GÉOMÉTRIE QUALITATIVE DES FIGURES SIMPLES
hypoténuse (ùitoTiîvouia, qui soua-tend). les deux autres cdtés soat appelés côtés de l'angle droit ou calkèles (xxSttof Bignifie : qui tombe verticalement).
Les triangles rectangles, jouissent de pro- ^ 5 priétés exceptionnelles remarquables. L'énoncé \.^ I \^ des cas d'égalité de deux triangles, en parti- b c b' %•
culier, peut être simplifié lorsque les triangles pig. 89.
sont rectangles (').
176- Applications diveraes. — La considération de triangles égaux permet de reconnaître l'égalité de segments reclilignes ou d'angles remarquables associés & diverses figures.
Soient (fig. 90) X'X une droite indéfinie et V'Y une autre
droite, perpendiculaire sur X'X au point H.
Tout segment rcctiligne tel que AB, mené
d'uD point A de Y'Y à un point (quelconque) B
de X'X est dit oblique par rapport à la
droite X'X; le point B est appelé k ;>(W rfe
tùblique ti ('). Cela posé, on démontre que
deux obliques, issues d'un même point A et
dont les pieds sont également distants dapied H
'^' 3"' . de la perpendiculaire AH {sur X'X) sont des
segments égaux. Réciproquement, si ces segments sont égaux,
leurs pieds sont également distants du point H.
Remarque. — On démontre {') que toute oblique est plus longue que la perpendiculaire. C'est pourquoi la distance du point \ à la droite X'X est définie comme étant la longueur de la perpendiculaire AIL Le pied H de la perpendiculaire abaissée de A / sur X'X est appelé projection orthogonale ou sim- * ' i ' plement projection du point A sur la droite X'X. pig. gr,
(') Dttix triangle» rectangles sont égaux — dit-on assez incorrectement — ioraqu'iU ont l'hypoténuse égale et une cathite égale, — ou lorsqu'ils ont l'hypoténuse igate et un angle [autre qut l'angle droit) égal.
{') Le mot oblique, employé comme Bubslanlif, est fénûoin (droite étant sous-entendu).
(3) Nous verrons plus loin (aiS) que AH [c'est-à-dire la mesure de AH) est égale au produit de AC par un nombre plus petit que 1 (cosinus de rang;Ie HAC).
tgO LES FIGURES
'Considérons nisintenanl (a Vissectrice OZ ^n* 1S4) S'ait angle âonnc XOy ((ig. 91). On démontre qae les peqtenilkulatrvs AB et AC abaissées d'un point quelconque A »?c la bissectrice lur les cilés de Cantate sont des segments égaux.
176- Symé^ea. — Soit donnée anc dioile X'X. Deux poînl» quelcontjues A et A' sont dits symélrliiaes l'un deTautre par rapport à celte droite s'ils sont situés sur une intime perpendiculaire à X'X et équidistants de cette droite. — Deux lignes quelconques sont dites symétriijues l'une de l'autre par rapport à X'X si tous leurs points sont deiis à deux symétriques. — On démontre facilement que deux triaiigles — tels que ABC, A'B'C (fig. ga) — symétriques par rapport à une droite X'X sont des triangles égaux. D'une manièi-e générale, deux figurée de forme quelconque symétriques yiot rapport à une droite sont congrucnles (superposables (').
Fig. aï.
Soit donné, d'autre part, un point O. Deux points quelconques A et A' sont dits syméfriqses \'va de l'uutre por rapport & O ("iBs sont équidistants de ce point et en ligne droite avec Itri {(ig. gS). Deux ûgures quolconques sont ditsa-v^m^/r/i^ues par rapport^Osi leurs points sont symétriques deu\ à deux. On démontre que denx telles figures sont toujours congnjcntea.
177. Droites remarquables aaaooléea A on triangle. — On peut associer à lui triangle diverses droites qui jouissent de rpropriétés reinai^uahlcs. Parmi ces droites, celles qui sont le plvs fréquemment considérées sont les hauteurs, les médianes et les
bissectrices .
(<) Voira co tuinl Detix. Lit:, ch. iv, § n.
