I40 LES GRANDEURS

La règle de l'addition est résumée par les vers suivants dans le traité de Lucas Paciuoh (i4<)i) ;

Piu con piu gionto fa sempre piu,

Meno con meno gionto fa ancor men

Piu con meno gionto sempre se abatte,

'E fara la maggiore denominationo.

Meno con piu quelle medcsimo cIig piu con meno (<).

132. Multiplioatioa des nombres relatif*. — Soil à multiplier, en premier lieu, un nombre relalifa par un nombre absolu n (voir 129) : la représentation géométrique du nombreabscisse (I nous conduit h définir le produit a x n comme étant le produit par n de la valeur absolue de a, ce produit étant atTectc du même signe que».

Soit maintenant ik multiplier a parle nombre négatif — n. Nous convenons d'admettre que moins n fois le nombre a, c'est n fois le nombre a retranché de o : en d'autres termes, nous posons :

(-") X«--("X a), qI nous sommes ainsi amenés à formuler la règle suivante qui satisfait à la condition requise au n° 128.

te produi ta X b ou a . h de deux nombres relatifs aetb est an nombre relatif qui a pour valeur ahiotue le produit (') \a\ X [b\ des valeurs absolues de a et b et qui est posilij ou négatif suivant que les deux nombres a et b ont même signe ou des signes contraires.

C'est la règle que l'on enseigne aux écoliers : Plus par plus donne plus, plus par moins et moins par plus donnent moins, moins par moins donue plus ; ou, comme disait Luca Paciuolo :

Piu via piu aempre fa piu

Meno via meno sempre fa pîu

Piu via meno sempre fa mono

Meno via piu similiter anche meno ('].

[') Summa, fol. iia. « Plus ajouté à plus donne toujours plus; moin ajoute à moins donne encore moins; plus ajouté à moins se retranche toujours et le signe est celui du plus grand nombre; moina et plus donne la même clioae que plus et moins >.

{') Ilréaulle de celte règle que Ion o |a.6l = ialx |6I.

(') Summa fol. ni. Cf. Chi.qi.-et, le Triparti/, liN.i, sec. part. chap. V. ■ NolaLle à savoir ; qui mtilliplic plus par plus et moins par moins, il ou vient plus, Lt qui muUiplie plus par moins iW a contrario, il en vient oujou rs moins d.

LES !(OMBRES RELATfrS

Le produit de a par o sera, par définilion, égal à o quel que soit a. Le produit de trois facteurs a, b, c sera le produit [>ar c du produit a X 6.

La multiplicalion telle que nous venons de la dé&nir jouit des propriété de commulalivilé, d'assodalivilê, et de disli ibuUvilé (n* 7) ; on a, en d'autres termes :

a.b = b.a. ia.b)x c = ax{b.c].

a X (b + c) = a X II + a X c.

133. DiTlsiou et fraotions. — Nous appellerons inverse d'un nombre relatif a le nombre relatif de même signe qui a pour valeur absolue l'inverse-- delà valeur absolue dea; nous représenterons ce nombre par - ■

Cela posé, le quotient a : b ou y de la division d'an nombre a par un nombre b sera, par définilion, le produit de a par le nombre v- Ce produit a pour valeur absolue (') , et est alTecté du signe + ou du signe — suivant que a et b ont mùme signe ou des signes contraires.

Lorsque a et b sont des nombres entiers, le quotient . est une

fraction affectée du signe -h ou du signe — . Les règles de calcul applicables aux fractions de nombres relatifs se déduisent immédiatement des règles établies pour les fractions ordinaires (c)iap. i, S J) et des définitions du présent paragraphe. Ainsi : on ne chant/e pat la valeur «T une fraction en multipliant ou uirisant ses deux termes par un même nombre relatif {on peut par conséquent réduira an même dénominateur plusieurs fractions données) ; pour ajouter ou retrancher plusieurs J raclions de mi'me dénominateur, il suffit (Tajouler oa retrancher les aamérateurs et de donner uu résultat

('} Il TMulte de laque |J = iji-

l5o LES ckâhdbibs

fe dénominateur commun; — le produit de deux fractions / el j esl le produit itzt-j .' '< quotient de r par -j est la fraction g- rr— ■

134. — Le quotient d'un nombre a par un nombre positif extrêmement petit ett un nombre poùttf eili^mement grand de nème signe que a : oout exprimerons ce faU en diuat que lorsque 1a dénominateur d'une fraction positive oa négative se tapprocUe indéfiniment de o, la fraction tend vers un nombre infini positif ou nég:atif (voir n» 41) et nous écrirons symboliquement (quel que soit le nombre a) :

135. PuisBamoee et racines. — Ayant déiini la multiplication des nombres relatifs, nous pouvons définir, quel qae toit le namtre entier positif p, la puissance /)*"*, a', d'un nombre relatif a. Le nombre a'' a pour valeur absolue (') [ai'- et pour signe le signe + ou le signe de a suivant que l'exposant p est pur ou impair (').

Nous définirons, d'autre part, la racine d'ordre p du nombi-e a

(i/ïo

a OU afj comme un nombre b dont la puissance p^* est égale ka. Exisle-t-il toujours un nombre/- jouissant de cette propriété, et en existe-t-il un ou plusieurs ? Cela dépend du nombre entier /> et du signe de a ; «n tout cas, s'il existe un nombre b, ce nombre a pour valear absolue le nombre positif \/)a|r; donc il y s au plus deux racines /)*"•• de a savoir : -h \^\a\ et — {/la] .

Soit d'abord p un nombre impinr : alors (d'après la règle énoncée ci-dessus) le nombre positif ^''[a]'' a une puissance p*"* positive qui est égale à la] ; le nombre négatif — y/|ii| a une puissance pin» négative égale à — \a\. J'en codcIos que le nombre a admet

[') Ona d«nc|(i»| = |a]'.

[') En effet a* produit d« deux nombre* poaitif ou oégatif, est poeitif ; a^ produit par a du nombre positif a', a û signe de a ; a*, produit de a pat le nombre a' qui a mémo signe que a, est positif et ainn de luite.

LES nOUSHES RELATIFS l5l

une el aneaeale racine d'ordre p, racine qai al égaie à -\-y/\a\ on à — \/\a\ suivant que a est positif oa négalif.

