Opéi-ations sur les langueurs -absolasea. — Itcvenons

à notre conception pi-cmîére des abscisses délinîes cominc segments

nu longueurs de segments, et ooasi-

Q 5 s A C diirons deux abscisses OA et OB lU-

i-î(fées de O vors X (Gg. G8) ; j'entends

dii-e par là que les exUémîtés A

el It sont entre 0 et \ ; d'une manière générale, en efTet, tuMU

altribuerons à iin segment Ici que OA ou OB, ou OA', fig. tiy

le sens qai v<i, tia point 0, nommé le premier, ikis rextrénnté A

ou B ou \'.

Désignons par a et t les longueurs de OA et OB. Pour ajouter les abscisses a et b, nous de\on£ maaifestement porlcr, ii partir de A, el à droite de ce point (c'cst-à-dire dan^ le senx du segment t>ll) une longueur égale à t. l'our rcirancber b de a, dous devons h partir de A, porter la même longueur en sens inverse. Ainsi sur b fig. 68, la somow a + 6 est l'abscisse OC, la différence A — B est l'abscisse OD.

Les opérations additive et soustractivc que nous déCnissons ainsi ne supposent nullement, au )>oiut de wa géométrique tout au moins, que b soit plus (tetit que a. Elles sont encore possibles si b> a [le point I), construit comme il a été dit tombe alors à gauche du point 0], bien qu'en ce cas la dilTércnce n — b n'ait plus de sens arithmétique.

Il j a plus. Nos opérations conservent un sens jféométrique biffn défini lors même que les abscisses, ou les segments 0.\ el Olï sont de sens contraires (cas de la fig. 6g). Si nous portons, en ce cas, sur l'axe X'OX. à parlir du point A, tin segment égal à OB et dirigé

LES riOHBRBS RCLItTIKS t^'i

dans le sens(') de ce sèment (siluéparconséqDent à gauche de A), nous obtenons «ne longaeor OC bien déterminée qi»e nous pouvrms oonlifKKT i appeler somme des abscisses OA et OB ; tandis^foe nous appellervns différence de ces abscisses rnl>s<:isse OD obtenue m portaot à partir do pcHnt A un segment

^1 k OB et dirigé dans le wns de II ^~~J J J[ [|

vert O. ^,

La multiplication d'une abscisse OA on OB par un nombre n est également une opération bien déûnie, quel que soit le sens de l'absciase; le résultat est une abscisse do même sens que OAou OBe( égale èin fois (*) la longueur OA ou OB.

Cela élaot, ne serait-il pas possible d'élargir un peu le cadre de la vieille arithmétique afin d'y introduire ce calcul d'un Douvean genre qui permet de combiner des abscisies de senis opposés?

137. Abaeiaaea on nombrss positifs on négatifs. — l'aisons d'abord une convention de langage qui est 1res naturelle après ce que nous venons de constater.

Rsportons-DOus à la ligure 67 et considérons le point A' situé k gauche de 0 & la distance OA' ^ a. Par analogie avec notre définition de la soustraction géométrique, nous conviendrons de dire que le point A' est obtenu en soustrayant la longueur OV de l'abscisse {é<jnk à o) du point O : pour désigner alors l'abscisse du point A', appelée tout Ji l'heure « a oaesl », nous dirons : zêm moins a ou moins a et nous écrirons : — a. Quant h. l'abscisse du point A (fig. 67) nous la désignerons indifTéremnient par + a ou par la simple lettre a. Ces conventions nous amènent Ji appeler Miis positif le sens primitivement (et d'ailleurs arbitrai remcnl) choisi comme direction des segments definissanl les abscisses (sens de O vers X) : c'est le sens de l'addition ; le sens opposé sera appelé netis néijalif : c'est le sens de la souslrnction. En conséquence, l'abscisse de tout point situé, par rapport à l'origine dans

(<) C'eat-A-dire le hi» de O ver^ B (voir ci-dessua).

(') Cette locntioQ a un mdi ior« même que n est irrationnel, puisque le fwoduit de deux nombrei iiratioanels, n X longueur OA ou OB, a élu défini comme nombre-alMciMe.

t44 LES GRARDErKS

la direction posili\e sera dïle : abscisse positive; l'abscisse de tout poinl situé do l'autre côté sera dite abscisse négative (').

D'ailleui-8 nous avons été conduits au S 6, à considérer les abscisses comme des nombres. Nous conviendrons donc de dire que les abscisses jiositives sont des nombres positifs et que les abscisses négatives sont des nombres né<jalifs.