GÉOHÉTfllE QUALITATIVE DES FIGURE» SIMPLES 1^1
' La hauteur (dn triangle ABC) relative an cMë BC est ta perfiendiculaire \H abaissée du sommet A sur le côté BC (fig. çS) '[le ponil H, pied de la liauteur, n*es( d'aîlleurs pas nécessairement situe entre B et C ; il peut 6tr« sur le prolongement de ce côté, «g- 95].
La médiane relative au calé BC est la droite gui joint le sommet A, opposé à BC, an mifiea M de BC.
La bissectrice relative à l'angle A est la bissectrice AP de cet angle (voir n° B4).
Tout triangle a trois liauteurs, trois médianes, trois bisseciricesr et l'on démontre que ces droites jouissent des propriétés suivantes :
Les trois hauteurs fun Iriangîe se coapenl en un même point. — Les trois médianes iTun triangle se roupent en un même point (appelé (') centre de gravité da triangle). — Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un même point.
K^ ii. Fig. 05.
On peut également démontrer que les perpendiculaires élevées en leurs aàlieux sur les trois côtés dun trianijk se coupent en an mime point.
Cette propoaUioB et celle qui concerne les bissectrices {'] ont sans doute été connues des Pjthagoriciens. Les propositions relatives aux hAut«urs-et eux médiane* sont utilisées ^r Arcidmède.
17& Tringle iMMèlfl. — l'n triangle isosoMe {looM^q est on triangle qui • 'deux càtét é^aux (AB et AC sur la figure ■^). Cette profciélé en erdraioe d'autres, en pferticulier les suivastes :
(■) Ce p<HBt ac tr(mv« 4tre en effet pmr nn triangle b<»nagïn« (c*«>tk-dire uni [orme ment pesant dana toute son éteadue) le centre de gravité que l'on définit «n mécanrqiK.
(') Lk âémonslratïon At «es propoailiona résuhe des remarques que nous ferons au n" 190 à propos du cercle ciroons<sit -et dn cercle ineerit.
iga LBS FIGURES
Les angles opposés aux côtés étjaax (angles B et C sur la figure) sont ét/aux.
La hauteur AH relative au troisième côté BC (appelé
base du triangle), est, en même temps, la médiane
î relative au même côté et la bissectrice de tangle A.
/\ Ainsi, lorsque AB est 6gal à BC, les trois droites
/ \ AH, AM, AP de la figure gi coïncident.
B H c Un triangle îsoscèle qui a ses trois côtés égaux est
Fig. g6. appelé triangle équîlatértU.
179. Quadrilatères remarquablea. — Nous avons déjà délinî aux d" 75, 77, les quadrilatères remarquables que l'on appelle parallélogrammes, rectangles, losanges, trapèzes. Ces quadiilalfercs Jouissent de propriétés que connaissaient ^
sans doute déjà les Pythagoriciens. /""•'^^^,,,^— 7
Ainsi, daus le parallélogramme AB, CD ^^— -""wn-^ / (fig. 97) tes côtés opposés AD et BC, AB * "^
et CD sont égaux, les angles opposés A ^"^ ^^•
et C, D ci B sont égaux. Les diagonales [droites .\C, BD joignant deux à deux les sommets opposés (')] se coupent en leurs milieux.
Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires Cune sur l'autre.
180. Géométrie dans l'espace (stéréométrie), — L'élude des figures tracées dans l'espace à trois dimensions (Jigures solides) est semblable, par son point de vue et par sa méthode, à l'étude des figures planes.
Nous avons rappelé au n° 78, les définitions et propriétés des droites et plans parallèles ou perpendiculaires : ces propriétés — nous l'avons fait observer — , encore qu'elles soient intuitives, peuvent être rigoureusement démontrées moyennant l'admission préalable d'un jietit nombre de définitions et de postulats ; c'est ainsi qu'elles se présentent au \1* livre des Eléments d'EucIïde, Mais leur vérité a évidemment été reconnue aux temps les plus
(<) Dans UQ polygone quelconque, on appelle diagonalt (du grec Si3 ^lûvio;, qui aectionnc les angleB) toute droite joignant deux Bommels non letiéi par un côté du polygone.
GEOMKTnlE QUALITATIVE DES FIGUIIBS SIMPLES igS
anciens et indépendamment de tout système de géométrie rationnelle.
