èces dîSerenles une déTinîtion mathéoiatiqDe précise.

103. Moaure Ami ànglas. — GoDâdétons des angles miquels nous donnerons, pour plus de commodité, un même

sommet O.

Les angles sont des grandeurs mesurables directement. En

effet, prenons un ftngle-unilé, l'angle

O' drainé une Ibis pour toutes.

Dans l'angle k mesurer AOB, nous

pouvons, à partir du càté 0\, placer

une série d'angles contigus tous

égaux (saperposables) à l'angle 0' ;

ce sont les angles marqués i, a, 3, ...

sur la figure ; nous obtenons ainsi,

comme mesure de AOK, un nombre lionnel .

Mais la mesure ainsi défiuie est aussi malaisée i calculer pratiquement qu'elle est difficile h manier dans la démonstration théorique. C'est pourquoi on préfère la rem^ilacer par une mesure indirecte.

De 0 comme centre, décrivons un cercle dont ie rayon a pour longueur l'unité, et angles de sommet 0, soit les angles AOB,

COD. ... les points A, B, C, D, ... étant à l'intersection des

angles avec le cercle, (ig. ti^^. La grandeurdc cesangleseslma-

Fig. 63.

entier, rationnel ou irra-

t30 LES GRANDEUBS

nifeBtement délerminée par la longueur des arcs de cercle \B, CD. . . , respectivement compris entre leurs côtés. En effet, on démontre(voir n' 187) qa'à deax ani/les égaux corres/iondent des arcs égaux. Dès lors, nous pouvons regarder les mesuivs des arcs AB, CD, ... comme étant les mesures mimes des angles correspondants.

104. — On prend généralement pour unité de longueur de l'arc de circonférence {';, soit la 36o*"" partie (appelée deijrê), soit la 4oo*n« partie (appelée grade) de la longueur lotale de la circonférence. L'angle droit (AOB' siii' la figure 64) a alors pour mesure

, de circonférence, c'est-à-dire go degrés (on écrit : 90") ou 100 grades (100'} [le quart de la circonférence est appelé ^iw/ran(J. La division de la circonférence en degrés est, encore aujourd'hui, ta plus généralement adoptée. Elle était familière nux astronomes de Babylone et l'origine s'en perd dans la nuit des temps. On la complète en divisant le degré lui-même en 60 parties égales appelées minutes et la minute en Go parties égales appelées secondes {'). La division en grades ('} que l'on rencontre dés le ivui*^ siècle dans certaines tables de logarithmes, est sans contredit. In plus avantageuse pour les adeptes du système décimal ; c'est pourquoi, depuis la Révolution française, elle fut préconisée par de nombreux savants. Mais, pour qu'elle passAtdans la pratique, il faudrait que toutes les tahles astronomiques, cartes de géographie, horloges, instruments de physiques divers, établis d'après le système sexagésimal, fussent refaits a nouveau.

105. Mesura des dièdres. — La mesure des angles dièdres, elle aussi, se fait au moyen d'un intermédiaire, et l'intermédiaire est ici l'angle ordinaire. Considérons un plan quelconque H per-

(') On prend parfois aussi pour unité le radian, arc égal au rayon (c!. inira, iSo).

(') Pour écrire Une mesura d'angle telle que 6 degrés, f>o minutes, ^7 secondes, on écrit G", fio', f.j'. Si l'on veut pousser plus loin l'approximation on divise la seconde en dixièrtiti, centième»,... de secondes conformément aux principes de système décimal.

(*) Les grades sont eux-mêmes divisés en dixièmes, centièmes, millièmoi, et ligures au moyen de la notation dccimalc. Ainsi l'on écrit -"t'tdy pour sigiiifiet 7 grades + 567 millièmes de grade.

COSFROSTATiOS DU TfOUDnB ET DE LA CKAITOEUR 121

pendiculaire h l'arête du dièdre en un point 0 'fig. 65). Ce plan coupe les deux faces du dièdre (plan P et Q) suivant deux droites qui se cou|>ent en 0, soît OA et OB, et forment un angle plan, dit fingle plan du dièdre considéré. On /T"---^

démontre facilement que tous les angles /pA ]

plans répondant à cette définition pour lo

un même dièdre sont égaux, et que AX^i ^^î"^-^

deux dièdres dont les angles plans sont /l i__ | ^~^

égaux sont deux dièdres égaux (su- / '</' ""'* / perposables;. Et l'on déduit delà que ^---,,^^ /

l'on peut prendre comme memre d'un dièdre la mesure de son angle plan. On dit que les dièdres sont proportionnels k leurs angles plans.