Soit maintenanl p un nombre pair : alors le nombre positif y |a[ et le nombre négatif — y/ia{ ont tous deux une puissance p*"" positive égale à laL J'en conclus que, si a est positif , ce nombre a deux racines d'ordre p, respectivement égales à -hyla} M — V 1"! • II a est nêgatij, ce nombre n'a pas de racine d'ordre p, el l'extraction de la racine p*"' de a est une opération impossible.

136. — Etant donné la pluralité possible des racines d'ordre p d'un même nombre, il nous faudra soigneusement indiquer — lorsque nous parlerons d'une racine /)*■" — sinonsentendonsraisonner sur l'une des racines en particulier ou sur l'une quelconque des racines (sans préciser laquelle). D'une manière générale (') — dans tout ce Premier Livre au moins — nous désignerona par le symbole ^a ou aP , non précédé d'un signe, la racine p*"^ de a qui a le même siqne que a; la seconde racine (dans le cas oùp est pair et a > o) sera alors représentée par la notation — (/o .

137. Exposants rationnels posltila on BégatUs. — Conf(vméœent à U convention du n* 60 la radne d'ordre a de a", c'est-

i-dire y/o" sera représentée par le symbole « " , On vérifie facilement que, quels que soienlle nombre relatif a et les nombres positifs rationnels/) etq, les égalités fondamentales (i), {a), (3) du n° BO :

o'. al =a'>+i ; ^ = a'-ï (si /»><?); (o'')' = afi.

sont satisfaites (lorsque les puissances qui y figurent existent, voir n" 136).

Gela dit, nous allons faire une convention nouvelle qui augmenterg encore l'intérêt de la « notation exponentielle • [vide

[') Le symbole y M ou jal'*, en particulwr, repréventera tou/ourg la racine p'^* positive du nombre esaenlicllement positif \a\. — La conventioa qas aoai énonçons ieî devient iacaminode et eit écartée lorsque l« Mm a nptiteatte one qvutUlé vtUMbl* (vur livre Dtux. 1, 5^).

193 LES GnA^DEUnS

n' 61). Convenons de poser ('), quel que soit le nombre posilif rationnel /<; :

- j ^^ a~' {ainsi - = «-',--=: o ' , etc.)

et considérons a-* comme une puissance (rexposant néijatif. Nous constaterons sans peine que, si cette déliniUon est admise, les puissances à exposants rationnels (') positifs ou négatifs jouiront des mêmes propriétés fondamentales que les puissances à exposants rationnels positifs.

En elTct, soient d'abord p el ij tous deux négatlTs; posant p ^ — p', q -= — (/', nous avons par dénnition :

On obtient les mêmes rormutes dans le cas où les exposants p et (/ sont de signes contraires.

Ainsi, quels que soit les nombres rationnels positifs ou négatifs p etq on a toujours les égalités fondamentales :

(i) a' . al =: a''+« . -^ = a'""! (a*-)! — ai-'.

Remarque. — Il résulte de nos déPinitions qu'une puissance quelconque (à exposant positif ou né^'alil) d'un nombre positif est toujours positive.

138. Inégalitéa. — Etant donnés deux nombres relatifs a et b, nous dirons que a est inférieur à & si la différence b — a est posi-

(<) On trouve dans le Triparty de Nicolas Chuquet, i^S4, le symbole

i^'" (équivalent à ia~') pris dans le sens de -' (éd. Marre, p. i5i-5i).

(*) Jusqu'à nouvel avis nous devons supposer que les exposants us sont pas nuls, car nous n'attribuons encore aucun sens au symbole a\

LES :(0MBBE3 RELATIFS l53

tive. Ainsi, un nombre négalifquelconque est inférieur à un nombre positif quelconque, et de deux nombres négalijs le plus petit est celui ^ui a la plus grande valeur absolue ; par exemple, on écrira :

La formule qui exprime qu'un nombre est inférieur ou supérieur à un autre nombre est une inéijaîité (cf. 40) .

Nous définirons comme au n" 40 ce qu'il faut entendre par une « opération effectuée sur une inégalité » et nous pourrons énoncer les propriétés suivantes, qui se déduisent immédiatement des règles relatives aux opérations fondamentales :

Quels que soient les nombres relatifs a, b, c, rinégalilé a<b entraîne a + c < fc -h c e( a — c <^ b ~ c. Si c est posilij, a < b entraine n c < b.c, car le produit c X (b — tj) est positif comme la différence {b — a). Si e est néijnlij, a<b entraine a.c';> b.c. car le produit c X (6 — a) a un signe opposé au signe de fc — a.

Sip et q sont deux nombres rationnels tels que p<.q,et si a^ i, OR a a»* <; a* ; posons, en effet q ^ p -h d, nous avons ai = a<\a-', donc (W — a'' ^ a"* . (a'* — i ) produit de deux nombres positifs ('),

Lorsque p est an nombre positif trh grand (a étant plus grand que i], a'' est un nombre positif Ir^s grand (cf. n* 40 in fine). Lorsque p est an nombre négatif tris grand en valeur absolue, «''est l'inverse d'un nombre positif très grand : c'est donc un nombre positif Irts petit.

139- Suites de nombres. Progreaeious. Proportions. — Piii»]ue l'on peut toujours dire quel est le plus grand de deux nombres relatifs donnés, on peut, étant proposé un ensemble quelconque de nombres, ranger ces nombres suivant une suite croissante ou décroissante (cf. n" 39). Et. sur les suites croissantes ou décroissantes de nombres relatifs, on peut raisonner comme sur tes suites de nombres absolus. On peut en particulier étendre &ces suites beaucoup de propriétés des suites de nombres entiers.

Considérons en particulier une suite croissante ou décroissante de nombres relatifsdanslaquelledeux nombres consécutifs quelconques ont pour différence un même nombre r : une telle suite s'appelle

C) D'après la note i de la p. 6 1 les puissances a', a' sont supérieures à i.

l5i LES «RAfliœUftS

progression arilhmétùjue de raison r (cf. a°* 15, 38, 110) ; si l'on déaigne le premier terme par a, les termes suivaoU sont a-\-r, a -^ 2r, a -[- 3r, etc. En raisonnant comme au n* 15, on démootce

que la somme des n premiers termes est n.a + -■' ■ ■■■ ^-^— .

