GnuMtaoflS'ViilBQrsa. — En rapprochant au début de

notre second chapitie la géomëtriede l'arithmélique, en faisant une étude comparée de ces deux sctencea.sœau dans leur domaincfroBtière, noue avons vu nellemsnt en quoi consiste Je .poiat de vue proprement géoœétEique ('). Les grandeurs, nous l'avons dit, n'intéressent le géomètre qu'en tant qu'elles ont elles-mêmes .une Ggure. Ainei, lonsquele géomètre emploie le mot v ■égaliié », c'est toujours de l'«galilé de figure qu'il veut parler {oùle n°fiB); la notion d'égalité do grandeur ne satisfait son esprit que si, par des combinaisons de ligures, il .peut la ramener h la notion de superposition. De marne, une opénUlon effectuée sur des grandeurs est toujours, pour le géomètre, une consiruction (') : partant de figures données, que l'on jelic entre elles au moyen de droites, de cercles ou d'aulres lignes connues, oa construit une ^guce nouvelle appelée rL'cu/faf de l'opération. L'élaboration d'une tliéorie purement quantitative des grandeurs est le fait de l'aritlimétîcisn et de l'algébriste, non du géomètre. Dans une telle théorie, même, convient-il d'éliminer tout ce qui a trait à la figure? Boit-on et peut-on raisonner sur des grandeurs ou quantités entièrement dépouillées de forme géométrique ? Il serait audacieux de le prél£ndi«

(■) Sur le mot « géométrie >, voir p. 6a, nete i.

(') Supra, Qbap. ii, § 'i, panim et in/ra, chap, m, S ■'■ Bien entendu il ne «'agit pai là d'une coDStnicliou phytiquement Tiialitée, mail d'une Gonttruction idéale.

iSO LES FIGURES

après que nous sommes patlis d'une uotioa de grandeur qui se confond avec celle de longueur ou de rapport de longueur (Cliap. II, %il,3). Nous verrons d'ailleurs que l'algèbre resta longtemps tributaire de la construction géométrique, si bien qu'on en est encore à se demander si dans l'ouvrage inlitulé La Géométrie ('), Descartes a eu pour objet principal les progrès de la science du calcul ou ceux de la science des figures.

Cette dernière, aussi bien, reléguée naguère au second plan, par suite du développement triomphant de l'Analyse, a repris depuis un siècle une grande importance. Elle est et restera la plus belle illustration des sj^éculalions mathématiques et le point de rencontre des diverses mélhodcs qui leur sont [iropres. C'est pourquoi, dans un livre où nous cherchons à mettre en lumière les principes de l'Analyse, nous ne pouvons passer sous silence les propriétés fondamentales des figures géométriques.

165. Figures géométriques et figures conorëtes. — En quel sens la géométrie rationnelle éludie-t-elle les figures ? Question d'ordre philosophique que nous n'entreprendrons pas de traiter ici. Les triangles, les cercles, les ellipses sur lesquels raisonnent les géomètres ne sont point ceux que réalise la nature et que nos sens nous font percevoir. 11 n'y a pas, en effet, de Iriangle matériel qui soit rigoureusement un triangle, c'est-à-dire qui n'ait point d'épaisseur (pas de volume), qui soit parfaitement plan (non gondolé), dont les côtés soient vraiment droits (non tordus).

Pourra-t'on, du moins, vérifier par une expérience indirecte les propriétés que les géomètres attribuent au triangle? Non pas môme, car toute expérience est, en dernière analyse, une mesure, et aucune mesure n'est absolument parfaite (cf. n" 58). Ainsi l'on peut, au moyen d'observations astronomiques minutieuses, évaluer avec une grande précision les angles d'un triangle dont les sommets sont des étoiles ou des points terrestres définis par des signaux lumineux ; mais ce serait un merveilleux hasard que la somme des angles ainsi calculée fût rigoureusement égale k deux angles droits comme le veut le théorème

(') Vide in/ra, Deux. (.>., ch. iv, g 3.

LE HOnOE DES DOTIONS GÉOMiTRlQUES l8t

du n' 170('). En serrant la question de plus près, on constate qu'aucune des propriétés (homogénéité, isotropisme ('), etc.) attribuées Ji l'espace par le géomètre n'appartient h. l'espace sensible. H faut conclure de là que le géomètre raisonne sur un espace idéal, sur des figures idéales ('). Cea figures, où sont-elles, d'où les tirons-nous? Elles nous sont, — disaient les géomètres grecs et répétait après eux. Descartes, — révélées par l'intuition (cf. n" 1 et n°* 63 et suiv.). Grâce à celte faculté mystérieuse, les propriétés des figures géométriques nous apparaissent en bloc dans leur entrelacement harmonieux ; nous n'avons, pour composer la géométrie, qu'à détailler ce que nous voyons dans l'ordre que nous tenons pour le plus simple et le plus clair.

