Les opérations fondamentales

4. — On dit qu'on effectue une opération lorsque, suivant une règle déterminée, on déduit de plusieurs nombres donnés un nombre ou un système de nombres appelé reniflai de l'opéraûon. Effectuer une opération, c'est calculer.

Toute opération se traduit par une éjalilé : on écrit que le résultat de l'opération (indiquée au moyen d'un symbolisme convenu) égaU (=), c'est à-dire : a pour valeur, tel ou tel nombre déterminé.

Comme les Grecs et, plus tard, les Hindous (*), nous distin-

(') Vide inira, n" 'J7, aS.

(*) Vide inIra, % 4, paaiim.

C) Par l'interntédiairc du mondi' arabe, les HÏDdoua ont exercé lur notre ariUimélique uno inRueace d'autant plua grande que nous teur avons emprunté, ou à peu pr£i, leur système de numération (numération de position, voir l'n/ra, u° 4'2]- Les Irais grands noms de l'arilhmétiquo hindoue sont ceux d'AnvABiiATA (né en 47'' ap. J.-C.J, Bbauma- GOUPTA (ué en âgS), Bhaskara (ne en iii4|- Parmi les savants arabes <]ui initièrent l'Occident à la science hindoue, le ptincipal est Mo- BAHMED-lBn-MousA-AL-KuwAnizMi qul vécut à Bo^ad et à Damai dan* la première moitié du ix* siècle. Ce savant connu surtout par son algèbre (vide in/ra, a" 367). est l'auteur d'un traité d'arithmétique dont une version latine {Algùritlimi de numéro inderum) a été publiée par BoNCOHPAGM [Tratlafi d'arilhmelica, Rome, tSb-;; le mot Algçriihmi esl une déformation du nom d'At-Khouarizmi).

LES OPÉRilTIOna FOTIDA MENTALES y

gaoTM six opérations fondainenlalfts : l'addition, la souBtraclion, la multiplication, la division, l'élévation aux puissances, l'extraction des racines. Ces opérations peuvent être effectuées indifTéremment sur des nombres cardinaux quelconques. [Un calcul doni le mécanisme vuiicraïl avec le choix particulier des nombres sur lesquels on opère ne pourrait être qualifié d'opération aritlimélique] .

Les opérations fondamentales sont devenues si familières k l'humanité que l'écolier le plus ignorant de la science des nombres est rompu k leur praUque. Il nous suffira donc de rappeler brièvement en quoi elles consistent (').

Etant donné, d'ailleurs, que les règles des opérations ne dépendent pas de la valeur des nombres sur lesquels elles portent, nous pourrons, dans l'énoncé de ces règles, désigner les nombres par des signes convenus, par exemple par les lettres de l'alphabet. Il sera entendu qu'une opération définie pour (es nombres a, b, c,.., est une opération qui conserve un sens lorsqu'on remplace les signes a, b, c,... par des nombres arbitrairement choisis.

6. Addition. — Additionner deux nombres cardinaux a et b, c'est trouver un nombre a qui soit égal à la réunion, ou à la somme, de a et do b. On exprime cette délînition de a en écrivant l'égalité {')

a = a-hb {» égale a plai b) ;

« et 6 sont dits terme* de la somme œ. — Additionner trois nombres a, b, e, c'est trouver un nombre j3 qui soit égal à la somme de a [somme de a et b] et de c ; on écrira donc {') :

C) La pratique des opérations a été en usage chez les plus encieDS peuples dvîliaéâ. Cf. le manuel d'AiiHBS {vidi supra p. 3, note a).

CI Dass cette égalité, a eit le premier mtmbrt, a + b «st le second membre. D'une manière générale, on appelle membre d'une égalité l'eulemble de* lignes placés soit à gauche, soit à droite du signe = (égale). Sur l'origine des signes +, — , etc., voir in/ra n" a68.

Cj Dana cette tgalili la parenthïse indique que l'addition de a et b est supposée ef/ectuie ; si, par exemple, a = 2, i = 5, c = 3, l'égalité veut dire que 2 + 5-1-3 égala par définition la somme (a H- 5) 4- ï ou 7 -I- 3.