ConsidcroDs' [mteillement une suite croissante ou décroissante de nombres dans laquelle deux nombres consécutifs quelconques ont pour rapport (quotient} un même nombre b : une telle suite »' appelle proyresslon ^éomélnque de raison 6 (n" 21, 38); si l'on désigne par a le premier terme, les termes suivants sont a . b, a.b^, a . b^,... et l'on démontre en ralsonnaat comme au n? 2i

que la somme det n premiers termes est a . ■ i quelle que

soit (') la valeur de b.

On étendra également à la classe des nombres relatifs les dé&nitions des moyens arithmétique, géométrique et harmonique données aun" 20, et toutes les règles qui régissent le calcul des /»ro/K)r/ions.

140. Suites convergentes. làmltea. — Enfîn on pourra définir, comme on Ta fait avec les nombres absolus, des suites convergentes de nombres relatifs; soit, par exemple, a,,... o^,... une suite de nombres négatifs décroissants ou croissants : si la suite des nombres positifs, croissants ou décroissants, |a,1, |at|,... |a„|.... est une suite convergente dont la limite est un nombre c (irrationnel ou rationnel), nous dirons que la suite des a,... a„.... est convergente et a pour tiinite — c. Cette déQnition est conforme aux propriétés géométriques des abscisses et & la définition des Bombres négatifs irrationnels (').

On pourra, plus généralement, étendre à la classe des nombres relatifs, la définition de la limite (121) ; on dira que la suite des nombres ai,... Oa,--- tend vers la limite c si, quelque petit que soit un nombre potiti/doimé e, la valeur absolue lo^ — c\ est inférieure à e à partir d'une certaine valeur de n. Lorsque cette condilioa est

C) Ainn, ktitqoe l'on «•niMltlra nombrai néptif , OB n'a phisbaMnn de deux foimulei difTérentes pour désigaei la somoM de* t«nuea de la pro^rewioD suivant que la raisoa est aupéiîeure ou inférieure i i (voir p. i^, note i).

(*J Définition i^aultant de la défiaition géoérale donnée au n** i ij.

mtiflfaita les «itrcunlÀ ies abiciuei com^xiBdsiil aux noinbref a ,... a,,,., tendent vers un poinl-limite.

Ayant défini la limite, on définira et étudiera comme au $ 7 les eipreMicnu anlhnéliqiMs oon*«rgealn et en parlJcalier iea léries.

La prof^raHirai griométnque a+a.r + a.r* + , pir exemple

eit «ne sirit qvi etl eomxrgaUe, ^d» que •oient les signet de a et r, sijrj < I, dkiergaUe t.\ \t\ > i. [Onledéuoatntn n coiame aa n° lUJ.

141. — Supposons que nous voulions mesurer un mât vertical d'une grande élévation. 11 sera impossible on très dlfBcile d'appliquer directement un mètre le long de ce mât. C'est pourquoi nous prendrons une voie déloomée. Nous meeurerons, par exemple, l'ombre du mât, \ une heure déterminée, et de la longueur de l'ombre nous déduirons celle du mât. .Vinsi — comme nous l'avons déjà remarqué & propos de ta mesuiedes angles (n" 102} — les grandeurs difficilement accessibles peuvent parfois être remplacées dans les calculs par des grandeurs suppléantes (') plus aisées h manier; ponr que cette substitnlîon soit légitime, il snfBt que l'on sache établir une « correspondance nnivoqne et réciproque* entre les grandeurs titulaires et leurs suppléantes, de sorte qu'à chaque grandeur corresponde ane suppléante bien déterminée et réciproque nuit. Dana coi conditkns. k tout calcul poi'tant sur les gnmdeun (■•duces correspond uiicalcni eSectué sor tKgrandenrs tuppléaiitea ; et la second calcul peut tenic lieu du premier.

Une sembUUe métliode paraîtra & première vus un peu artificielle et l'on sera porté à croire qu'elle ne peut avoir qu'un intérêt pratique. C'est en effet dans un but utilitaire qu'elle fut mise à profit par les initiateurs du calcul logarithmique, Jost BUrgï (■553-i632] et John Nepcr (i55o-i6i7) et par les astronomes qui posèrent les bases du co/cuf trigonomitrique. Cependant l'un et l'antre caknl devaient bientôt étte appelés i jouer un rôle de pre-

mier ordre dans la science théorique, ainsi que nous le verrons ultérieurement.

142. Définition da logarithme, — Prenons un nombre positif 6, que nous appellerons base des logarithmes (nous le choisirons supérieur ù i) : j'appellerai logarithme de base b [') d'un nombre a l'exposant a de la puissance à laquelle il faut élever h pour obtenir le nombre a, c'est-à-dire le nombre a qui est tel que 6' = a.

Actuellement, celte dcHnilion n'offre un sens pour nous que si le nombre a est un nombre rationnel positif ou négatif. En eifet, nous n'avons défini la puissance b' que dans l'hypothèse où son exposant est rationnel (137). Mais, moyennant une convention toute naturelle, il nous est facile d'attribuer une valeur Jétcrminéc à b' pour une valeur irrationnelle quelconque de a,

Soit en effet (n" 109 et 139) «,,...,«„,... une suite convergente de nombi-es croissants, inférieurs à a, qui admettent 7. pour limite,

cl ^i i^n, ... une suite convergente de nombres décroissants

ayant la même limite. Les puissances

sont de plus en plus grandes (puisque t >. i , vide, n" 138) mais elles sont toutes inférieures (') à toutes les puissances

li^\ 6^2, ...^ i}-^ ...

qui sont de plus en plus petites. Un cd déduit, en raisonnant comme au n* 117, que chacune des suites de nombres positifs 6'', ... 6**, ,., et t^', t^', ..., i^" est convergente ; d'ailleurs ces deux suites ont pour limites le même nombre, car la suite des nombres

I') Logarithme, d« ï^oyo; et ôpiB|j.iï signiGe ; c nombre exprimaDt un rapport * {numerus rationtm exponens) ; le rapport • exprimé ■ eit 1b rapport du nombre a à la base des lagarithmei ; en effet, dam la progresuon géométrique dëflnieplus bas, le rapport d'un terme queleonque au nombre b lera connu dès qu'on connaîtra le rang du terme, où le logarithme.

