Expressions arithmétiques convergentes. Séries

120. — >ou9 avons considéré le nombre irrationnel comme la limite d'une suite convergente de nombres rationnels. Il convient de compléter nos définitions en montrant comment il sera efTectivement possible de former de telles suites. Nous allons donc indiquer quelques-ans des procédés tes plus simples au moyen desquels on peut définir la succession des nombres d'une suite; J'entends par là : définir la loi qui permettra, étant considérée une suite, d'en calculer autant de termes que l'on voudra. [Les nombi-es de la suite peuvent ici être supposés irrationnels aussi bien que rationnels.]

121. — Reprenons d'aboi-d, et énonçons maintenant sous sa forme la plus générale, le définition des suites convertfenles .

('] l.e« notions de convergence et de série ne se préciséTent tout à tait dans l'esprit des géomètres qu'au début du Xix< siècle, sous l'influence d'AsKi. et CAtiGHY, en particulier, (Voir par exemple le Cour» d'analytt algébrique de Ca\;cby, 1821). Cf. infra, Dtux. LiV., ch. vi.

IJO LES ora:<i>eihs

Soit donnée une suitequelconqueindciînieOe nombres ralionncis ou irrationnels :

c'cst-à-ijïre soit défini un procédé permettant de déduire chaque nouveau nombre de ta suilc de cenx qui le [jrécèdent. !^'il existe nn nombre c tel que la différence de c et du n^""> nombre de la suite, devienne arbitrairement petite pour n arbitrairement ijrand, noua dirons que U suite est convergente et admet pour Umite le nombre c; nous entendons par cet énoncé (cf. 110) que, quelque petit ijue soit un nombre donm' quelconque t. on [)eut toujours trouver un nombre entier N tel que pour n > N, la différence de e et Qa soit inférieure i i.

122. Séries convergentes. — Considérons, en particulier une suite convergente de quantités de plus en plus petites II,, «j, ... «„, ... ayant pour limite o. Posons :

Les nombres croissants x,,s^, s„,... forment à leur tour une suite; si cette suite est convergente elle déflnit un nombre rationnel ou irrationnel c : on dit aloi-s que le nombre c cstlusonimf de lasérie

conoerijenle u, + «, 4- ... + ««-i- ... et l'on écrit (') :

les nombres «,. (i„... ii» étant appelés termes de la série.

Plus on considère de termes dans la somme écrite ci-dessus, plus la valeur de cette somme est approchée de la valeur c. La somme «„+, -+- Un-yt ■+■ ... différence entre la somme de la série c et la somme Sn de ses n premiers termes fend donc vers la limite o lorsque l'on donne à n des valeurs arbitrairement grandes.

Supposons, en prticulier, que (II, Ui, u„,... soient respectivement des fractions de dénominateurs i, lo, lo',... lo",... Alors la somme des n premiers termes de la série est de la forme :

"' lo lo' '■■ lo"-'' (i) Comme d'habitude, lei poinU.., tiennent ici place des ferme* non-

EXPRESSIO^tS ARITHMKTIQCES CO'(VEIiaE:l1 ES . SÉIIIES iS"]

a„ a,,... a„ étant des nombres entiers moindres que lo ; cette somme est un nombre décimal qui an — i cb'ffres décimaux. Ainsi un nombre décimal auquel on ajoute indéfiniment de nouveaux chifTres décimaux est la somme d'une série convergente, — somme qui peut être un nombre rationnel on un nombre irrationnel.

Considérons, par exemple, la mesui-c de la longueur de la circonférence de loyon i. Cette mesure est un nombre irrationnel fjoe nom appelons 2 . tt et nous pouvons écrire, d'après le n° 67

ce qui est la même chose que l'égalité

expression qui approcliera de plus eu plus la mesure cherchée lorsque nous en déterminerons un plus grand nombre de décimales.

Un autre exemple de série convergente est la progression géométrique de raison injérieure à i que nous avons considère au n° 111

Considérons encore la série suivante :

On démontre que celte série est convergente et l'on appelle (') e le nombre irrationnel qui est sa limite. La valeur approchée de ce nombre est :

I^e nombre* jouit de remarquables propriélés sur lesquelles nous aurons à revenir. Hermite & AimouVté en 187.'} qu'il est transcendant, c'est-à-dire qu'il ne peut être considéré comme le résultat

{') Nous verrons plui loin comment historiquement lo nombre e s'est ialroduit en algèbre.

i38 L£3 gra:<dbcrs

d'auciinâ coiubinsisoD d'opérations fondamentales efTeetuées sur l'unité (plus précisément; on ne peut former aucune éijuation poljnoinale ayant pour coeHicieuts des nombres lationnels dont le nombre e soit racine, voir p. 8i, note 3). Pour obtenir une expression exacte du nombre e, il fimdrait elTecluer une combinaison comprenant une inlinilé d'opérations.