De la même manière, on définira l'addilion d'un nombre quelconque de termes.

L'addition est dite opéralion uaiooque, parce qu'elle conduit à un résultat unique parfoîtcment déterminé (deux nombres n'ont qu'une somme).

L'addition est dite opération commulative parce qu'on obtient la même somme lorsque l'on additionne les mêmes termes en les prenant dans différents ordres : exemple : a i~ b ^ b -\- o-

L'addition est une opération associative parce qu'on ne modifie pas la valeur d'une somme lorsqu'on remplace plusieurs de ses termes par leur somme eUectuée: exemple: {a-\-b)'+-c:^a-\-(b + c) [voir p. 7, note 3].

6. Sonitraotion. — La soustraction est une opéralion inverse de l'addition. Elle a pour but, étant donnés deux nombres inégaux a et 6 (j'appelle a le plus grand, b le plus petit) de trouver le nombre d qui vérifie l'égalilé a ^^ b -i- d. On dit que d est obtenu en retranchant ou soustrayant b de a, et l'on écrit :

d = a — b {d égale a moins b).

Le nombre (/ est appelé différence des nombres a et b.

7. Multiplication. — Soient a et 6 deux nombres cardinaux. (Considérons la somme obtenue en additionnant b termes égaux à a, et soit a celte somme. Nous dirons que a est le produit de a par b, et nous écrirons l'égalité :

a = a X b (' ^gale a maUii>lié par b),

ou, plus simplement (')

l'opération qui nous fournit le nombre a est appelée mullipUca' tion; le nombre a est le mulliplicande de la multiplication, le nombre 6 est le multiplicateur; le mulliplicande a et le mulUplîcateur b sont appelés, aussi, facteurs du produit a.

(') Le BÎgne . dant 1« sent de X, l'eraplois surtout lorsque les facteurs du produit sont repréientés par des lettres.

LES OPÉHATtD^S FONDAMENTALES 9

La multiplication est une opération commulalive, parce que le produit de a par b est égal au produit de b par a ; on a

Nous pourrons donc sans ambiguïté, appeler le nombic a : produit des deux nombres a et b.

Le produit de trois nombres (ou trois facteurs) a, b, c, sera, par définition, le produit du produitenectué(<){a x 6) par le nombre c On définira pareillement le produit d'un nombre quelconque de facteurs.

La multiplication est une opération unlvoque (voir plus haut ce qui concerne l'addition). C'est une opécalion associative, car on a

On pourra donc définir le produit ,3 des trois nombres a, b, c. par l'égalité sans parenllièees ;

La multiplication est une opération dîstributive, — propriété exprimée par l'égalité (')

axib + c) = (axb) + (ax '■).

S. DiTiiion. — On confond, sous le non de division, deux opérations différentes, la division exacte el la division approchée.

Division exacte, — EFTecCuer la division exacte d'un nombre a par un nombre plus petit, b, c'est trouver un nombre q qui vérifie l'égalité

Si le nombre q existe (a est alors nécessairement supérieur kb et à q), il est appelé quotient de a par b, ou rapport de a à 6 ; le nombre a est appelé dividende de la division, et le nombre b diviseur.

('] La parenthèas a toujours la mime significalion, qu'il s'agiste d'u produit ou d'une Bomme (cf. p. 7, note 3).

(') Cette égalité montre comment peuvent ilre diitribuit les terme* d produit.

LES NOMBRES

La division de a par i donne comme quotient le nombre a lui-même.

Le quotient de a par b, défini par l'égalité ^ x 6 = a, est représenté par les symboles

on écrira donc qu'il est égal h ces symboles.

La division exacte n'est pas loujoura possible (caractère qui la distingue des trois opérations précédemment définies). En d'autres termes, il n'eiiste pas toujours un quotient g qui, multiplié par un diviseur donné 6, soit égal à un dividende donné a supérieur à b. Nous exprimerons l'esistence de ^ en disant que a est âmsibte par b. Lorsque a est divisible par b, a est un multiple de b, b est un diviseur de a.

Division approchée. — Soient u et b deux nombres quelconques {a supérieur à b). EfTectuer la division approcliée de a (dicidende) par b (diviseur), c'est trouver deux nombres <j et r tels que

)■ étant inférieur à b.