{''} Puisque les nombre* ^i, ... ^., sont tous plus grandi que i>.

LOGARITHMES l57

a pour limite zéro ('), La limite commune des deux suites peut alors être regardée, par définilion, comme la valeur de i* (c'est- Ji-dîre comme le nombre auquel la puissance b' sera égale par définition).

143. Détermination du logarithme d'un nombre. — Gela dit, pour trouver le logaritlime de base b d'un nombre quelconque a, nous pourrons procéder comme il suit (') :

Appelons :

les termes d'une progression arithmétique de raison positive r prolongée indéfiniment dans les deux sens : j'entends par là que

tandis que k i 'terme (fimlice — i) est égal à ï — r, ..., Xn (terme d'indice — n) est égal à i — n . r, ..., etc. La suite des nombres croissants

est alors nae progression géométrique de raison i' prolongée indéfiniment dans les deux sens ; en effet, nous avons :

b'' = 6' '- =6.6'; b'-' = 6'- = ~, etc.

Supposons que la raison r soit très petite, égale par exemple à io~p où p est un nombre entier très grand ; alors les termes de la progression arithmétique sont des nombres très rapprochés, et il en est par conséquent de même des termes de la progression géométrique.

Dans ces conditions, soient y et y -+- i les indices (positifs ou

(') Pour les valeurs de l'indice n, arbitrairement grandes, in et % sont arbitrai remenls voisins de a, donc arbitrairement voiaius l'un de l'autre; donc b'' est arbitrairement voisin de b:"'.

{') Noua n'entrons point ici dans le détail des opérations qui permettrait au constructeur d'uuo tablo de logarithme» {n° i.\t>] de simplifier ses calculs.

I&8 LES eRAai«CK3

négatifs) dont sontaflectés^deux termes consécutif de la ptogrcaaioo géométrîqne entre lesquels est compcis le nombre a [c'est-Jidire tels que 6'** <C a <C 6'9^'J '■ je dirai que s^ est une vaiear approchée par défaut du logarithme de base b de a, tandis que «,+, en est une valeur approchée par exch. Plus la raison r est petite, plus a, est rapproché de a,^, et les BonibfM 6>^, 6't-t-i du nombre a : j'en conclus que, lorsque I» taisoo r devm* iodi&DU ment voisine de zéro, ecf et 0,^1 se nf^rochent Lndéfinimefit d'un même nombre-limilc qui sera, par définition, le logaiitbme (exact) du nombre a.

La définition ainsi formniée suppose bien entendu qu'il existe dans la progression géooiétriqiie deux termes ooMécoIrls b'^, h't+^ entre lesquels est con]|ms le nombre a. Pour qo^ en soit aiusi, il faut et il suffit que le nombre a soit positif. En effet, les termes de la progression géométrique, qui sont des puissances d'un nombre positif, sont tous positifs, El nous savons d'autre part, que si nous prolongeons indéfiniment la progression vers la gauche et vers la droite, nous obtenons k gauclie des termes aussi petits que nous voulons, et à droite des termes arbitrairement grands. Les leiraes de la progression sont cTaillcurs />/u.! grands qae i ou plas petits que 1 suivant que leur eiKpoMtiU est positif ou négatif : donc un nombre positif a aura aa logarUhme pôêiiif oa né ijatif suivant qu'il est supérieur ou inférieur à 1 .

On poarra toirjours, d'après ce qui précède, calculer le logarithme de a avec une approximation arbitrairement grande. Si, par exemple a^ et st,,^, diff^ent de mons de io~', ce* sombres sertmt de» valeurs approchées du logatillune à moù» de to~' près : une T»lear plus approchée, supposée écrite daas U aotstioa décimale ('), ne différerait de a, eta,+, qu'à partir ds bohièoM chilTre décimal ; c'est pourquoi nous dirons en ce cas que le» ntlears npproehéet a, et a,+i du logarithme ont sept déàmales exactes.

En résumé, tout nombre positif possède un logarithme de base b, loyarrihme dont on peut calculer, sous forme de nombre décimai

} Cl. .\Ty; 3,, ï,J-j, ete. étant positirs 01 .e, bien entendu, que noue tupposous é

LoainiTRHEB 189

{précédé du signe ■+■ ou — ), une valeur arbilrairemenl approchée ; nous désignerons par le symbole iogi,a le logarilhme de base b du nombre a.

144. Utilité des logaritluiMs. — L'avantage qae l'on trouve â prendre les logarithmes comme suppléants des nombres sur lesquels on veut calculer, tîeot aui circonstances suivantes : aiix apéraUoPt effectuées sur les nombres correspondent d'ordinaire, pour les logarithmes, des opérations plus simples.

Soit par exemple, à faire le produit de deux nombies positifs a el c. Nom avons par déUailion

d'oB (n- 137) a.e= b^i" + >^"

ce qui revient k dJre que

lojf, (a.c) = logj a + togt e.

Ce lésultal s'étend nomédiatement au [H'odait d'un nombre quelcoaque de Eacteuts. Ainsi, à la maltiplicatioa de deux ou plusieurs nombres CDcreepond une addition de leurs TogarJtliraes; le logarilhme San produit est égal à la somme des tnyarilhmes des /acteurs.

Nous constatons de même que

? = 6'og»"— Wi'

ou I(^t - = logi a — logt c ;

donc à la division de a par e correspond une soustraction des logarithmes ; le logarithme d'an quotient est égal à la' différence des logarithmes du dividende et du divisear. Nous aurons encore (d'après le n" 137)

d'oà logi af =p . \o^i a ;

ï Télévation d'on nombre a à la puissance p correspond une ntulliptîcation par/) de son logarithme.

> GRA^JDEinS

KM p

à IVar/rae/fOH (/e la racine p^'"' de u correspond une dmsîon par p de son logaiîtlime.