16e. Faits géomitriqueB et théorèmes. — Pour exposer BOUS forme didactique (*) les vérités de la géométrie, nous les traduisons en propositions [ihAtrèmes) que nous cherchons à démon-

(') On no p«ut donc pets contrôler expérimentalement ce théorème Remarquon* d'ailleun que pour l'astronome le c6té d'un triangle est un rayon lumineux. Or quelle expérience peut prouver ijue la direction de la Inmière est bien en effet une ligne droite au sens de la géométrie rationnelle ? — Cf. Deux. Liv., ch. v, \ t|.

(') L'espace géométrique eit dit homogène parce que tous se* points ■ont identiques entre eux, isotrope parce que toutes les droites qui paitent par un même point aont identiques entre elles. Or il est clair que, par rapport k nos sens, U* points de l'espace, ou les droites qui passent par un même, point, ne jouent pas toutes le mtme rAle. L'espace que nous percevons n'est pas non plus initni, et nous ne pouvons pas même vérifier expérimentalement qu'il a trois dimensions (cl. H. Poihcaré, Xrii êàenea et Vf^pothète. ch. it).

(S) Cependant, pour faciliter le raisonnement abstrait et pour soulager notre mémoire, nous pourroosnousaiderde figures réelles et, par exemple, de schémas tracés au tableau noir ou sur une feuille de papier. Tellessont les ■ figures i qui illustrent les traités de géométrie [noua n'oublierons pas que le mot ■ figure > pris dans cette acception désigne tout autr« chose que la figure théorique, objet des spéculations du géomètre],

(*) Les premiers géomètres de la Grèce n'enseignaient peut-être point leur science sous forme didactique : les propriétés des figures étaient pour eux des secrets auxquels ils initiaient un petit nombre de dîtciplea. Nous trouvons cbee Jambliqus [D» pythagorica vita, 88], le renseignement suivant, d'ailleurs sujet à caution ; i Voici comment les Pythagoriciens disent que la géométrie fut nendue publique : l'argent des Pythagoriciens fut perdu par l'un d'eux : k la suite de ce malheur on lui «ccorda de battre monnaie avec la Géométrie, i (Voir P. Tannery, La giomilrie grtequ», p. Ri).

iSa I

trer,.c.'t!^\. à-dire à déduire tes uii& des autres. Aînû dans un troîti bîea com|)03é (cf. i.4) les théorèmes se succèdent, chaînon gar cfaainon, suivant une série logiquement ordonnée. L'ardre de cette série a-t-il, cependant, une valeui aleohie? Ob^ecliveinent parlant, les propriétés dont jouissent.les Atres mathémaliquas aant des fiùts qui s' impliquent mutuellement, mais dont aucun nlest anl&rieur k l'aHJtre. Peut-être est-il commode de déduire la proposiTtion B de la proposition A ; mais il sentit souvoaL tout aussi légitime de tirer la proposition A de la proposition B. C'est à< cause des besoins de la démoostralion (|ue des faits, simultanés pour U raison, sont traduits dans nos livres gardes- théorèmes successifs. Voulant simpleiDent rappeler,, dans c& cbagitre, i^ueliyies-unes des propriétés dont jouissent les Ggures les plus simples, nous ne nous astreindrons pas à rétablir la chaîne dea- dénaonstrattoni que l'on troiivcnv dans touÀ les Irakés degéométrifi. N»usi nau& bomor rons il- si^alcr \& oinlenu objectif des théorèmes fonda mon laui. li sera temps ensuite de porter notre attention sur la forme logique duavstèmcqiiccesLliéeM'èmeaconetitaciDt^'KHr i4^&lDeiix.là>.,V),

2, — Qêométrîe qualitative des figuras simples

*67'. — Lorsque nous conlemplom le nrondc idéai dbs êtres géoméUiiqueSinous sommes frappés tout d'abord par le spectacle hannonieuK. que naos offrent le» figures- oonaidéiéas. danai leur forme el abstraction faite de leur gnmdettr: Nous observonsi en effet qu'une Ggure q-.iî est remarquable soit pac sa &inirpficité, soit pftT la symétiie qu'elle psésBate, soit par qudque autre ciiTomlance, est (bujours associée s d'sutres figures mnarquablesi U n'y a pas,, autrement dit,. de propriété qui ne tiolnc à s»' snite d'autra» pcoprtélés. D'où une multitude do théotàmes». dont Fensemblè constitoe \i tjéométrie qaalllàthe {'):

Nous allons rappeler brièvement quelques-uns de ces théorèmes.