S. Controatation du nombre et de la grandeur

106. — Nous avons cité (07) la dérmition donnée par Christian Wolf : Tout ce qui est rap^iorté à une unité comme un segment de droite i un autre segment est appelé nombre.

Quelque naturelle que nous semble aujourd'hui celte définition, il lui fallut cependant de longs siècles pour se faire accepter. Les Grecs avaient p.>ussé fort loin l'étude des rapports (Xi^ot) et l'étude des nombres (àp(6.uoi), mais ils ne les avaient jamais confondus (').

('l Lei savants grecs ne se préoccupent point des applications concrélea de la science, et c'est pourquoi iU n'ont point comme nous modernes un intérêt pratique immédiat h ramener les opérations gcotnétrtquca ù des calculs arithmétiques plus faciles à elTectucr. Pour comprendre leur point de vue, il faut se rappeler quo les Grecs établissaient une distinction absolue entre l'arithmétique théorique, étudia des propriétés des nombres, et la logitlique, qui est l'art de calculer numériquement sur des grandeurs concrètes, u La logistique, dit un scholin ancien, est la théorie qui traite des dénombrables et non des nombres ; elle ne considère pas ce qui est réellement te nombre, mais suppose ce qui est un comme unité et ce qui est dénombroble comme nombre... Elle examine donc, d'une part, ce qu'AncaïuÈDE a appelé le problème des bœufs, de l'autre, les nombres miliiet et pkiàtitea, les uns sur des fioles, les autres sur des troupeaux...! [Scholie sur le Charmidt de Platon, apud P. Tannery, La géométrie grecque. Première partie, p. /iH\. Ainsi, loin d'assimiler les grandeurs aux sombres, la tradition grecque interdisait de considérer comme de véritables nombres le« nombres qui mesurent des grandeurs : ce sont des

139 LBS OKAimCIJKS

Et le rapprocbement si saggeiàf que nous avons établi entre les opérations arithmétiques et les opérations faîtes sor des grandeers, ne s'est-on pas bien longtemps appliqué à le masquer tm lieu de te mettre en lumière ? L'un des plus grands algébrisles da ivr* stède, Tartaglia ('), repi-oclie à un traducteur d'Enclîde d'avoir indilKremment employé dans un même sens les mois mallipUeare «t flucere. Il faut, dit-il. distinguer entre ces deux mots : le premier se dira des nombres ainsi l'on regardera 3 comme Je pias petit multiplicateur) tandis que dacere conviendra s'il s'agit de grandeurs géométriques. Pareillement, pour désigner l'opéralicia de la division, on devra dire parlîre on misiimre suivant que l'on parlera de nombres ou de grandeurs.

Cinquante ans plos lard, Viète (*) considère encore la science des nombres et celle des grandeurs comme ayant des règles parallèles mais distinctes. C'est h Descaries que revient le mérilo d'avoir afYînné;sans restriction, l'identité du calcul numCTique et du calcul géométrique (') :

« Et comme toute l'arithmétique, — dit DcsuM'tes (') daas un langage précis et définitif, — n'est cmnposée que de quatre opérations, qui sont l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, et l'eitractton des racines qu'on peut prendre pour une espèce de division, ainsi n'a-t-on autre cbosc i faire, en géomtoie, toucliant les lignes qu'on cherche, pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d'autres, ou eu ôler; on bien, en ayant

nombrei phiaiitM, ou relatif» aux lioles, dei uombreï mèlile». ou relatift aux troupeaux |ou aux ponunesl. Et c'eitpourquoi les problùmes concijriMttt le* granileura étaient énoDcê s sous toruc concrète et non soui forme théorique : ce qui est pour noua la • ré»olutJou d'uue cquatiou de tel ou tel type > |in/ra. Deux. /iV., chap. i| était Butr«fois « la sulution du problème des bœufi n, du » problème des arbres «, du « ppafalàmo du: lapins >, du ^ problème d«s sept vieilles femmes », du > problème de» oiseauxilvoir Llca Pacii-olo, Sunima de Arilhmtlica,pa»âiai.Stanh\aiiit terminologie se retrouve chez les Hindous et chez les Arabes, pendant tout le Moyen Age et au début de In Renaiesance.

