GÉOMÉTKIE QUALITATIVE DES FIGURES SIMPLES 20I
€Bt remarquable par l'analogie qu'elle présente avec la géomélric des figures planes.
Reporlons-nous à la définition des grands cercles donnée nu n' 87. Nous voyons que /«»■ ileux points A el M d'une splière donnée il passe an tjrand cercle, et il n'en ptisse qu'un seul, sauf si les deux points \ el H sont les cxlrémit^s itun même diamètre ('). — En effet, par deux points A et IJ et le centre O de la sphère passe un plan qui est unique à moins que les trois points AOB ne soient sur une même droite; ce plan coupe la sphère suivant un grand cercle qui passe par A et B (fig. i lo }.
Il résulte de là que trois points A, U, C situés sur la surface (l'une même sphère peuvent être joints deux à deux par Crois arcs de grands cercles dont chacim est moindre qu'une demi- circonférence (exemple : la fig. m). La figure formée par ces trois arcs est appelée trianijle sphériqae; les points A, B,G sont les sommets do ce triangle, tes trois arcs en sont les ci'iIl's; l'angle formé par les deux droites respectivement tangentes en A aux arcs de cercles AB et AC est appelé angle du triangle spliérique au sommet A.
Les triangles sphériques jouent sur la surface d'une sphère le rAle que jouent dans un plan les triangles ordinaires, et possèdent des propriétés analogues.
De la définition du triangle spliérique on passe immédiatement & la définition d'un polygone sphilrlque ajant un nomhre quelconque de sommets et de côtés.
193. PolyidreB réguliers. — Nous avons défini au n° 87 les polyèdres inscrits dans une sphère ou circonscrits è une splÙTC.
(I) En es eu le* points A et B sont dits diamétralement opposés.
303 LES t'ieUDKS
Parmi ces solides, les plus remarquables bchk les fioiyHi-c$ réijHliers, dont toutes les faces sont dps polygones régaliers, «tdont tous les angles polyèdres sont réguliers (p. i^i, note i ) et é^ux entre eux. L'étude des polyèdres ré^iliers — objet -da Livre \UI Af!& Eli'meiitsii'EncVtdfi — était saasdoutelecouronDeinentdeUgèomélrie pjthagoricienne et platonicienne, o Ei>clide, dUPro>ciiisi('), était platonicien d'opinion; aussi s'esl-ïl proposé oomme but £b«1 de ses Eléments la construction des figiires appelée* pialcœiaennes «.
Les polyèdres réguliers sont nu nombre de cdnq : le ciiiie, le télrahàre, l'oclnèdre, ]rnlodécaètlre, VicnsaHre. Ils sont ainsi définis par Euclide {') au début du Livre \I des Eléments (déf. afv^y) :
Un cube est un solide compris entre six carrés égaux.
Un tétrai'dre rcgnlier (TupiéSpov) est une figure solide comprise sous quatre triangles égaux et équilatéraux (178).
Un oclatidre régulier (Oxtisopov) est une figure solide comprise BOUS huit triangles égaux et équilatéraux.
Un dodécaèdre (^) régulier (ô(uô=iciESp',v) e>t une figure solide comprise sous douze pentagones é^-aux équilatéraux (à côtés égaux) et équîangles.
Un icosaèdic régulier {ilMai^Zf-m] est une figure solide comprise sous vingt triangles égaux cl équilatéraux.