(*) Nous ei«teiMlon& par là mugéomélrie où it u'Mt qpestjon que del«. forme, de» fi0iru et aoii da refalioiu quantitatives, eatra grandeurs. Nous feront toutefoii rentras dans cette géométrie la tlkeorié de» fïguna igaUt en. ajr.Mkt égard i ce fait que la notion. d'égalité géométrique. le confond area la nsti«n de superpotilion (cf. 53 et ^5). — Il import» d'ailleurs de remarquer que la dialinctiou do la géométrie qualitative et

GÉOMÉTRIE QUALIT&Xn'E DES PICVRES SIMPLES [83

Nombae d-'enlM eiut étaient aaos doute déjà connus- des premiers géfluiètcea grecs (■) et ea particulier des Pythagonciens ; mais ces savants a' ont laissé aucua laàlA écriX, et pent-itre l'appareil de la déDooBsUatiûa d' était-il pas assez pfirfecliooaé chez eux pour leur pernettre d'enchaîner leuiâ théorèmes d'une maaière satisfaisante. No«s a'aTona non plus aucune œuvre écrite des grands géomètres des \' et iv' BÎècleSr Archytas de Tarenle (réputé le dernier p^thagocicien d'ioaportaacc). Hippocralc de Chios, professeoTÀ Alhènes au v* siècle, Platon ('(29^3^8), Eadoxe de Cnide. Uau ie monuaienl essentiel de la géométrie grecque nous est, •«n revanche, familier k tous; c'est le traité (') de l'Alexandrin £ucUde {mutila, Elémenlâ, composés vers l'an 3oo av. J.-C), traité tj/ui est demeuré j/Bsqu'au dernier siècle la hïhle iTiathémati^ue. de tous les pays.

16S. PropiiitAs d'raglcs rstnarqnables ('). — Traçons deux droites parallèles \'X, T'Y et coupons ces droites par une troi-

4» \m g&aaétm HiAtrîqav iomS il Hra. queatim au $ 1 Mt !•«(» ntotÎTs^ et qn* le mot ■ qualitatif ■ a daa acceptionf diveraea. Une géomitti» qiii -s'attache à la forme des figurai ne fait point complètement abatractioik de ta grandear stpar conséquent de la qualité. Si donc on entendait par fuolilflti/ ce qni n'att à smomb degié qmaaiitmlifr it a'y aurait 6b i}«udrtftlib eu gaomrilna <ft» lea tUttrèin«s qvi raitaat vraÎB lonqa'on déforme les figuras tanaeti altéiar la dispoiition générala : ce* théorimet sont ceux de l'AnabfaU »itua dont noua parlenms ultérieurement.

{') fiuDiu (discipl» d'Jtfiatote), Chktnds (x" ntele or. J.-C) et PaoeLsa (4^tiisU ap. J.'C-], gourcei pdacipalof de nui coimaiaMacM sur les origines de la géométria grecijuB (lei deux premien, d'ailleurs, ne nous sont connus qu'indirectement, leurs écrits étant perdus}, attribuent à Thalès la découverte de plusieuis tUarèoMi quAV^approprièrent e&saito les Pythagoriciens. Il semble cependant que Tsalës n'ait guère eu que de* CDnnoiaaancei pratique* qu'il tenait peut-être des Egyptiens.

{*] Il est impossible do déterminer exactement les sources de l'ceuvre -d'EvcuDE. Tout porte à osire eapendant qa'il & lai^DMDt puisé dans hw tiaitéa de géométrie antérieurs au sien, et t^ue les £Umant» aont L'abou? tisseroent d'un travail collectif de plusieurs siècle*. Le* éditions anciennea 4>n modernes des Elimtnl* «ont innonbrables. La principale traduction française est celle de F. Prcxian, La* Œuuwt» d'Euetiâe an grec, «n IoéiW 4t at tr-oaçaU^ 3 vol.. Pana, i8i4-i8iS.

(*) On trouvera daoa tout les traités de géométrie élémentaire les -démonstrations que nous laissons do c&té. On pourra consulter, par «xemple: Hadauahd, Ltçona de géomitrU iUmtnlaire, 3 vol.. Colin, ift^ft «t igoi ; BoucbA et Couberoosse, Traiti de géométrie, a vol., Gauthier- >^lars, 7* édit., igoo.

l8j LES FIGURES

sîème droite Z'Z qui tea rencontre respectivemenl aux pointa A et B (fig. 83). La droite Z'Z {appelée Irantversale) forme avec chacune des droites X'X et Y'Y quatre angles que je numérote : i, 3, 3, 4- D'où, en tout, huit angles (je les désigne respectivement par les lettres affectées d'indices A|, A., Ai, Ai, B,, Bj, Bi, B^) entre les grandeurs desquels il y a des relations remarquables {').