Il General Tratlalo. liv. II, lil. 17. Cf. le début de l'Algibrc d'OwAR AL KH*yvA.M, cité au n" ^-i.

l'i in artem anatylicam isagoge, t'ifii, cb. ir.

|'<l Vide supra, p. 110, itote i. Sur l'histoire du calcul |[éométrique avant Descartes, voir Dtux. liv., rh. III, S i.

I', La Géométrie, liv. I (Œu.-., t. VI, p. 3(m)1.

co:<Fno:<TATion dc nombre bt de lk granueuh t33

une que je Dommenî l'uDÎté pour la rapporter d'autant mieux aux sombres et qa! peut ordioairement être prise k discrétion, puis, en ayant encore deui autres, en trouver une quatrième qui soit jk l'une de ces deux comme l'autre est à l'unît^, ce qui est ie même que la multiplication; ou bien en trouver (') une quatrième qui soit k l'une de ces deux comme l'unité est k l'autre, ce qui est le même que la division; ou, enfin, trouver une ou deux ou plusieurs moyennes pr<^ortionne11e6 entre l'unité et quelque autre ligne ('), ce qui est le même que tirer la racioecarrée ou cubique, etc. Et je ne craindrai pas d'introduire ces termes d'arithmétique en la géométrie afin de me rendre plus intelligible n.

Ces déclara^ons r^-sument excellemment les conclusions auxquelles nous ont conduits les premier)i paragraphes du présent chapitre.

107. — La résistance qui fut longtemps opposée aux vues formuiées par Descartes s'explique par des raisons profondes. Il fmt en chercher l'origine dans les premières spéculations de ta science grecque.

La mathématique des Pythagoriciens se proposait un double objet : l'étnde des propriétés des nombres (voir l, S i) et l'étude des propriétés des corps géométriques. Entre ces deux études il y avait, à l'origine, une parenté étroite : les Pythagoriciens ne représentaient -il s pas les nombres par des figures géométriques formées de points (n° 3) et n'afiirmaient-ils pas que a toutes les choses sont nombres? » Mais voici que, tout d'un coup, surgit une diflîculté inattendue : l'existence des longueurs incommensurables est reconnue et le théorème de Pythagore sur le triangle

('1 Comment ces lignes trésultaU des opérations) Bont efTectivement déterminées, c'est là une question dont nous n'avons pas à nous préoccuper ici. On lei obtient très facilement en appliquant les théoiémes do la géométrie ratioanellc ainsi que nous le verrone au chapitre (ii du Deuxième Iivr«.

(*| Trouver, par exemple, une longueur b telle que -,^ - , a étant

connu (d'où a ^ b^, b = y'â), ou trouver deux longueurs 6 et i: t«l« que ï = ë"i (d""^ — '^'•'' — 7 =c\c = ya).

13^ LES GnA:<DEURS

rectangle (') (n" 63 et 199) montre que ces longneursse.rcnconlrenl dans les problèmes géométriques les plus simples. Les Pythagoriciens restent confondus ('); l'édiQce de la science est ébranlé; comment va-t-il être possible de le reformer ?

C'est ici qu'interviennent les fameux orgumenis de Zenon d'Elée. Il n'est pas vrai, dit Zenon, que les grandeurs soient des nombres au sens pythagoricien, c'est-à-dire des assemblages d'imités ou de points. En effet, le point, n'ayant ni grandeur, ni épaisseur, ni volume, est le néant, et avec le néant on ne peut pas former des assemblages. « Si (') en effet, on l'ajoute (le point) (I a autre chose, il ne la rend pas plus grande; car, ajoutez une H grandeur nulle, vous ne pouvez augmenter la grandeur; ainsi II l'augmentation sera nulle. Itetranchez au contraire, l'autre chose « ne sera en rien moindre, comme ellen'étaiten rien plus grande par Il l'addition ; ainsi l'augmentation etla diminution sont également « nulles. «Par conséquent il n'est pas possiblcde regarder les choses réelles comme des u pluralités » de points. Réciproquement, si un ètreest.il est nécessairement pourvu de grandeur et d'épaisseur. Supposons alors que tout être soit une pluralité,c'est-à-dire soit composé de parties; ces parties, pourvues de grandeur et d'épaisseur, seront donc clles-uiémes des ëlrcs composés de parties lesquelles auront h leur tour des parties ; » ce qu'on a dit une fois, on pourra ton* u jours le répéter; il n'y aura jamais de la sorte un terme (une (( partie) extrême, où 11 n'y ait pas de parties différentes l'une de Il l'autre. Ainsi, s'il y a pluralité, il faut que les choses soient à la f< fois grandes et petites, et tellement petites qu'elles n'aient pas de