On obtient d'autres propriétés — moins immédiates — des figures solides composées de droites et de plans, en suivant pas à pas les propositions de la géométrie planeetchercliantàlesadapter Jt l'espace.
Ainsi, par exemple, nous avons au n* 175 signalé certaines propriétés remarquables de la perpendiculaire et des obliques abaissées d'un point sur une droite. Ces propriétés se transportent immédiatement à l'espace lorsqu'on remplace la droite par un plan :
Si d'un point A extérieur k un plan P on abaissa la perpendiculaire AH sur un plan P {Cig. 98), on démontre :
1" Que deux obliques — telles que AB, AC — dont les pieds (sur le plan P) sont à la niâme distance du pied H de la perpendiculaire ont des longueurs égales.
a" Que réciproquement, si deux obliques / - telles que AB, AC — ont des longueurs /^'
Fig. .jl*.
égales, leurs pieds sont k la même dislance du pied de la perpendiculaire.
3° Que la perpendiculaire AH est plus courte que toutes les obliques abaissées du point A sur le plan.
Il' Que de deux obliques — telles que AB, AD — la plus courte est celle dont te pied est le plus rapproché du point H.
I^ longueur de la perpendiculaire AH abaissée du point A sur le plan P est appelée dislance du point A au plan P.
Le pied H de la perpendiculaire AH est appelé pi-ojeclion (orthogonale) du point A sur le plan P.
181. — Deux points A et A' situés sur une m6me perpendicu- ^ laire'i un plan P et équidistants de ce plan sont
Idits symétriques par rapport au plan P. — Deux . p / figures quelconques sont dites symétriques parrapr~ port au plan P si leurs points sont symétriques deux à deux.
La symétrie par l'apport k un point se définit dans l'espace comme dans le plan.
Dounoiti. — Lc> PrÎDcipa de l'Anal jee malbémii tiqua. 1 î
I^i LES FKXSES
1^. — V t'étode de» fi^nres planes liinitéea jmu tlea se^meotr
de droites (ou poly(jûiiex) correspond l'élude des figures solides iirmiée» par des faces planes (ou polyèdres, cf. 3S). Nova arons déjà défini an S 3 les f^D» simple» de ces corps. No*» en ûjp™*^ rons tout à l'bettre quc^ues intrcs ; kmis wh» allons, auparavant, fixer un instant notre alteation sur une ligure connexe doat les propriétés lappelleot, à un cetlaÈH point de vue tout au hmbis, celles des polygones : je «eus parler de ïeit^e pnljhdrt.
183. — On appelle mw^ie pofyèd/v ta Jiffare formée p*ir pim~ aifurs deini-droiles (trots au moina) iaaaes d'un mêmt point S et telle que trois quelconques d'entre elles ne aoîcat jamais sitoées dans un méiiM plan.
Pour achever de caractériser un aag\e ^lol^èdre, on établil entre les demi-droites qui le déKnissefil on ordre de succession. Nens numéroterons, par exemple, ces demi-droites à partir de i et ks désignons par SA,, SA^, .... SA.. Gela fait, noms appellerons /<ace du poly^re chacun des angles (angles ordinaires ou angleM ptaiti)
A.SAi. AaSA,. A,SAi A„-,SA„, A„SA,.
Les angles dièdres fermés par tes plans de ces bces sont les ^ dihlres de l'angle pofyèdre. Les demi-droiteB elles-
mêmes seront appelées arêtes, le point S semmel de l'angle polyèdre. — Un angle polyèdre a anlant de faces et de dièdres que d'arêtes (').
En particulier un aiigU trièdre os trièdre est l« ligure formée par trois demi-droites SA, SB, SC (fig. loo) non situées dans on même plan. La figure a 3 faces et 3 dièdres (ce sont les éléments du trièdre).
184. — La considération des trîèdres fowrnit l'exemple le plus simple d'une particularité caractéristique (') des figures de l'espace qui ne se rencontrait pas en géométrie plane : c'est que deux
Cj L'angle polyèdre sera, dît régulier s'il a toutes n> iacei égales et toua se* dièdres égaux (csnkparec la délinitRia des polygones règulien).
(') Nous y reviendrons avec plus de détail au Deuxiime Lii>., chap. iv, lorsque nous étudierons la théorie des <' diptactmerOs t des figures ira corps solides.