Ces belles propriétiSs, auxquelles conduit direclement la compalaison des deux progressions arilliniélique el géométrique écrites plus liaut, ne pouvaient échapper aux aiillmiéticiens qui ont approfondi l'élude des progressions. Chuquel, Paciuolo, Stifel (') les ont remarquées. Mais pour qu'elles permissent effectivement de simplifier les calculs, il fallait que l'on sût déterminer rapidement le logarithme d'un nombre donné quelconque el, inversement, le nombre qui correspond à un logarithme donné. Or ce serait là une opéralioa assez compliquée s'il ne sutlisait, heureusement, de l'accomplir une fois pour toutes. Supposons, par exemple, que nous ajons calculé, avec 7 décimales exactes, les logarithmes de tous les nombres décimaux à sept décimales qui sont inférieurs à lOooo, ^ous pouvons noter ces logarithmes et les nombres correspondants dans une table clairement ordonnée, et lorsque plus tard, au cours de nos calculs, nous voudrons passer des nombres aux logarithmes ou inversement, nous n'aurons plus qu'à consulter notre table ; nous y chercherons le nombre ou le logarithme le plus voisin de celui auquel nous avons affaire et nous prendrons le logarithme ou lu nombre correspondant comme valeur approchée du logarithme ou du nombre cherché. Voilà ce dont se sont avisés Dur<ji et !\fper [!\'apier) : en construisant les premières lahles <lc logarithmes ('), ils ont été les véritables créateurs du calcul logaritbniîquc.

('] Arillimelica intégra, Nuernberg, iS^l, lib, I, fol. 15 : • i. Additio in ariOiiiielicis progresaionibui respondet mulliplicationi in geometricis ; a, Subsiractio in arilhmelicU respondet in geomeiricis divitioni, etc.

|i| BùHGi cul l'iUée le premier, mais ics tables 1 Arithmettsche und geomeirische Progrtlz-Tahuln > no parurent qu'en i(i'!a 'à Prague). Nepeh publia les siennes en i(ii\, sous le titre Mirifici togaritlimorum canoiiia descriplio t/ueque usua in uCraque Irigonomelrica ut eliam in omni fogistica mathentaliea amplissimi, facillimi el expedilintimi eiplicatio, Ediiiburgh.B. Nal. V. lîiMij. Les difléreiices que l'on pourrait relever cutre la mareho suivie par Dunci ou NtPEn et celle que nous esquis-

LOGARITHMES l6l

146. Tables. — La table du Baron John Neper, celle qui a joué historiquement le plus grand rôle('), contient les logavilhnies dont la base est le nombre remai'quable que nous avons appelé c au n" 123 (on les appelle logarithmes népériens ou naitirels) : nous verrons plus loin pourquoi ces logarithmes présentent un intérêt théorique spécial ; pratiquement ils offraient au constructeur de la table des facilités parliculièrcs.

Mais, pour les adeptes de la notation décimale, les logarithmes les plus avantageux sont ceux qui ont pour base lo (ou un multiple quelconque de lo). On constate en efTet qu'avec la notation décimale, les chiffres décimaux qui figurent dans la valeur approchée du logarithme de base lo d'un nombie décimal quelconque ne dépendent que des chiffres de ce nombre ; ils sont indépendants de la situation de la virgule dans le nombre, et aussi des zéros qui peuvent se trouver soit avant soit après tous les autres chiffres (*) ; ces zéros et la situation de la virgule déterminent, en revanche, ta partie entière et lo signe du logarithme. Si donc une table donne le logarithme (arbitrairement approché) d'un nombre entier tel que 3 /|68, elle donnera du même couples logarithmes des nombres 3, 468, 34, 68, 3468o, o,oo3468, etc. *

C'est pourquoi, Henry Briggs (t556-i63oi ami et collaborateur de Neper, entreprit de construire une nouvelle table, contenant les logarithmes de base ro {logarithmes vulgaires). L'année même de la mort de Neper, il donna, avec 8 décimales, les logarithmes des tooo premiers nombres entiers (Logarilhmorum Chitias prima, LoaàrBS, 1617); en 1634, il publia Wlrilhmelica logarilhmica (') qui donne, avec i4 décimales, les logarithmes des nombres de 1 à soooo et de 90000 à looooo.

I^s tables dont se servent les calculateurs contemporains con-

sons ci-deuuB (voir la note suivante) n'ont point d'importance théorique «t ne valent pas la peine d'Stre aignalces, non plus qu'une petite erreur ayttimatique qui entache les tables de Mbpeh.

{') Les tablei de Neper sont, en réalité des tables trigonomélricologaritbmiquei, vide p. 1^3, note 3.

{*) En d'autres termes, les chiffres décimaux (chiffres de la partie di' eimaU, vid» 4-'>) peuvent Stra déterniinés dès qu'on connatt le produit du nombre par une puissance entiire quelconque de 10, positive ou négative.

(') BIhl. N., rés. V i58.

BouTHDi. ~- Lo CHecipM d« l'Anilyta malhùDutiqnc. ii

lf)1t LES CHkKDEL'AS

tiennent, comme la table de Briggs, les logarithmes de base lo. On se fera une idée de leur disposition en rq^nnlunt les Eui-sinnlés qui se trouvent daos les tnit^ éUmentaîres d'orîllinftétiqne ou d'algèbre (').

14S. Logarlthmea Teii»rqaaLbl«a. — I) est un certain nombre de logarithmes dont le calcnl est immédiat. Ainsi la base des logarilbmes a pour logarithme i ; son carré, 9on cube, sa racine

carrée,... ont respectivement jioHr logarithmes 3,3, , etc.

Quel est, d'antre part, le lotfarilhme de u/i? Nous savons que, quelque petit que soit l'exposant p. la puissance V (pour A >■ i ) est supérieure à I ou inférieureà i suivant que p est positif ou négatif (40) ; d'ailleurs, si l'on prend snccessi\-en>ent comme e:c))oaaB(5 de la bnse /' une suite de nombres qui décroissent indÂfiBimenteii Tsleur absolue, iU' se rapproche indéTinimeut de i. J'en condus que \* logarithme ita nombre i est o; ce logarithme est indé^ndanl àa choix de la base : quef qœ soit le noinhre{') b. In fmisaance y* floit être regardée r^inme égaie à i .

