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férence [«'est-Ji-diTC dont les cdtés cou|)ent le cercle t exlrémités d'un cliamctrej est un ani/le ilroU (flg. lo'i)-
On démontre qu'un angic tel que BAC (fig. io5), qaî a son sommet àl'intérîeur de la circonfiéreace, est %al à la Bomme de deux angles iBscrits comprenant entre leurs côtés les aicsBC et B'C' respectivement (il a )>our mesure la demi-soiuaie de ces arcs).
Ld angle tel que l'EG {lig. loô;, qui a son sommet à l'extérieur de la circonférence «et égal à la diflerence de deux arcs inscrils compi'enanl entre leurs cùtéfi les arcs F(î et F'G' respectivement.
189. Tangentea. — Lne droite est dite Imigenle à un cercle si. indcfiniment prokmgée dans les deux suis, elle louche le cercle en un point et un seul (point de contact de la tangente).
Par im point donné d'un cu'cle on ne peut mener qu'une tangente à ce cercle. On démontre y«e la laiigenfe qui touche le cercle de cenli'e O en lui point A (fig. io6) etl perpentlicuiairc un rayon 0\ qui aboalil en ce pninl.
O'uo point li cxh'n'ear au cercle on peut mener deux tangentes au cercle (liC et hl) sur la fig. 106) : /« seifmenfs de ces l'iiiyentes comf)r!s entre le point B el let points de ronlacl C et O sont deux tegmentx é'jniix (').
Par un point situé k l'iutéiieur du cercle db ne peut faire passer aucune tangente.
Toute droite qui rencontre un cercle sans lui élrc tangente est une sérnnie par rapport à ce cercle ; elle le coupe néoessairemeot en deux points.
190. Polygones inscrits ou circonscrits. — In polygone est (I inscrit n dans un cercle lorsque tous ses sommets sont sur la
( ' I On démontre que la corda CD qui joint les points de contact est perpendiculaire à la droite BO.
CÉDMÉTniE QUALITAtlVE DES FIGLRES SIMPLES I99
circonféKDce ; il «at u ànxutxrU » au oercfe l(>rs<}ue tous ses côtés lui sont tangents. Nous avons àijk eu l'occBsion de comitiérer de tels polygones lorsque nous «vous cberdié k déTiair la loMgoeur Ju cercle par rapi>ort au rayon (n' fi5). Sw la fîg. loS (c/r/e tofra) le quadrilatère ABA'C est inscrit dans un ceo^le : il résulte, dès lors, des propositions éaoïio^ plus hanl que ilans an qttadrilal^re ifueril les an<jles opposés, tek que A et A' tant mpplémenlairet. Nous voyons par là que lotit quadrilatère n'est pas Bssceplâile d'être inacrit dans un oercle.
Au contuîre, un trîan^ quelconque peat être inscrit daas un cercle (appelé oercle circonscrit «u ttûngle) «t cïrcooscrit â un Botre oercle (app^ cerck intcrit dans le triangle). Le cercle circontcril au triangle ABC (6g. 107^ a pour centre le point de ren-
contre O des perpendiculaires élevées aux milieux des côtés (voir n° 177) ; en effet les droites OA. OB, OC sont égales, deux i deui, comme obliques dont les pieds sont également distants des pieds des perpendiculaires abaissée de 0 sur les trois côtés AB, BC, CA. Le cercle inscrit (fig. 108) a pour centre le point de reiuxm^'O' des bissectrices du triangle; en effet (n°17B) les distances OU. O'N, O'P de ce point aux trots côtés du triangle sont deux k deux égales; donc les trois points M, S, P sont sur an ménic cercle tlp centre 0' auquel les côtés du triangle (perpendiculaires sur les rayons O'M. O'.N. O'P) sont tangents.
Remarque. — Le cercle circonscrit à un triangle ABC rectangle en A (ayant son angle A droit) a pour diamètre l'hypoténuse BC. Dn effet l'angle inscrit BAC a pour mesure la moitié de la circonférence ; donc BC diMt couper la circonïérence en deux parties égales (fig. lo.'i).
lU. Cerolei tangent». — Après les questions relatives à un cercle et à ses tangentes, une série de pFtd}limes plus compliqués
Fig. I
se posent où l'on considère plusieurs cercles simiiltanéEncnl, et en particulier des cercles tangents entre eux.
Deux cercles qui se rencontrent se coupent en (jt'néral en deux points ('). S'ils ne se touchent qu'en un seul point, V, ils sont dits taïujents en ce point (fig. 109) : on démontre qu'ils ont alors la même tangente T'AT au point A (celle droite est pcrpendiciilnire sur la 11 ligne des centres n qui joint les centres des deui cercles). Les problèmes relatifs aux cercles tangents Turent l'objet de nombreux travaux dans l'antiquité et aux temps , — - modernes. Apollonius de Perge étudia ces pro-
{ Q„ g!\ blêmes dans un traité, aujourd'lmi perdu, le ^-.^y^j^ riEpi Émoiuï {Des contacts). Vièle les reprit au XVI* siècle dans un traité qu'il intitula Apollonius Gallus (') : il résolut en particulier le problème suivant : Trois cercles étant donnés, trouver le centre et le rayon d'un quatrième cercle qui leur soit tangent à tous trois. Descartes, Fermât {'), Pascal traitèrent des problèmes analogues relatifs à des cercles et aussi à des sphères tangentes entre elles 'se touchant en un seul ^toint).
192. Oéomëtris sphârique. — La ^'éométrie de la sphère a été cultivée de tous temps par les astronomes. Les Alexandrins en firent une étude approfondie {') : les progrès des méthodes trigonométriques instituées par les Arabes lui donnèrent une impulsion nouvelle.
L'élude des figures sphéri/jaes en particidier, — ou ligures formées de courbes tracées sur la surface d'une même sphère —
(■} On constate facilement qi et il lutfit que la diatanca de It supérieure à la diflérencc de le
l') Apolloniut Gallus, geomttria. Optra, p. 3^6.
(•) Fermât résolut en particulier le problèi proposé par Descartes : Déterminer la sphëi sphères données.
(') La géométrie sphériquo des Alexandrins nous ticulier par l'ouvrage de MÉ^ÉLAS (en latin ; SpAoer J -C.) dont nous avons des traductions hébraïques la Grande Syntaxe (Mi-j'iXT, aJvra^i:} de Ftolémée Nous trouvons àé\k les ori^nes de la théorie dans LYCVs. conlemporain d'Euclide.
ApaUonii Pergaei
ivant qui lui avait été i est tangente à quatre
U9 est connue en par- , 1" siècle après : arabes, et par
