GÉOMÉTRIE QUALITATIVE DES FIGLREB SIMPLES I

Uîidrei pravwtt avoir leurs six éléiDeats cottespoiulante égaa. chacun ù cliacun sans être cependant congruents (supsrposable») [on a vti qu'au contraire deux triangles qui ont leur six éléments égaux sont nécessairement siiperposables].

Il y a là un fait qu'il est essentiel d'étudier si l'on veut approfondir l'étude de la congruence on égalité géométrique.

Considérons par exemple le triédre SABC [dont les faces seront supposées inégales] (fig. lot) et la trièdre SA'B'C obtenu en menant les 3 prolongements S\', SB', se des trois demidroites SA, SB, se. Les faces du second trièdre sont égales chacune à chacune aux faces du premier, car les angles ASB et A'SB', ASC et .A'SC, BSC et B'SC sont éganx deux h deux comme opposés par le p.

sommet. D'ailleurs les 'li'idres des deux

Iricdres dont les arêtes sont en prolongement l'une de Tautre sont évidemment égaux : car les dièdres d'arête S.A et SA', par exemple, peuvent être considérés comme deux dièdres d'arête .\A' opposés par l'aréle (n" 59). — Et cependant, malgré l'égalité de leurs éléments, les deux trièdres ne sont pas supcrposables. On constate eu effet que si, d'une manière quelconque, on place la face A'SB' sur la lace ASB, l'arête SC ne peut pas coïncider avec SC. Ainsi, dans les trièdres représentés par la figure loi, les arêtes SA, SA', SB, SB', sont supposées être dans le plan de la ligure (tableau ou feuille de papier), l'arête SC est supposée être au-dessus ('), tandis que l'arête SC est au-dessous. Imaginons que fichant une épingle en S, perpendiculairement au plan du tableau, nous fassions pivoter le trièdre SA'B'C autour de cette épingle, sans que l'angle A'SB' quitte le plan du tableau. Nous pouiroos ainsi amener l'angle A'SB' k coïncider avec .ASB; mais alors SC qui reste toujours au-dessous du plan du tableau ne coïncidera pas avec SC-

Les lieux Irihlivs SABC, SA'B'C qui ont leurs éléments étjaux

|<) Le plan de la fifun (que neua appelMii pian du (aU«au pour éviter les confusioDS auxquelles peut donner lieu l'emploi du mot i figure ■) ciaut supposé horizoalaL

ig6 LES FIGURES

chacun à chacun et ne soiil pas superimsabtes sont dits irihlres symétriques.

186. — Ces remarques faites, «énonçons quelques propriétés des trièdres qui sont démontrées dons les traites de géométiie :

Dans un Iribdre une face quelconque est moindre que la somme ries deux autres.

Si dans un Irièdre deux angles dièdres sont égaux, les faces iipiiosées sont égales : à des dièdres inégaux sont opposées des faces inégales ; la plus grande face est opposée au plus grand dièdre.

\\ix cas d'égalité des triangles correspond l'énoncé des conditions suflîsantes sous lesquelles deux trièdres ont leurs six éléments égaux chacun à chacun, c'est-à-dire sont égaux ou symétriques.

Deux trièdres sont égaux ou symétriques : lorsfjuils ont une face égale adjacente (attenante) à deux dilldres égaux chacun à chacun ;

ou, lorsqu'ils ont un dièdre égalcompris entre deux faces égales chacune à chacune ;

ou, lorsqu'ils ont leurs trois faces égales chacune à chacune.

186. Cercle. — Le cercle et ta sphère sont les Ggures de prédilection des géomètres grecs : par leurs propriétés merveilleuses, en effet, ces figures sont belles entre toutes comme le nombre dix est beau entre tous les nombres. Ce sont elles, d'autre part, que l'on est conduit à étudier lorsque l'on considère le mouvement des astres ou que l'on cherche à pénétrer le secret de l'harmonie des mondes.

Les propriétés du cercle qui furent connues les premières sont celles qui se rapportent aii:t arcs, aux cordes, aux tangentes, aux angles at polygones inscrits ou ciixonscrils.

Un arc est une portion de la circonférence (') limitée par deux points appelés extrémités de l'arc. Une corde est le segment de . droite qui joint les deux extrémités d'un arc .- la corde sous-lend l'arc : d'où le nom d'uizoxilioiua (^sabslensa) que lui donnaient les Crées.

Toute coi-de sous-tend deux arcs formant à eux deux la circonférence tout entière. Un diamètre, en particulier (iWr n" 64), est

(') Voir lea d^finiliong données au n" 64, p. 77, note i.

GÉOMÉTRIE QUALITATIVE DBS FIGL'HES SIMPLES 197

une corde qui passe par le centre et sous-tend deux arcs égaux k la moitié de la circonférence.

Deux cercles sont égaux (su{>erposablcs) lorsqu'ils ont des diamètres ou des rayons égaux.

Dans un cercle (ou dans deux cercles égaux) des arcs égaux (superposa blés) sont sous-tendus par des cordes égale» et réciproquement {exemple : g

les arcs et cordes AB et CD sur la ligure 10a).

La perpendiculaire OP abaissée du centre du cercle sur une corde quelconque AB coupe celte corde en son milieu (c'est la hauteur du triangle isoscële OAB). pig. loi.

i87. &agl«s au centre, angles Inscrits. — On appelle aii'jle au centre un angle qui a pour sommet le centre du cercle (tel l'angle AOB sur la figure 102). Si les arcs compris entre les côtés de deux angles au centre sont égaux, les deux angles sont égaux et réciproquement. C'est en raison de cette propriété que nous avons pu considérer les mesures d'angles comme tenant lieu de mesures d'arcs (n° i03).

On appelle angle inscrit l'angle formé par deux cordes qui se coupent sur la circonférence (tel l'angle BAC sur la figure io3). L'angle inscrit BAC est la moitié de ranifie au centre BOC fui comprend entre ses côtés te même arc BC (en effet l'angle au centre BOC, somme (') des angles exiérieurs (170) des triangles isoscèles OAB, OAC, égale deux fois l'angle OAB, plus deux fois l'angle Pic to3 OAC). En conséquence /a mesure

de l'angle inscrit sera la moitié /"/^ tie Farc BC. Deux angles inscrits qui comprennent bk^..--^c entre leurs côtés le même arc seront égaux. V J L'angle BA'C (fig. io3) qui comprend entre ses côtés l'arc BAC est mpplémcnlnirc de l'angle BAC. "^'^ '"''' L angle inscrit qui comprend entre ses cùlés une demi-circon-

(') Au sem du !)<■ 5.^.