Le logarithme d'un nombre positif tris petit est compris entre deux termes de la progression géométrique qui sont très Soignés vers la gauclie, c'cst-i-dire négatifs et très grands en valoir absolue. Lorsque le nonbre décroit indéfiniment, sou logaritliDie (toujours négatif) croit indéfiniment en valeur absolue ; c'est pourquoi nom dironii (en non^ servant de la notation nKMleme que nous avons introduite au n' 134 que le logiirilhme 4e o est égal é — K (jnmns rinjini; quelle que soit In base.

Le logarillime d'un nombre [tositif arbitrairement grand est un nombre positif arbitrairement grand : nous dirons donc que /<* loijnrilhme d'un nnmlirc injini est -,- x .

{' I Voir, par exemple : Bohci.. Algèbre, ^y^ cycle, p. t{4, «^ mùv.

l'i Nom avons gupp«M qae b était plut ^rand que i ; on parvient i la lâme conclusion si b est inFi'rïeurà i. Posons en ce cas i » i'~' I A' > 1 1 ; OUB aiirans, quel que soit p, b' ^ h'~' d poar p se a, i° = i" =t i.

GRARDEUHS TUGOROIléTHiqi'EÏ

- Qrmnéeurs trigoaomitriqaa

147. — A leur loiir, les géomîilrcf^ ou les astronomes qui ont à Taire des calculs sur des longueui's d*arcs de cercle ou sur des grandeurs d'angles, trouvent avantageux de remplacer ces grandeurs par des grandeurs suppléantes, plus Taciles à mesurer et à combiner. Une leclmique spéciale, la trigonométrie ('), a été créée dans ce but. Elle est d'origine fort ancienne, car on en trouve les rudiments dans le Manuel du calculaleur de l'égyptien Ahmes (vide p. 3, note a). Les astronomes grecs (^) la développèrent, ainsi que les arithméticiens hindous. Avec les Arabes ('} Mohammad Al fiaf/ani, de Damas (x*Biècie)et4ioii/H 'ii/îi.de Bagdad (g.'io-ggS). et surtout avecl'astronome persan Aasir addiit Tous! (^) (fioi- i-i-ji), elle prit une forme systématique et commença à être cultivée pour elle-même. En Occident, les principaux promoteurs de la trigonométrie furent Regioinonlanus (de son vrai nom, Johaon Millier, I.'i36-i476) et surtout Françoit ViÈle (').

148. Aros orientés sur un oerole. Somme ou dilTérenoe d'arcs. — Noua allons commencer par déHnir avec précision les grandeurs auxquelles la trigonométrie se propose de faire correspondre des grandeurs suppléantes.

Cherchons tout d'abord k oonipléter la définition des arcs de cercle en nous inspirant de ta théorie des segments portés sur une droite orientée (127).

Représentons-nous un arc AB d'un cercle de centre 0, comme

I') Trigonoirtitrie d^foifie, à pToprement parler i meinre des angles d'un triangle ■. La putie ée la (n^MMRtétiM <pri trMt« de» angles en gévéral, eit louvent appelGe, avec plus d'exactilude, goniométrU.

I*) Piineipalement les astronomes alexaiidrins. Arïxtargue de SamiDi

il* EÎicle «V. J.-C), HippanjuK de f^ieir. et Plolémie (n* siècle ap. J.-Cl.

1^1 Cf.. BRAVNMÎku, foi4«m^niiha-CcMAîcAfeda-rrLgmo*ndrie,(.I.

\*l Traite du quadrilatère atlribui à Naatiruddin-el-Toiaty, tiad. par

Alexandre FASCHACAAATHEODORv.Coiiataattnople, iH^i-

{^} La trigOBamétrie de Vi^te ae trvnve dans le Canon ma^emalinia •NI »d rrioM^Hta, puUU à Paris en 167^

l6.'| LES URAHDEL'DS

un niban sans épaisseur enroulé sur la cireonféi-ence, h partir du point A, dans un sens ou dans l'aulre. Le point A sera regarde comme l'origine et le point lï comme Texirémilâ de l'arc ; le sens suivant lequel il faudra parcourir le ruban pour aller de A en B sera appelé « sens de parcours » de l'arc; ce sens

Qsera conventionnel lement regardé comme positif *■ (sens de la flèche sur la fiR. 70) s'il est inverse du sens des aiguilles d'une montre, et comme négatif en cas contraire. La longueur liu ruban , peut être quelconque : si elle surpasse a x ~. 'e 'B- 7"- niban recouvre plusieurs fois tout ou partie de la

circonférence

L'arc ainsi défini est dit arc orienté. Il est, on le voit, entièrement caractérisé si l'on connaît : 1° son origine A et son extrémité It ; a* son sens de parcours; 3° le nombre de tours complets qu'un point mobile le parcourant devra décrire sur la circonférence avant d'atteindre le point B.

Un arc orienté sera désigné par les noms de ses points extrêmes, l'origine étant toujours nommée avant l'eMi-émité. Ainsi les arcs AB et BA sont des arcs difTérenls. de sens contraires.

Ces définitions données, il sera facile de faire correspondre à tout arc orienté un nombre relatif et un seul que nous appellerons 'I mesure» ou u valeur de l'arc orienté ». Ce nombre sera la mesure de la longueur de l'arc, affectée du signe ■+■ ou du signe — suivant que le sens de l'arc est positif ou négatif.

149. — La correspondance ainsi établie entre arcs orientés et nombres relatifs est évidemment, indépendante de la position qu'occupe le point-origine B sur le cercle, .\insi, si l'on déplace un arc orienté sur un cercle en le faisant glisser le long de ce cercle (sans modifier ni sa longueur, ni son s parcours), le nombre relatif correspondant à cet arc reste toujours le même.

Cette remarque nous permet de défînir géomé- „. triquement la somme de deux arcs orientés de valeurs a et b. Faisant glisser le second arc le long du cercle de manière à lui donner pour origine l'extrémité du premier, on obtient un arc orienté, formé de la réunion des deux arcs donnés ((fanx /«

r le long an ce

OHANDEt;HS TBIGO;<OMÉTRIQVES lG5

condilions {') indiquées au n" 126), qui a évidcmmenl pour valeur d + 6 : cet arc est la somme des arcs donnés.

On déGnira de mtïme la somme d'un nombre quelconque d'arcs et aussi la différence de deux arcs (en plaçant les deux arcs bout à bout et renversant le sens du second).