('I Ce théorème a-t-il été énoncé par FyTHAGORE loui la forme que nous lui donnons aujourd'hui ? Nous l'ignorons. PnocLos, en tout cas noui dit forinrllement (dans ton Prologue du Commetilairt tUi Elémtntt] ■ C'est à lui [Pythacobe) que l'on doit la découverte des incommensurables >.

i') S'il faut en croire un scholie ancien |voir Cantob, VorUs., i, 1715 la légende racontait que l'auteur de la théorie des incommensurables (ut englouti dans un naufrage. C'est ainti que le ciel punit celui qui avait exprimé l'inexprimable, représenté l'infigunible, dévoilé ce qui eât dâ rester toujours caché, « Tel était, ajoute le scholie, l'étonncment religieux où la théorie des incommensurables plongeait res hommes {les anciens géomètresl ».

(J| Fragment de Simpi.iuus. Phj*. Dicis, i3}|. Voir Paul TiT^^EI^r, Pour l'histoire de la science hrltène, iS8-, p, 3.'>c> et sqq.

conFno:<TATio?i du nombre et de la craudeur 1^5

■ grandeui' [puisque U rragmentalion répétée conduit à des parties H de plus en plus petites] tellement grandes qu'elles soient infinies • [puisque chaque partie comprend une infinité de parties].» D'où une contradiction qui condamne l'IiypollièsG pytliagoriciciine.

C'est peut être la même contradiction que Zenon cherche à mettre en lumière dans l'argument célèbre d'AcbUle et de la lnrlHe('). Achille, courant après une tortue, ne la ratrappera pas; en cflct, toit a l'avance de la tortue {c'est une longueur, donc une pluralité de points, d'après la théorie à combattre]; lorsque Achille aura parcouru la dislance a, la tortue aura parcouru une nouvelle distance b ; celte distance il l'audra qu'Achille la parcoui-e à son tour ; pendant ce temps, la tortue s'avancera de c ; et ainsi de suite indé- Gaimeat, la tortue restant toujours en avant. On voit comment se peut expliquer ce paradoxe : le raisonnement de Zenon décompose en une inTmité de longueurs partielles, a plus b, plus c,... la distonce au bout de laquelle Achille raltrappc effecllvement la tortue, et il imagine que, i>our parcourir chacunedeces parties la tortue emploie un temps appréciable. Ces Iiypotlièses ne sont pas conformes aux conditions physiques dans lesquelles s'elTectue la poursuite. D'où cette conclusion naturelle qu'il n'est pas permis de regarder une dislance comme une somme de parties discernables ou de points. L'ne pareille conception conduit à des conséquences absurbes et rend impossible l'expUcatioD mathématique des faits physiques.

108. — M. Milhaud résume en ces termes ('), le rôle joué par les philosophes d'Elée (Parméntde et Zenon) dans révolution des mathématiques. Pythagore a dit u les choses sont nombres ji. « En disant : non, les choses ne sonl pas nombres, Parménide et Zenon rendaient bien plus facile l'application du nombre aux choses; car rien ne s'opposait plus désormais à ce que le nombre s'y appliquât indéfiniment dans les deux sens, rien ne s'opposait plus au concept scientifique de Imliniment grand et de l'infinimeot petit». La

(■) Nous n« parloDi pat d«f conséquences que l'on peut tirer des ai^menu de Zékon relative ment au mouvement. Peut-ilre, d'ailleurs, la question du mouvement n'eet-elle que secondaire dans la peniéc du philosophe d'Elée. Cf. Pavl Tannihv, hc. cit.

(■; Ltçoru »ur tta origine» de la science grecque, if<i|3, p. arg.

130 I.GS GHIlTIDKURa

notion générale du nombre se trouvait, en d'aaires termes, délivrée de toute entrave.

Nous admettrons donc que les grandeurs ne sont pas de» nombres. — Et si, pourtant, elles sont des nombres, et une révolution s'impose, inverse de celle qu'ont accomplie les Ëléates ; comme l'a fort bien vu Descartes, les progrès futurs des mathématiques sont h ce prix. Mais il faut bien nous entendre sur le sens des mots ; il faut tirer définitivement au clair la définition du nombre irrationnel et lui Mer le voile d'infinilude (') qui l'obscurcissait aus yeux des Grecs. Nous ferons intervenir dans es but une notion fondamentale, dont nous nous sommes déjà occupés incidemment lorsque nous avons parlé d'approximation arbitrairement ijranile en arithmétique (n' 47) et à'exhaustion en géométrie : la notion de limite, ^ou8 allons prédser le sens de cette notion et en donner, sans aucune préoccupation historique désormais, une double interprétation, arithmétique et géométrique.