Cette Ifrminologie est orbilraire, mais elte est féconde en suggestions : le jour oîi elle a été universellement adoptée, une grande révolution, dont nous verrons plus loin les effets, s'est trouvée accomplie dans la science du calcul.

Sans doute, il y avait longtemps que les arithméticiens savaient distinguer, comparer et combiner des grandeurs de sens opposés. Diopbante(voir n''^?, note i) raisonnait sur des grandeurs ajoutées ou retranchées ('). Avec plus de hardiesse [son Deux. /,iu.,chap.i), les Hindous a valent cotlifîé, et jujussérortloindanssesapplicatioDs, le calcul des biens et des dettes (propriétés et délies, promis et déchels) {'). Et, trouvant comme solution d'un problème le nombre

— 7 ," > Nicolas Chuquet (') déclarait ; « Ainsi ce calcules! vrai, qu'aucuns tiennent impossible », Cejtendant, lorsque Diopbanle parlait de grandeurs retranchées, il n'entendait point dire qu'elles fussent inférieures à zéro et il s'arrangeait de manière qu'elles soient toujours soustraites de grandeurs plus grandes ; au xvi" sîtcle encore. Michel Stifel, — qui voyait clairement que raisonner sur des quantités négatives, c'est raisonner c< sur des nombres moindres que o, c'est-à-dire moindres que rien «, — Michel Stifel qualifiait ces nombres de nombres absurdes (s) {nnmeri absardi) ; Cardan (*) les appelait nombres feints (numeri Jicii). Ce n'est

(*) On disait autrefoi»: positif el privatif oaaffirmatif et négatif. L'naxe aar lequel on a choisi un sens posiiiF et mi lens négalit est dit • dirigé ■ ou ■ orienlé >.

( ) J!:i,î;£iî el Xei^iiiî. Œuf. de Dîopk., éd. Tannery I, p. i3 et Buiv.

('') Cf. RoDET, Journal asiatique, t. XI, 1K78, p. nj et la théorie des équalioiis, infra, Drux. Liv.

(') Lt Triparti/, i^Si, Eupplémcnt (voir p. n, note i', p. lip, déf. ,4 1?).

(*) Arilhmelica intégra {vide, p. :ili, noto i), p. aili.

(») Ars Magna, i515, chap. I. Œuv. IV, p. Ml. Dans la résolution dvs équations algébriques [vide infra). Cardan demémc qucSTcvin {L'arithmilique, i585) n'hésitent pas à utilitPr certaines trans for mations {vide Deux. Liv., ch. i, S 1) qui iiitroduiiiciit des nombres négalits.

LEa 50MBRBS RELATIFS 1^5

qu'aprt-B de longues hésitations que les mathématiciens se décidèrent & ne point établir de ditTérence de nature entre les longueurs positives et les longueurs négatives, et à considérer les mesures de ces deux sortes de grandeurs comme une staleet même classe de nombres (comparer n" 38 et 97). Aux cartésiens revient le mérite d'avoir déQnitivement consacré cette manière de voir en formulant avec précision les définitions qu'elle suppose (').

128. — Nous avons vu tout à l'heure que l'on peut effectuer sur les abscisses négatives, ou de sens opposés, des opérations analogues h celles que nous avions déjà appris à faire sur les seules abscisses positives. Partant de là, il nous est facile de constituer a priori une théorie des opérations fondamentales, addition, soustraction, multiplication, portant sur les nombres-abscisses négatifs ou positifs et négatifs. Nous n'aurons, pour cela, qu'à inlerpréler les constructions géométriques du n° 126, et à satisfaire à la condition générale suivante : il faut (cf. 97) que, lorsqu'elles portent sur des nombres tous positifs (nombres rationnels ou irrationnels), les opérations que l'on défmit coïncident rigoureusement avec les opérations déjà connues qui portent le même nom. Or cette condition sera remplie si nous convenons d'adopter les définitions et règles que voici :

129. Nombres relatifs. — L'ensemble des abscisses positives et négatives sera regardé comme une classe de nombres, que l'on appellera nombres relatifs.

Chaque nombre relatif est défmi par un nombre ordinaire (rationnel ou irrationnel, api>elé valeur absolue du nombre relatif) et par un siijne (le signe ■+• ou le signe — }. Ainsi deux nombres relatifs seront déclarés égaux s'ils ont même valeur absolue et même signe (et en ce cas seulement).

