Snita de nombres rationnels oonvergeant vers uim

limite irrationnell». — Sur la droite O.V définie ci-dessus, considérons maintenant une longueur OC qui ne soit pas mesurée par un nombre rationnel. Nous savons qu'en nous servant d'une aous-unilé suffisamment pclilc, nous pouvons donner de la longueur OC une mesure arbitrairement approchée qui soit un nombre rationnel; en d'autres tenues, il existe des longueurs approchant arbitrairement la longueur OC, Koit par défaut, soit par excès, et mesurées par des nombres rationnels. Considérons en particulier une suite de telles longueurs 0\i, .... OA., .... toutes portées en abscisses sur la demi-droite en 0\, et Jouissant de la

DÉFINITION niGOUSEUBB DBS WWBnBS IHKAT10!(.-«ELS ]3l

propriété suivante : quelque petite que soit une longueur donnée de mesure (rationnelle) i, je suppose qu'on puisse trouver un nombre entier N lel que la distance A„C soit plus petite que cette longoenr pour toutes les valeurs de l'indice n supérieures à N. S'il en est ainsi nous dirons que i«s points A|, A], ... A„ tendeni <m convergent vers le point limite C torttfue [indice n augmente indéfinùmat.

Cette définition est égalemcaU valable que lespoints Ai . ...,K,„ ... soient à ifauche du point C (comme sur la figure CO dont nouv {>ouvons nous resservir ici', ou qu'ils soient (i droite de C (comme les pointu Bi, ... Bn, .. - de la figure 66) ou qu'ils soient tantôt à gauche tantôt h droite. Il est donc inotile de spéciGer quel eil celui de ces cas que nous considérons.

Lorsque les points A A„, ... convergent vers C, nous

dirons que la suite (') des longueurs O.Vi, ..., 0\„, ... est cancerifente {') et admet pour limite la longueur OC. Et nous dirons aussi que la sorte de* nombres rationnels ii,, ..., u„ ... qui s«)( les mesures de O.Vi, ... 0\„, ... eu une « suite convergente » ").

114. — Ainsi donc, à toute suite convergente de longueurs exactement mesurables correspond une suite convergente de nom* bres 1-a^onnels. La suite des longueurs, par hypothèse, admet toujours une limite qui est une longuenr OC ; la suite des nombres admet, elle aussi, une limite (mesure de OC) dans le cas nit OC est exactement mesurable. Il eSl donc indiqué d'adopter la convention de langage suivante : Chaque fois que nous aurons une suite convergente de nombres rationnels (au sens du n' 113), nous dirons que cette inita admet one limite, gnl est ta meanre de OC, et à celle limite nous donnerons le nom de « nombre " ; si OC n'est

I') Le mot êuile indique que Um loDgueura sont coiuidéroes lucceiisivcmaut, et non, bien entendu, qu'elle* Mot juxtapoaées.

I*) Si, au contraire, tea poini» A|, ... A., ... ne tendaient pas vcn un point détermini:, nout dirions que la suite est diivrgentt.

I') Si le* lonfneuis OAi, ... OA., ... «ont toutes inféneureB à OC, ot de plus en plut grandea, la mite convcr^nte est dite croiaganle. Si clio» étaiont toutes supérieures à OC et de plua en plus petites, la suite serait dieroiHanl«. — Si lei longueurs OA|, ... OA,, ... ne tendent pas vlts une longueur déterminée, la suite a,, ... a est dite • divergente ■.

pas mesuré par un nombre rationnel nous dirons que la limite esl un nombre irrationnet.

115, — Cette délinillon du nombre irrationnel est toute conventionnelle mais elle est parfaitement légitime. De même qu'un nombre fractionnaire n'est pas défini directement, mais bien indirectement par un couple de nombres entiers (numérateur et déno minateur), de mâme un nombre irrationnel sera défini indirectement par une suite convergente (indéfiniment prolongeable) de nombres rationnels.