- OétlaMoB ligoarease des nombres irimUoitaels

109. Suite de nombres rationnela convergeant vers ans limite rationnelle. — Considérons l'ensemble des nombres rationnels qui sont voisins d'un nombre donné c {positif, négatif ou nul) et qui sont, soit tous inférieurs, soit tous supérieui-s, à ce nombre. Il y a dans chacune dos deu\ classes de nombres ainsi déterminées, une infinité de nombres de plus en plus rapprochés de c. En effet, nous savons que l'on peut former des fractions arbitrairement petites (aussi piilites que l'on veut), par exemple

la fraction —, où m est un nombre entier arbitrairement grand : ajoutant cl'S fractions à c ou les en retranchant, nous formons des nombres rationnels arbitrairement rapprochés de c [i\a sens du n" 46).

Envisageons, en particulier, une série indéfinie de nombres,

l'i MirnEi.STiFEL./lrilAmrti'faj'nJegra, Nuremberg, i"\\!\, lib. II, p. io3 a irralionalis numerua non zal cenis numtnis, el lalel sitb quadam infinitalis iiebula t.

nÉmiTlOIf RIGOURBL'SB DES nOXBKES IRRATIONNELS I37

loua inférieurs ù c, de plus en plus rapprocha de c ; numérotons ces nombres dans l'ordre où nous les prenons, et désignons-W par les symboles ai, a«, .... On. ■■■ ', nous dirons que la suite des nombres a,, ..., a,„ ... tend ou converge vers la limite ( plus précisémeat : limite supérieure) c si, quelque petit que soU an nombre donné e, on peut trotwer aix nombre entier N tel que la différence c — a. soit inférieure à i pour toutes les valeurs île tiiulice n supérieur à N .

Ainsi, par exemple ('). si l'on fait

la suite «i, .... Oa, --. tendra vers la limite c, puisque l'on aura

et, par conséquent, pour n ;> N :

[où — est aussi petit que l'on veut si l'on a prb N assez grand].

Lorsque la suite tii, <u, ... converge vers c, nous disons que le nombre a„ tend vers la limite c pour n infini, ou que la différence c^On tendvers o.

Prenons maintenant, et semblable ment, une suite de nombres 6,, bj, ... frn, ... tous supérieurs à c et se rapprochant de plus en plus de c : nous dirons que cette suite tend vers la limilc (ou limite inférieure) c si, quelque («tit que soit s, on peut trouver un nombre entier N tel que la dilTL'rence h,. — c soit inférieure à s pour toutes les valeurs de n supérieures à N ; la différence h„ — c teod alors vers o pour n infini.

110. Hemanitiea et généralisations. — On remarquera que les définitions qui précèdent n'exigent pas que la suite des nombres

(') Au n" 6.'> nous avooa défini uiic suite de polygones <Ie i,H, ... n cAtês

dont les périmètres ont pour valeur une suite do nombres tendant vers la

' loD^eur du cercle de My«n 1. Toutes les évaluntions d'aires ou de vo-

luinea faites par les géomètres anciens id'aprùs la méthode d'exbaustionj

reposent sur la considération de semblables suites de figuTea.

<ii, ..., On, ... aille toujours, sans exception, en croissant, ou la suite (les nombres 6i, .... 61,, ... toujours en décroissant. Nous affirmons seulement — en ce qui concerne les a, par exemple — que, quel que soit un nombre a moindre que c, u,, est si^remenl supérieur h ff. à partir d'une certaine valeur de n et ne redescend plus au-dessous de la valeur a quelque grand que devienne n.

On remarquera aussi que nous pouvons facilement étendre notre dérmition de la limite au cas d'une suite de nombres rjui sont tanliit plus petits, tantôt plus grands que c. Si la (iifférence des nombres c et un {(Offérence qui est c — a„ouan — c suieanl que c ';;> a„ ou c -C a„) tend vers lu limile o pour n aa<jmentant intléjinimenl, nowi dirons i/ae la suite ai a„ a pour limite c.