Le nombre q est appelé quotient de la division, et le nombre r reste. Le quotient est le plus grand multiple da diviseur qui soit contenu dans ledividende (').

9. EléTatlon aux puiSBancea. — Lorsque les facteurs d'ua produit sont lous égaui, la multiplication s'appelle élévation à une puissance (*). Elever le nombre a à la puissance/), c'est former un produit de p facteurs dont chacun est égal i a. Le nombre a s'appelle base, le nombre p s'appelle exposant. Le résultat, que

CI Exemples : La division do 2^ par 3 donne comme quotient 8, retle o; donc 2^ eit multiple de 3, La division de ab par 3 donne comme quotient 8,

(') Puissance {polertlia) est la traduction du mot grec G^/xjit; qne les Pythagoricien* et Diopbantb employaient oxclurivement dan« le sent de : puissance deuxième.

LES OPERATIONS FOnDAIIENTALES II

l'on écrit (') a', est une puissance : c'est la paissance i^* dt a. Ainsi 8 est la puissance troisième de 3. .

La puissance seconde d'un nombre a est souvent appelée (*) : carré de a; Ia puissance troisième est souvent appelée (') : cube de a.

L'opération de l'élévation aux puissances (pour une mé/he base) jouit de propriétés dislribulives remarquables. On a

):^ x. ai = o^+i ; ^ — a'-î, si p est supérieur i q ;

-=i, sip^?.

Ainsi, pour multiplier ftine par Faulre Jeux puissances de a, on forme la puissance de a qui a pour exposant lu somme des deux exposants donnés; pour diviser fune par raaire deux puissances de a, on forme la puissance de a qui a pour exposant la différence des exposants donnés.

C'est k cause de cette règle {relative A l'addition des exposanls) que la puissance quatrième d'un nombre était appela par Oio- [rfiante d'Alexandrie (et au xvn* siècle encore) puissance carrécarrée (ou bicarrée) ; la puissance cinquième s'appelait puissance carré-cabe, et ainsi de suite (*).

L'élévation aux puissances jouît de la propriété associative :

{af)i = a>-^i = {ai)r.

(') Cett« notation [notation txponenlieXlt) pennct — eu égard aux propriités dietribatiTM et aMocîativM énoncées ci-dcasoua — d'effectuer aaiu une fonae paiiiculièrenient uniple et élégante les g«1cu1i relatih aux puisEancei. Elle fut introduite en olgébre par Descahtes [vide Dtux. L,iv.). Cependant en la rencontre déjà dans le Triparti/ en la icience des nombre», de Nicolas Cbuqust (ijM) [^^- Mnrre. p. ibi]. Viète s'inspirant du lysUme de notation adopté par DioPHANn écrivait A quedr,, A cuft., pour A*, A'. Les Coisistes allemBudg {vide injra a' 274] employèrent également pour représenter les puiesances et les racines un ■jnléme de notations sYiéeialet qui fut tàmplifié par Stifei. (i486-i5(|7).

(') Quadratum, -[(TpiYuivoî ou 5ivi|Ai; (voir p. m, note a); cf. p. ftG,

{•) Cubiu, xi^ot.

(') A'jï3(iic ixl fi'jva(iAS'jv>;j.iv, dit Didphante, notii ku^^x-j^v (éd. Tannery, p. 8). C'est la propriété distributiva :

LES NOMBRES

Ainsi, poar élever C à la puissance y*"* il suffit de malliplier [exposant p par q.

En revanche, l'élévation Bux puissances n'est pas nne opération commutative, car (en général) av n'est pas t-gal à p',

La puissance première d'an nombre quelconque esl ce nombre lui-même. Toute puissance de l'unité est égale & l'unilé.

10. Extraction dearaolnei. — L'extraction des racines est une opération inverse de l'élévation au\ puissances. On dit que le nombre b est la racine /**""• (ou racine dîorilre p) du nombre a, si 6, élevé h la puissance p, est égal au nombre a (ainsi s est la racine troisième de S) ; et l'on écrit

hf = a, ou ^a = b.