Deux nombres irrationnels seront, par définition, déclarés égaux ou inétjaax, suivant qu'ils sont mesures de longueurs égales ou de longueurs différentes. Ainsi, deux suites convergentes a,, ...a„, ... et b,, ..., bn, -.. (làJîiiirofU le même nombre si les extrémilés

Ai, ,.., Ah, ... el U, B,„ ... des abscisses correspondanles

tendent ivrs an même point-Umite. Considérons d'ailleurs, en ce cas, (en supposant, pour fixer les idées, les nombres b supérieui's aux nombres a) la suite des nombres rationnels

qui mesurent les longueurs A|B|, ..., AnB», ... arbitrairement petites pour n arbitrairement grand ; cette suite est convergente et admet pour limite zéro. Réciproquement, si la suite des diTférences {6i — a,), ... {b„ — a„), ... admet la limite o, les deux suites 'II, ,.., (i„, ... et 6|, ..., b«, ... définissent le même nombre. Ainsi, nous sommes en état de définir l'égalité (') de deux nombres irrationnels sans faire intervenir à nouveau la notion de longueur géométrique.

II résulte des remarques qui précèdent qu'une suite convergente de nombres rationnels définit un nombre 'rationnel ou irrationnel) et un seul, tandis qu'un nombre quelconque peut être considéré comme limite de plusieurs (') suites différentes de nombres rationnels. En revanche, il ne correspond à un nombre

(■) Nous (lirons indiR^remmeut, sans faire de diBiinctioii entre ces deux locutions, qu'un nombre est égal à un autre nombre ou qu'il est le mima nombre.

(*) On peut construire autant de suites convergentes que l'on voudra qui aient pour limites le même nombre.

RIGOUHEUSB DE5 NOMBRES IHItATION>JBLS l'i'S

quelconque qu'une seule abscisse OC et réctproi/uemenl [lorsque l'on a choisi, une fois pour toutes, un axe et une direction des abscisses, une origine et l'unitû de longueur {n" OB)]. Il y a coïncidence exacte entre la notion de nombre et celle d'abscisse.

116. Opérations effsctuées sur les aombr«H Irratiannels. — Pour avoir le droit de considérer les nombres irrationnels -comme Formant avec les nombres rationnels une classe unique de nombres, il faut que nous ayons délini l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation aux puissances des nombres irrationnels, et il faut que nos définitions satisfassent k ia condition suivante [cf. les remarques faites au n° 31 it pi-opos des fractions] : toutes les fois que tes nombres sur lesquels nous opérons se trouvent élre rationnels, les opérations dé fin- es doivent être identiques aux opérations de t arithmétique élémentaire qui portent le même nom.

Or cette condition sera remplie si nous délînissons les o[>cra- (ions fondamentales relatives aux nombres irrationnels comme opérations correspondantes de celles que nous savons eifectuer sur les longueurs (<).

Im somme oa la différence, le produit ou le quotient de deux nombres quelconques c et c' sera le nombre qui mesure la somme, la diirérence, le produit, uu le quotient des abscisses mesurées par « et c'. r.i puissance ni*"" ou la racine m*"« d'un nombre c (pour ni entier) sera le nombre qui mesure la puissance m*'^* ou la racine niùms de l'abscisse mesurée par c.

1 1 importe d'observer que l'extraction d'une racine d'ordre p est, 4itns la théorie des nombres irrationnels, une opération toujours possible. En cflet, nous avons vu (48) que l'on peut calculer des valeurs (rationnelles) de plus en plus approchées (arbitrairement approchées) de la racine /j*°" d'un nombre rationnel quelconque. On démontre facilement que les longueurs mesurées par ces valeurs approcbées convergent vers une longueur- limite dont la mesure sera la racine f^* en question.

Après avoir délîni les opérations fondamentales, on pourra

l'I Les produit» et quotients étaotiléfinis c liiui qull « été dit au n" !)'i.

l34 l'ES GBAXDBLItri

élendre au domaine des nombres irrationnels toutes lex rhjles de calcul relatives aux pmpoiiions ou aux proi/rensions anlhmiHii/ues et 'jéamétriqaes {comparer n° 38).

(Vcsl là un Tait que le lecteur établira aisément lui-même.