Egalité des triangl«B. — Deux triangles sont Jits égaux
A' {congruents) lorsqu'ils sont superposablea (').
\. / X^ Deui triangles égaux (tels que les triangles
/^X ' '^' ABC, A'B'C sur la figure 87) ont des
angles et côtés correspondants qui sont
^'S ^7- igDMX. deax k deu» : nouS' dieona donc que
leurs 6 éléments soat égaux chtuiM àettacuAC^y FUôproqjueBWBt. ai
deux triangles ont leurs su. élûacmlâ égaivx> eliacuni à cliaeiui, iH»
soDt aupevposaUeK.
(') COI M a. tattat supplantai qu» I» acbud ds cm angh», MkToir l'asigle ACB.
(*) EwciitTE, Kv, T, prop. Ig.
(^) Cok Mviautà dira qae le toMigle ABC pent êtm dfjtlaal d« telt« manière qu'il vienne coïncider avec le triangle ABC. Cf. Deux. Lie, cHap. IV, % Il ; voir aussi n° 1&4
[*) U en sera de mêms de tout' Wi i«gm«its da draitei Mianifa am triangles (tels que hauteurs, bissectÔMS, a" X77) fui m coEraapcmJeiit deux & deux.
GÉOMÉTRIE QUAL1TA.T1,VB DE8 FIGt'HES SIUPLB3 iS^
Voilà — OU à peu prèa — tout ce qua noue auùonft k dire des (rian^ea égaux si. nous iLaviaos d'autre bnL que de décrire les propriétés des (igures. Mais nous ne devons pas oubliée (cf. lââ et aai) que le» ihéorènneB de la géométrie ne s<mi yi& seulemaot tenus d'apporter des résultats intéresaanta, mais doivent ausei servir d'instruments de démonstration pour la découverte de nouvelles propositions. C'està ce titre que s'imposait la dûterminalion des < cas d'érjalhé des Irîaagles s, quî est sans doute l'une des questions les plus anciennement résolues par les géomètres [^Eudèine fait remonter la découverte dé l'un d'eux jusq^u'à Thalh.\
IL s'agissait de déterminer des conditions suffisantes entraînant tégalilè de deux triangles. En d'autres termes, — désignant les angles des deux triangles ((îg. 87) par les noms dé leurs sommets respectifs et les cotes opposés par les petites lettres correspondantes a, b, c, a', y , c', — écrivons les six égalités (')
A = A', H = B^ C = C, « =0'. b = ti. c^d
qpi expriment que les triangles, sont su^^rposables. Si ces six conditions d'égalité sont satisfaites, les triangles sont sûrement égaux. Maïs est-il nécessaire de itwoir déjà qu'elles sont toutes six satisfaites pour afTirmer l'égalité des deux triangles ? Ne peut-îl arriver que, %ï cinq, o\\ quatre, ou irois.Aei siicondilions sont remplies, les dernières le soient nécessairement ipso /w/o? S'il en était ainsi, nous dirions qiie les cinq, ou quatre, ou trois premières conditions sont des « conditions suHlsantes » assurant l'égalité des deux triangles.
De telles conditions suffisantes sont données par les trois cas dégalilé des triangles que des démonstrations très simples permettent de déterminer.
t" cas. — Deax Irianfjlès sont é'yatar hrsqu'its ont an amjle éffalcamprâ entre deax côtés ér/atix" chacun à chacan, ce qui veut dire ; il suffit que tes deux triangles aient un angle égal (soit Al ^= A^) et le», deux côtés connponffanto égaux, (aoii h ^ b', c^c* sur la figurer 8*7) poirr que les deux ttrângites soient égaunt.
31°* au.. — Deux lri(UUjles.soiit égfuia lorsqu'ils ont an eôlé éyal
{'] Q s'agit ici touJQun d'égalité* géômctriquea que noua exprimons ^fmionqutmenf ta empruntant Te ligne ^ aux anthméticieni.
adjacent (attenant) à deux tint/les égaux chacun à chacun [par exemple lorsque le côt^ a est égal au côté a', l'angle B k l'angle B', l'angle C k l'angle C'].
3"' cas. — Deux triangles sont égaux lorsqu'ils oui leurs trois côtés égaux chacun à chacun.
173. Remarque. — Aux trois cas énumérés ci-dessus on ^Hiurrait adjoindre le suivant : cas où les deux triangles ont deux côtés égaux et un angle égal non compris entre ces cdtés. Mais ces conditions, nécessaires pour que les triangles soient égaux, ne sont pas suffisantes. Supposons en efTet, qu'il soit su que les côtés AD, AC et l'angle B d'un premier triangle ABC (fig. 85) soient
respectivement égaux aux côtés et k l'angle correspondant d'un second triangle : ce second triangle pourra être (fig. 88) le triangle A'B'C égal h ABC ; mais îl pourra être aussi le triangle Fi 88 A'B'C, qui a même côté A'B', mâme angle B'
et où A'C est égal k \'C' ; or ce triangle n'est pas superposable k ABC. Ainsi les conditions données par l'énoncé déterminent deux triangles différents, dont l'un seulement est égal au triangle ABC : pour conclure k l'égalité il faut s'être assuré que c'est bien k celui-ci que l'on a affaire.
Remarquons, d'autre part, que l'on ne peut jamais, déduire l'égalité de deux triangles du fait qu'ils ont leurs trois angles égaux chacun à cbacun C). II est clair en effet qu'un triangle très petit et un triangle très grand peuvent avoir des angles égaux.
174. Triangles reotangles. — On appelle triangle rectangle un triangle dont un angle est droit. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit (côté BC sur la figure 8g est appelé
{') Les trois anglM d'un triante quelconque ayant toujours la mêms aomme (n" 170) nous do donnons rien de pliu en déclarant igaux !«■ trois angles dei deux triangles qu'eu supposant simplement l'égaUté de doux angles ; eu d'autres termes, nous ne formulons que deux conditions auxquelles satisfont les deux triangles : les cas d'égalité supposent tous, au contraire, que troit conditions sont remplies [au sujet du nombre de conditions qui déterminent un triangle, voir infra, Liv, Deux., ctop. IV, i ■].