150. AbsclsasB ourriligoes. — Ces préliminaires posés, considérons en particulier un cercle de rayon i (*) sur lequel nous prenons un point fixe A et choisissons un sens positif comme il a été dit plus haut. Nous appellerons absclue carviUijne tout arc orienté d'origine A sur lecontour de ce cercle. Nous appellerons également ainsi la mesure (') (positive ou négative) d'un tel arc c'està-dire que, comme au % 6, nous entendrons indifTcremmenl par n abscisse » une longueur ou un nombre.

Cette délinition de l'abscisse curviligne appelle une remarque.

Nous avons vu que, sur la droite X'OX définie au n' 127, à tout point correspond une seule abscisse positive ou négative et réciproquement. H n'en est pas de même sur le cercle. A toute abscisse curviligne ou négative correspond bien encore un point unique (tel que li ou B' sur la fig. 7a). Mais k un même point B du cercle *■ ''' il correspond plusieurs abscisses curvilignes. Appelons, en effet, a la longueur de l'arc AB, longueur qui est, sur la figure, inférieure au quart de la longueur du cercle, c'est-à-dire au nombre : le

(') La somme se définit exactement comme si les arcs étaient des lon- ^eura |de même sens ou de sens opposés] portées bout à bout sur un axe ainù qu'il h été supposé au n" ia6.

<*) C'est-à-dire dont le rayon a pour longueur l'unité de longueur. Ce cercle est souvent appelé cercle trigonomiU-ique.

{*} Nous avons dit au a" jo\ que pour mesurer un arc du cercle de rayon i, on ne prend généralement pas comme unité le radian (le rayon du cercle} mais bien le degré (la 36o' partie du cercle) ou le pude (la 4oo* partie du cercle). Rien ne serait changé aux considératioDS que nous développons ici si l'on adoptait ces unités, la mesure d'un arc en degrés ou en grades étant aOectées du même signe que la mesure rapportée bu rayon : ainsi l'arc de 60 degrés (tiers de la drconNrence) n'est autre que l'arc ou l'abscûso curviligne ->', l'arc de go degrés ou

iCNi grades est l'arc - ; l'arc de — 90 degrés est l'nrc — „ > *' a'"'*' do suite.

IDb tES en&TDEUBS

nombre positif + a est une abscisse «curviligne de B; maïs le nombre 2.n + a en est une aussi ; car si nous enroulons sur le cercle dans le sens positif un ruban de longueur s.x + n (à partir de A), ce nibae recouvre la arconférence entière plus l'arc AB, et son extrémité tombe an point B ; les nombres /i.n -+- n, 6.n -ha,,., sont pareillement des abscisses curvilignes du même point B. Je dis que le nombre — 5.;r — a on — (a.ff — a) est aussi une abscisse curviligne de B : en effet, si nous enroulons sur le cercle, dam le uns riéffalif, un ruban de longueur 2.;r — o, ce ruban couvre une circonférence entière moins l'arc AO et son extrémité tombe au point A. Les nombres — i-Tî + a. — 6-ïi t- a. etc., sont pareillement «les abscisses curvilignes du point B.

Ainsi, si an point ïi 'la cerrle orienté a une ah.^chse eurviSgne égale à un nombre a, U en a une infinité «fautres, qat forment une progression arilkmétifiae (le raison a.?: : on convienlde représenter l'ensemble de ces nombres par la formule a ■+■ a./f.it; où la lettre A', représente un nombre auquel on peut donner une valeur entière on positive quelconque (à chacune des ^-aleiirs de k correspond une abscisse curviligne du point B).

IBl . L'ttbaoiaa» oarviUgae aa«aHr« ifait aagla ou arc qnaloouque. Angla orienté. — Coasidéroos maiateoant ua arc appartenant à une circonférence quelconque, ou un angle quelconque : nous pouvons considérer que la grandeur de l'arc ou de l'angle est mesurée indirectement par une abscisse curviligne.

Soit en effet AB' un arc appartenimt à une circonférence de centre O (ûg. 73) et de rayon /■. Appelons A, B les points de rencontre des rayons OA', OB' avec la circonférence de centre C et de rajon i. On démontre facilement que le rapport (') des langueurs des tleax arcs A'B' et AB est êf/al au rapport des rayons des deux cerelet,

c'est à-dire au rapport - ou r. Ainsi la longueur d'un arc quel-

Ci A l'angle de i degré correspond l'arc qui a pont longUMr r^- ée U circonférence, c'cït-à-dire dans le cercle tri gonomé trique l'arc de mesure -^ , dans le cercle donné l'arc do mesure -^ X r. Appelons d'autre

GHANDEUMS TftieonOSI^'ItigCBS 167

coaqne du cercle île raison r «si ^/•oporlioniielU à ia longueur de l'arc correspoodant du* cercle de rajon i .

Si d'autre part, j'appellfl A et B les points de rencoaire <ies demL eûtes d'un angle de sommet 0 avec le cercle de rayon i et de centre O, je sais que je puis, d'après les coovMttioi» du a' 103, prendre contnie Bieaure de l'angle la longueur de l'arc AB coiDficift entre les c6tés OA et OB. Cette mesure est ia. valeur aibsolue à'am abscisse cuiviligoe du point B {la pius pelile f.anni celles qm noaa avens définies aa iC ISO) comptée à pai-tir de l'origine A.

La cosneiioD que noo» avons étitblie entre la aolioa d'arc et celle de mesui-e d'angle AOB nous permettrait d'ailleurs de ivgaider la grandeur d'un angle comme unequanlîlc atTeclcc de signe et susceptible d'avoir une valeur arhitraîremenl grande [au lieu d'Aire comprise entre o et a angles droits (7t)1 ; il suflira de définir la grandeur de Can^tf comme étant celle de farc orienté compris entre ses côtés sur le cercle trigonoinélriqae . Le c6té de l'angle qui passe par l'origine de l'arc sera appelé cdté -origine de l'angle et nommé le premier, — En particulier, la position d'une demi-droite quelconque OB |>ar rapport k une demi-droile fixe OA peut être défmie par \ angle orienté que OA (cAté-orîgrne) forme avec OB : cet angle est l'angle dont il faut faire tourner OA Jane te sens positif (sens de la flèche, fig. 7^) pour l'amener à coïncider avec OB; il est compris entre o et a it, car, lorsque A tourne de l'angle i.;r, la droite OA balaye tout le plan de la liguic autour du point O.