Dans celte dernière égalité, le signe ^ s'appelle radical, a est le nombre ou la quantité soas le radical. L 'ex tract) i^^tion de« ra* cines est. comme l'élévation aux puissances, une opération univoque. La racine secondeest appelée h racine carrée », et on l'écrit d'ordinaire : ^~au lieu de {/' .La racine troisième est appelée " racine cubique ».

L'extraction (') d'une racine n'est pas toujours possible, car, si l'on se donne un nombre a et un ordre p quelconque, il n'existera pas toujours un nombre p tel que b'' = a,

11. Remarque : le nombre zéro. — Dans la suite des nombres que nous avons dérmie au § Y le premier nombre est un ('). Zéro, synonyme de rien, ne peut, logiquement parlant, passer pour un nombre, et jusqu'au ivii* siècle il ne fut point considéré comme tel. Mais, pour l'arithméticien, qu'est-ce qu'un nombre ? C'est un élément que nous combinons avec d'autres par le moyen des opérations. Il sera donc loisible de regarder zéro comme un nombre i condition d'attribuer un sens (convenu une fois pour

(') Il l'agit ici de l'extraction proprement dite ou am Nous définirons au n" 4S ce qu'il faut entendre par les approché d'une racine >.

(■) et. Êupra, p. j, note i.

PROPRIÉTÉS DE L.K Sl'lTB CB0I3SAHTE DES KOMBRES

toutes) aux opérations où entre zéro. Les conventions adoptées à cet effet sont les suivantes (zéi-o étant représenté par le signe o) :

a X o = o (a fois rien ne donne rien],

et (en vertu de la commuta ti vite)

Quant k la division par zéro, et à i'éléoalion à la paissance o, nous nous réservons de les déûnir plus loin (').

S. — Propriétés de la suite croissante des aotabres. Progressions arithmétiques et géométriques

13. — Nous avons vu (n° 2) que les nombres peuvent être disposés suivant une suite (croissante) qui contient chacun d'eux une fois et une fois seulement. Cette suite s'écrit :

elle peut être prolongée aussi longtemps qu'on veut, et elle jouit de ta propriété suivante : chaque nombre de la suite est supérieur à tous les nombres qui le précèdent et inférieur à tous les nombres qui le suivent (*).

Pour pouvoir raisonner sur la suite croissante des nombres, il faut que nous disions d'abord combien de nombres nous prenons dans cette suite; si nous ne la limitions pas, en effet, la suite serait infinie et ne se prêterait point au calcul. Nous n'envisagerons donc que ta smle limitée des n premiers nombres (n étant un nombre arbitraire, aussi grand que l'on veut) ; et, remplaçant par

('} On a remarqué que Csuquet, dans son Triparti/ (v. p. 1 1, note i) p. i65, déclare impouible l'équation qr' ^ hx^ qui est cependant satisbjte li l'on donne & 3: U valeur a : on conclut de U que Chuquet ne considérait pas o comme un nombre. La lecture de la Summa de Paciuolo (1494], qu« noua aurons souvent occasion de citer, conduit à la mémo conclusion.

(*) Sur les fuites croiaMutes de nombres, en général, voir irtfra, Sg.

lies poinla les nombres non écrîls, nous ûgurccona ainsi celte suite :

La suite des n premiers jiombrcs a éti^, dès l'antiquité, l'objet de nombreuses recherches.

Proposons-nous de calculer la fomme dn n pramion flombru somme que nous désignerons par la lettre S.

Au-dessous de la suite écrite plus haut, écrivons une seconde fuis les n premiers nombres, mais en renversant leur ordre, de façon que le nombre n se trouve aiMlessous de i . le nonibre n — ■ au-dessous de 3, n — 3 au-dessous de 3, ,.., le nombre i audessous de />. Nous obtenons le tableau :

.additionnons deux à deux les nombres superposés. Chaque couple de deux nombi-es superposés a pour somme n + i, et. comme il y a n couples, nous voyons que la somme totale des nombres qui figurent dans notre tableau est égale à rt x [n -h i\ Mais, dans le tableau, chacun des n premiers nombres se trouve deux fois. J'en conclus que la somme totale des nombres du tnbleau a pour valeur a K S et que, par conséquent :

axS^nX('H-i) ou S = "^^''^'-^tj).