Un nombre relatif sera dit positif ou néijalif suivant qu'il sera a^ecté du siffiie -i- oa — . Les nombres rationnels négatifs seront représentés dans 1 écriture courante, par leur valeur absolue pré-

(') Cf. p. 28'i. noie 1. Au cliap, I di- notre Deuïièm Livre (\ aurons occasion do signaler Jes cvlùbrcs recticrchoa do Dcscarit Mcinea nésatives des équalions.

I ^6 LES GHA^IDEURS

cédée du signe — .hns nombres rationnels positifs sont des nombres rationnels ordinaires ; on les représentera donc par leur valeur absolue ; cependant il n'est pas interdît de placer le signe -h devant cette valeur.

D'ailleurs, lorsque nous raisonnerons sur les nombres relatlTs en général, sans préciser dcsqnels il est question, nous pourrons toujours représenter ces nombres par de simples lettres (') a, L, c, ... ; mais alors, quand nous remplat^rons les lettres par les valeurs numériques dont elles tiennent ia place, nous devrons avoir soin d'afTecter ces valeurs des signes qui leur reviennent.

Pour exprimer qu'un nombre relatif représenté par une lettre a est un nombre positif, nous écrirons a > o; pour exprimer que le nombre est négatif, nous écrirons a <C o ; la valeur absolue de a sera représentée par le symbole spécial \a[. Deux nombres de même valeur absolue et de signes contraires sont dits : nombres opposés ou nombres égaux et de signes contraires.

Que a représente un nombre positif ou négatif, nous désignerons toujours par -I- a le même nombre <jue a et par — a le nombre opposé.

Les nombres non affectés de signes (et, par conséquent, tous positifs), en tant qu'ils s'opposent aux nombres relatifs, sont appelés : nombres absolus.

130. Addition des nombres relatifs. — La somme a -\- b de âeax nombres relatifs a et h est un nombre relatif ainsi formé : si tes deux nombres sont de même signe, on ajoute leurs valeurs absolues cl on affecte le résultai du signe commun ; si les deux nombres sont de signes contraires, on retranche Cune de taatre leurs valeurs abfohtes (savoir : la plus grande de la plus petite) et l'on donne au résultat le signe du nombre qm a la plus grande valeur absolue. Ainsi l'on écrit (*) :

La somme de trois nombres relatifs est le résutlal de taddilion

(') Vide n<» rififi.

(') Noua niellons cnlreparenthÈsosrensemLlc des g ignés et du nombre absolu qui dûlimsscut un nombre relatif.

LES HOMBRKS aELATIFS tij

tia troisième nombre à la tomme fies rleux premiers. El ainsi de saife.

Ces règles sont confornieB à l'iaterprétalioD géomélrique <)e l'addition donnée au n° 136. De là résulte qnc celle opération coïncide avec l'addition ordinaire lorsi^ue les nombres additionnés sont positifs ; elle joiût de plus des propriétés de commatativilé et à'astociativiié (cf. d" 5) : on a

a + fc = fc + n et {(H- t) + c = a + ((. + c).

On déduit de ces propriétés que pour calculer In somme de plusieurs nombres relatifs, on peut procéder comme il suit : on additionne, d'une part les nombres positifs, d'autre part les valeurs absolues des nombres négatifs ; on retranche la plus petite somme de la plus grande et on donne au résultat le signe des nombres qui ont fourni la plus grande somme.

131. Sonstraotion. — Nous dérmirons la soustraction dans les mêmes termes qu'au n° 6. La difTérence a — b{'t moias 6) est le nombre d tel que i -f- (/ = n. D'où la règle suivante, conséquence de celle qui régit Faddition (' ) : pour soustraire (ou relrancher) an nombre, il saffU d'ajouter le nombre opposé, qui a même valeur absolue et un signe contraire.

En d'autres termes, je dis que a — 6 = a -H (— t)- Et, en elTet, si nous faisons la somme a -y- [ — b) + b conformément aux règles de raddition, nous obtenons bien le nombre a.

Il résulte de celte l'ègle que toutes tes différences peuvent âtre remplacées par des sommes et réciproquement. En particulier, les syml>oles -(- ( — a) — (-h a), ou — (— u), où a est un nombre relatif, peuvent toujours être remplacés par les symboles — a, — a ou + a sans parenthèses.

[') BnASKHARA {Vifa ganila, chap. I, trsd. Colubraolie, p. ilVs] énonce ta règle en ces terme» ; liégU de la aouatraction : le bien passe à l'élal de iUn la ptrte, puit on fail l'addilion comme il eal dît. En particulier: {ibid. p. i36} : Délie retranchée de zéro devient un bien, et bien défient une Jflte, ce qui veut dire pour nous :