Les angles Ai, A( (égaux comme opposés par le sommet, n" 64) sont égaux (superposables) aux angles Bi, B^ (opposés par le sommet). Les angles Ai, A, iont égaux aux angles Bj, Bj. — D'ailleurs les angles A, et A3, Bi et TAi, etc. sont deux à deux supplémentaires (n" M). Il en résulte que les angles A, el B,, sont supplémentaires, de même les angles A, el Bj, etc.

Lorsque l'on veut spécialement désigner deux des huit angles A|,... B^, l'un de sommet A et l'autre de sommet B, on emploie une terminologie spéciale : on appelle aUernea-internes (') les angles (égaux) Ai, Bj, ou A,, Bj, alternes-externes les angles A,. Bj, ou.Vi.Bj, correspondants les sitigles K,, B,,ou Ai, Bî.ou Ai, Bj, ou A,, Bi, intérieurs les angles A,, B,, ou A„ B„ etc.

Ces défmilions sont naturellement valables lors même que les droites X'X et Y'V ne sont pas parallèles. Mais on démontre que si, parmi les huit angles que forme avec ces droites la transversale Z'Z il y a un couple d'angles alternes-internes, alternes -externes 00 correspondants égaux, les deux droites X'X et y Y sont nécessairement parallèles.

169, — Il résulte des propositions ci- v

dessus énoncées que lorsqu'un des huit angles est droit, tous les autres sont droits : ainsi, lorsque la droite Z'Z est perpendiculaire sar Fane des parnllkles elle est perpendiculaire sur l'autre. Réciproquement, si Z'Z est perpenculalre sur chacune des droites X'X, Y'Y, ces deux droites sont parallèles.

(') Cf. Elclidb, r, 57-30.

(') AUerni angidi, d'apcès les traducteun d'EucLtDE.

gëométhie qualitative des FiGunss biuples i85

C'est également des propositions qui précèdent que l'on tire les importants théorèmes suivants :

Deux angles dont tes sommets 0 et O' sont des points quelconques,, mais dont les côtés sont parallèles chacun à chacun et dirigés dans le même sens sont ésao^C). >''■'«■ .

Deux angles qaiont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux ou supplémentaires.

170. Triangles. CAtés. Somme d«a anglea. — Un triangle a 6 s éléments », savoir ses trois côtés et ses trois angles.

Entre les trois côtés d'une part, les trois angles de l'autre, il y a des relations remarquables :

Dans un triangle quelconque nn côté est plus petit que la somme des deax autres. Sur la fig, 85, par exemple, on a ;

longueur BC ■< longueur AB + longueur AC. Cette proposition ne fait en somme qu'exprimer qu'entre les deux points B et C la ligne droite est le plus court chemin.

D'autre part, la somme des angles d'an triangle quelconque a toujours pour somme deux angles droits (*) [voir au n' 64 la définition de la somme de plusieurs angles}.

En effet, menons (fig, 86) par le point C la droite CD parallèle k AB, et appelons CB' le prolongement de BC : l'angle A du triangle est égal à l'angle ACD {alterne-interne, n' 168) ; l'angle B du triangle est égal à l'angle DCB' (correspondant). Donc la somme des trois angles du triangle est égale i la somme des

C) Le théorime «ft encore vrai si iea deux angles sont situes dans des plan* différents (cesp)ansiont alors, d'ailleurs, nécessairement parallèles],

C) EvcLiDE, liv, I, prop, 33, Voir au sujet de ce théorime : infra, Deuxtim» Lh>., chap. v.

l86 LES FIGURES

angles BCA, ACD et DCB'.donc à l'angle BCB', plua grand angle possible, éijalà deux droits (n° 64).

La découverte de ce théorème capital est attribuée par Eudème (voir p. i83, note i) aux Pythagoriciens.

L'angle (tel que ACB) formé par un côté d'un triangle et le prolongement d'un autre côté est appelé angle extérieur (txxS; fuivïu). Chaque angle extérieur est égal à la somme des deux angles du triangle qui ne lui sont pas adjacents (').

11 résulte de ces propositions qu'un triangle quelconque ne peut avoir plus d'un angle obtus. Dan? un triangle qui a un angle droit, les deux angles non-droits (nécessairement aigus) sonLcooiplfmeniaires {n° 54).

171. — Signalons encore la propriété suivante concernant les grandeurs relatives des côtés et des angles d'un triangle.

A (') deiur côtés iiiéyaux fFun triangle correspaiideitl des angles inégaux ; au plas grand côté est opposé le plus grand angle.

Ainsi sur la fignre 85 le côté AB est plus grand que le côté BC. Oft démontre qu'ea eonséqocnce: le» sn^es A.Cfi et ABC soot inégaux et que le prevaicr ot plus grand tjae' U second.