111. Progressions géométriques infinies. — Nous allons appliquer les définitions qui procèdent à uu exemple remarquable. Considérons la somme des n premiers termes de progression géométrique de raison ;* qui commence par l'nnilé, c'est-à-dire la somme :

et supposons la raison r inférieure a 1 . D'après les n"" 31 et 38 (voir p. /|5, note 1) nous avons

Considérons alors la suite indéfinie des nombres Si. si,..., s„, ... oVi n prend toutes les valeurs entières. Cette suite est croissante, puisque chacun des nombres se déduit du précédent en ajoutant un nouveau terme de la progression géométrique ; d'ailleurs les

nombres s„ St, ... sont tous inférieui-s à — .•

Je dis que ma suite de nombres converge vers la limile — . En effet on a

Mais, lorque n >■ N, c" est inférieur à r" (puisque r est inférieur k 1), et la puissance r" est un nombre aussi petit que l'on veut pourvu que N soit assez grand (n" 40). Donc ^ est bien.

DÉFIRITION RIGOURBDSB DBS NOMBRES InDATlO.'fnELS I39

d'après la définition donnée plus baut, la limite de Sn pour n infini. Nous exprimons ce résultat en disant que la somme de la progression géométrique indéfinie

est égale à . Ainsi la somme

prolongée indéfiniment est égale à on a-

C'est là nn résultat qu'énonçait déjà explicitement Archimède dans son Traité de In )[wxdrature de la parabole, prop. a3.

113. Alwoisae*. Intarprétation géométiique de laUmite. — Comme type de grandeur, noua prendrons de prcf^reiice, avonsnous dit, la longueur d'un segment géométrique (n" 53). Convenons en particulier de toujours porter les segments sur une même droite, dans une même direction, et à partir d'un même point 0 appelé origine. La comparaison des segments entre eux est alors particulièrement aisée [').

A„ C Bn B, B, X

Imaginons, par exemple, que les longueurs soient portées du côté droit (à partir de l'origine 0) sur la droite indéfinie (') X'OX (fig. 66) ; alors i toute longueur O.V correspond un point .V (seconde extrémité du segment OA, situé à droite du point 0; nous dirons que la longueur O.V est Vabscisse du point \.

l>| La rapriBentaliDii det longueurs par des absciueB rend iatuitivei toutes les propriétéi que noui avoot dit appartenir aux longueurs. Ainsi, par exemple, étant données deux longueurs, on en aura l'abscisse de leur loinme en les partant bout à bout à partir du point O. — Le produit do deux longueurs pourra d'après le § 3 (u° 9')) être défini comme une longueur, partant comme une abscisse.

(*) Le point X, naturellement, est quelconque sur la droite indéfinie ; on peut l'éloigTier autant qu'on veut.

Boiraoï'i. — L« Princip*! (la l'Aiwljnc Dialk6auli(]u(. 9

|3o LES ORfDBURS

Cela «lit. Bup(K>soDS que nous ayons fait choix d'une unité de longueur. Alors, à tout nombre rationnel a correspond une longueur (ayant ce nombre pour mesure) qoe nous pouvons porter en abscisse sur la demi-droile OX. A tout nombre rationnel, en d'autres termes, correspond une et une seule abscisse OA, un et un seul point A que nous nppellerons point représentatif Htt nombre a.

Revenons maintenant iiux deux suites îndélinies de nombres a,, ... n„, , . et !>(, bi, ... !>„ ... définies au n" 109. Les nombres de la première suite sont tous infirieurs à c ; donc les points Ai, Ai, ..., A,„ ... qui les représentent (lif,'. 06) sont tous à gauche du point C représentatif du nombre c ; d'ailleurs lorsque l'indice n augmente indéfiniment, la différence c — a„ lend vers o; donc la distance du i>oint V„ au [>oint C devient inférieure à toutes les longueurs imaginables; c'est pourquoi nous dirons que le point A„ tend (sur la droite 0 V) vers le point C, ou admet pour limite le point C [ou encore : que les points Aj, .... An, ... tendent ou wi/ivergent vers le point C].

Pareillement, les points B Bn, ... représentatifs des

nombres h\, ..., b„, ... se rapprochent indéiiniment de C (eu lestant à droite de ce ^Kiînt) : nous dirons donc que le point U. tend vers le point C lorsque l'indice n augmente indéiiniment.

Nous pourrions d'ailleurs i-galenient, en vertu des remarques du n° 110, envisager une suite de points admettant pour limite le même point C et situés cependant tantôt fi gauche. lantAt & droite de ce point.