123. — Les considérations qui précèdent peuvent être géaé— ralisées. Knvisagcoiis, d'une manière gémirale, une combinaison com[>osce d'o^iérations dont le nombre peut être augmenté indéfmiment suivant une toi délenuinée. Cette combinaison csl ap|)eléc « e&preiision aritlimétîque >. ^i la suite des nombres qu'elle représente lorsqu'on multiplie indéfiniment les opérations) converge vers une llinilc c, l'expression aritlimétique est dite ainverijenle et le nombre c est sa limite.

La série convergente définie cî-ileasus est le type le plus simple d'expression arithmétique convergente, puisque c'est une combinaison d'additions seulement. Une combinaison d'additions et de soustractions sera également appelée «Me : ainsi l'expi-easion :

qui peut être prolongée indéfminicnt suivant une loi bien api>arente est une « série convergente ». Letbni?. (')a démontré qu'elle a pour

limite le nombre .' (n étant la moitié de la mesure du cercle de , rayon i).

Une autre exprcsnion arithmclique convergente est celle {tar laquelle François Viètci'^) |>ro]iose<ledélinir te nombre r :

{') De vera pnpoHiena eircuU ad quadralum circunucnpbtm in n ralionalibua. Acta eruditorum, i^H:i, |>. /fi, et suiv. et Malh. Werkr, t. V,

('} Vatwrum de rebut mailiewuUteU mponicrum liber \lll, clup. xtui.

EXPHES5IOS ARITIIHÉTIQIIES CONVEtlGB^TES. SÉRIES ï3g

dans celle expression le nombre des radicaux peut être indéfiniment inulliplic ; l'expression eïl convergenle et a pour timîlc ■

WaUis{^) et \ord Brouncker, d'autre pari, formèrent — toujours pour délinir le nombre n, — les expreraiona coDvergenles suivantes :

» ■ " j 7 • 9 ■ 9 • • ' ^U - G . C . 8 .8.8. lo . 10 ...

quionlrespeclivemenlpourllmilcs et . La serondecxpi'cssion ('), composa d'une cascade indéfinie de fractions est appe\ée /raelion continue (fractio conli'mta p-acta). Des expressions convetgenles de même forme avaient déjà été étudiées a» xvi' siècle par t'algébriste liombelti {'] de Ikilogne.

124. BxproBBiiMM oonvergentSB où ligure un nombre qui «agm9nts iadâfinlmcnt. — Il existe des expressions ai-illimétiques convergentes qui se pi-ésentent sous une forme antre que colle dont nous venons de parler.

Considérons une comhinaisnn d'opérations effectuées sur le nombre enlier ou rationnel n et supposons que ce nombre prenne des valeurs arbitraires de plus un plus (franiies : si la suite des nombres rournis par la combinaison considérée (pour les valeurs successives de») converge vers une tiinile r, la combinaison est une t. expression aritlimétiqua convergenle • dont la limite est c.

(') Voir Wai-i-Is. ArUhnxtlica inpnitorum, ifi.'iS, O/iera I, p. lfli|-75.

(') La loi suivant laquelle celte e\preHioii est formée esl manifeste : le* nombres i, y, 5ii, 1», Ri,... sont en effet les carrés des nombres impair» successifs I, 1, Ti, 7, 1), elc.

{") "L'Algebra, iSji). p. Vt-'i- (Bibl. N. V. fij)*-!]-

i4o LES ghandeurs

Ainsi (') l'on démontre que le nombre :

où H esl un nombre entier, se rapproche tie plus, do nombre e défini plus haut lorsque n prend des valeurs arbitrairement

grandes. Nous dirons donc que l'expression (■ H — 1 admet, poar n infiniment i/rand, la limite e, et nous «écrirons :

r. ^= limite de ( I + - ) pour " infini, ou simplement :

n infini \ "^

L'expression :

où a est un nombre quelconque et n un nombre entier arbitrairement grand, est égaleiiienl convergente : sa limite est en général un nombre irrationnel.

Nous pourrions facilement allonger la liste de ces exemples, car la combinaison des opérations arithmétiques indéfiniment répétées ou portant sur des nombres indéfiniment croissants, otTi-e h. l'ingéniosité du mathématicien des possibilités illimitées. Nous reviendrons plus loin sur ce sujet cl nous étudierons en détail certaines expressions convergentes, les séries en [larticulier. Nous aurons ainsi l'occasion d'insister sur les didicultés d'une nature assez délicate auxquelles donne lieu l'étude de la convergence lorsque l'on cherche à l'approfondir.

(') Voir aiusi sur l«a expreHion* de ce type, in/ra, TraU. liv., ch. :