162. Sinus, ooslnaa et tangente d'une abscisae ourri- Ugne. — Sur le cei-cle de centre 0 et de rayon 1. clioisissons une origine que j'appelleini désormais A et un sens de parcours, puis considérons un arc orienté AM, c'cst-ù-dire une abscisse

curviligne, que nous prendrons d'abord positive et inférieure à - (fig. 75). A la grandeur AM nous allons faire correspondre dei

part, m U iPMti

r« de l'angle AOB en àegiit ('

loagueur de l'ar

« AB», x^i '•"B"'""'''

l68 LES CtlA:<DEURS

grandeurs suppléantes qui seront pour elle ce qu'est |X>ur le mal imaginé au début du n* 141, l'ombre qu'il porte sur le sol ('). Co seront des longueurs rectilignes, et, par conséquent, plus maniables que la longueur curviligne AM.

La première idée qui vient à l'esprit est de prendre comme grandeur suppléante de i'arc AM la corde qui sous-tend cet arc, c'est-i-dire le segment de droite qui a pour extrémités les points A et M. C'est ainsi qu'opéraient les astronomes grec^ de l'Ecole d'Alexandrie: et nous trouvons, par exemple dans la Syntaxe (') de Ptolémée (2' siècle ap. J.-C.) «ne table donnant les cordes des arcs de-, i, 1 -,... degrés jusqu'à i Ho degrés.

Il est loutel'ois plus avantageux de choisir comme grandeurs suppléantes des longueurs toujours portées sur les mf mes droites et h partir d'un même origine, c'est-à-dirc des abscisses, pouvant être alTectées du signe + ou du signe — .

Menons la droite X'OX qui passe par le centre du cercle et l'origine des abscisses "*' '"' curvilignes ; sur cette ^droite, nous consi-

dérerons 0 comme une origine d'abscisses (rectilignes) et le sens de 0 vers A comme le sens positif.

Menons également In droite Y'OY perpendiculaire sur \'0\ et appelons B le point de cette droite qui a pour abscisse curviligne

H- - : sut la droite Y'OY, O sera considéré comme une origine d'abscisses et le sens positif sei-a le sens de 0 vers B.

Menons enCin la droite Z'AZ parallèle k Y'OY (tangente au cercle en A) : sur cette droite le point A sera regardé comme origine

(1) C'est précUément à propos lie la mesure d'un mât vertical (meaurfl dont ila déduisaient indirectement la hauteur du soleil) que les aslro- Domes arabes ont systématisé l'emploi des notions de tangente et de cotangent« d'un angle ou d'un arc [vide infra] ; ils appelaient ces lignes trigono métriques ombre* iumbra slans et umbra enlensa).

('} La ME-f^Xr, a-'jiti^::, traité d'astronomie que l'on connaissait au moyen-fige soua le nom arabe défiguré d'Almageate [de i) 1*1713x1;). On remarquera que la corde d'un arc tel que MAMi (voir flg. 79) est le double du sinus (voir les dérinilions données ci-dessous) de l'arc moitié AM. La table de Ptol6hre équivaut donc à une table de sinus.

GRANDEURS TRIGOROXéTRIQl'E!

irOY

d'abscisses (reclilignes), et le sens positif sera le même que (sens OZ sur la figure).

Du point M, abaissons sur 0\ elOY les perpendiculaires' M P et MQ, puis prolongeons le rayon OM jusqu'à sa rencontre en T avec la droite Z'OZ : j'appelle (') c sinus > de l'abscisse curviligne (ou de l'arc) AM Vahscisse reclUigne OP du point P, n cosinus n de l'abscisse curviligne (on de l'arc) AM Vabscisse rectiUgne OQ du point Q, et « tangente » de AM [ou, plus précisément, « tangente trigonométrique (*) »] Vahscisse rectdigne AT du point T (').

Ces dérmitions ont un sens précis quelle que soit la posilton du point M sur le cercle et par conséquent quelle que soit la valeur de l'abscisse curviligne AM. Ainsi (fig. 76) si M occupe la position M, entre B et A', l'abscisse curviligne ^M, a pour xiViuj(posilif) l'abscisse recliiigne OQ,, pour cosiniu (négatif; l'abscisse OP,, pour tangente (négative) l'abscisse ATi. — On vérifiede même, immédiatement, que si le point M occupe une position telle que l'abscisse curviligne a un sinus et un positive. — Si M occupe

Fig. 7«.

entre A' et B', ), une tangente position Mj entre B' et A, le sinus et

la tangente %OD.\, négatifs, le cosinus positif.

Les valeurs et signes du sinus, du cosinus et de la tangente de AM ne dépendent manifestement que de ta position du point M sur le cercle. Ainsi les abscisses curvilignes fou arcs) aet a+ 2.li.?z ont même sinus, cosinus et tangente quelque soit le nombre entier, [>ositif ou négatif, k : c'est pourquoi nous pourrons toujours raisonner sur le 11 sinus de l'abscisso curviligne du point M u sans spécifier quelle est celle de ces abscisses que nous considérons.

(' Le mot sinut est probablement la traduction latine d'un terme emprunté aux Hindous par les astionomcs arabes ; le préfixe co dans ccsinuB indique que le cosinus d'un angle est le alnus de l'angle complémentaire Icidein/ro, ifia). Les Hindous employaient pour désigner le sinus, un terme qui signifie pente.

(') La langeme ainsi définie est unn longueur; il ne faut pas la conlondre avec la tangente géométrique (tangente à une courbe) qui est une droite illimitée, définie par sa position par rapport à une courbe.

l'I H résulte de là que le tinu» de l'abscisse curviligne AM sur la figure 75 tit égal à PM et que son cosinus est égal à QM.

170 LEB <»Â>DEVRS

Nous conviendrons de représenter, djna l'écntun counnto, le sinus de AM pr le symbole « sin AM », le cosinits par « coe AM », l> Unt^te pftr u tang AM a ou » tg AM ». Si a désigoe u>e abscUse curviligne de l'arc AM, nous écrirons :

iina. cosa, lang a ou tg a.