OélinlUoa «rithmAUque dea aombras irrationnels

— Pour définir les suite» convergenlea de nombres rationnels, nous avons eu recours à la notion d'abscisse. Cet appel à la géométrie n'est point indispensable.

On peut donner, en effet, des snitea convei^ntes croUsantea ou décroissantes une défmition purement arithmétique. Une niifetie nombres rationnels croissants (fui restent tous inférieurs à an même nombre fixe sera dite converijeiite; de même ane suite de nombrer décroissants <fui retient Ions supérieurs à un même nombre fixe. Cel* posé, on dira qu'une suite convergente ite nombres croissant» II,,... a„,... et une suite de nombres décroissants i,,... fi„,... définissent un nombr* si la différence 6„ — a„ est arbitrairement petïlc pour n arbitrairement grand ').

Cette définition est d'accord avct; ks jtroprtétés des nombres rationnels qui ont été étnblies en anllunélique. En elTet, si la stiite <!,,... (!„.... [on A,,... 6i<,...| admet [KMir limite un nombre rationnel

— c'est-à-dire s'il existe un nombre c tel que la différence c — n„ou An — c devienne arbitrairement petite [tour n arbitrairement grand

— les bypotliôses que nous disons sur les deux suites indiquent qu'elles admettent nécessairement In même limite : donc il leur correspond un nombre c et un seul que nous dirons être défini par ces deux suites.

S'il n'existe, par contre, aucun nombre rationnel qui soit limite des deux suites, nous dirons que ces suites ont pour limite un nombre irrationnel.

Partant de li. nous [touvons déiinir n priori 'c(. 116) les diverses opériitions relatives aux nombres irrationnels et démontrer que ces opérations coïncident bien avec les o))ératious arithmétiques de mémo nom daus le cas particulier où les limites des suites considérées sont des nombres rationnels.

', si qudqut petit qut « r N Ipl que *. — a. <

EXPRESSIONS ARITHMÉTIQUES COrtVEHGKNTES. SÉRIES l35

118. Remarqoe. — Il faut mnatqner toutefois que l'on n^ peut lé^timer complètement la définition arithmétique du nombre irrationnel et établir l'équivalence de cette définition et de celle du n° 114 qu'en admettant à priori certains postulats indémontrables. Nous reviendrons sur ce point dans notre Deuxième Livre (chap. v, $ 7) et iefons connaître, d'autre part, une nouvelle déûaition du nombre irrationnel qui est indépendante à la fois de la notion d'abscisse et de celle de limite.

110. Hemarqae sur la aeiM du mot absoiaae. — ?iou8 avons, au n° 113, délini l'abscisse comme une longueur. Mais étant donné l'analyse qui précède, les notons d'abacisse et de nombre sontpour nous rigoureusement équivalentes. C'est pourquoi nous pourrons désigner désormais par le même mot abscisse, la longueur définie au n° 112 (/un^ueuf-atscmc) et la mesure de cette longueur [nombre abscisse).