13. — L'expression de la somme S va nous servir à résoudre un nouveau problème. Proposons-nous de calculer la tomme d«i 'i premiui nombret pai». Nous désignerons cette somme par le symbole (') S'.

On appelle nombres pairs les nombres qui sont divisibles par i. Nous obtiendrons ces nombres, en formant la suite croissante ;

2X1 axa 2x3...

ou a i 6 ...

qui contient manifestement tous les nombres pairs et ne contient

(>) L'accent qui suit la lettre S s'OiiOHce ; prime ; lo symbole S' le lit donc : S prime.

PROPRIÉTÉS DE LA. SLITE CROISSANTS DES NOMBRES l5

qu'une fois chacun d'eux. Pour calculer la somme S', nous n'aurons qu'à appliquer les règles de la multiplication. Les n première nombres pairs sont les nombres

a X 1. axa, ... a X n.

Leur somme S' est égale k

a X (i -H 3 H- ... + h) ou a X S,

S étant la somme calculée plus haut. >'ous avons donc l'égalité ('):

14. — Pritposons-nous maintenant de calculer la lOmme dn n pnmitrt nombret impain. Nous désignerons cette somme par le symbole (*} S",

On appelle nombres impairs les nombres qui ne sont pas divisibles par 2. Pour obtenir la suite de ces nombres, nous n'aurons évidemment qu'Ji retrancher de la suite croissante des nombres la suite croissante des nombres pairs a, àt etc.

Considérons en particulier la suite des (a X n) premiers nombres

et la suite des n premiers nombres pairs

11 est clair que lout nombre de la seconde suite ligure aussi dans la première, et que tout nombre supérieur aux nombres de la seconde suite ne se trouve pas non plus dans la première suite. J'en conclus que la seconde suite comprend loas les nombres pairs qui font partie de n X n premiers nombres ; il y en a /t ; par conséquent, la suite des 3 x n premiers nombres contient aussi n nombres qui ne sont pas pairs; ces nombres sont les /i premiers nombres impairs, dont la somme, par conséquent, égale la somme des

(') Le nombre n X (n -f i) est, d'après la terminologie pythagoricienne, un nombre hétéronaèque (cf. tupra, p. 5, note a).

(') Le double accent qoi suit la lettre S s'énonce : seconde; le symbole S' se lit donc : 5 seconde.

tES NOMBRES

(3 X n) premiers nombres moins la somme des 11 premiers nombres pairs.

Cela dil, pour avoir la somme des (2 x n] premiers nombres, nous n'avons qu'i remplacer n par 3 X /t dans l'expression de S trouvée plus haut : nous obtenons :

Retranchons la somme des r premiers nombres pairs, c'est-à-dire n X (rt 4- i) ou n' -+- n. Il reste le nombre :

qui est la valeur de la somme S'.

Ainsi, la somme des n premiers nombres impairs est ér/ale au carré du nombre n. C'est li une belle proposition qui excitait déjà l'admiration des Pythagoriciens (cf. n* 3). Ils en avaient donné la démonstration suivante :

Représentons les nombres impairs par les groupes de points : puis, juxtaposons-les conformément à la ■ * figure 1, où chaque nombre impair est

î * 3 * * r, ' séparé du suivant par une ligne coudée tracée en pointillé {'). On voit que, quel que soit le nombre des nombres impairs ainsi juxtaposés (il y en a •■•,•,•, quatre sur le schéma ci-conlre). la figurii formée à '•■•:• ■ est un carré dont le côté contient autant de ■""^" , ■ , ■

points que l'on a pris de nombres impairs. Sup- ' j

posons que l'on en prenne n; le carré com- j

prendra n lignes de n points, donc h' points en ^«- '•

tout. On en conclut que la somme des n premiers nombres impairs est bien égale à n'.

15- ProgreauOBB arithmétiqaeB. — Après la suite crois* santé des nombres, celle des nombres paii'S et celle des nombres

(') Le nombK impair ainsi disposé ctait appol£ i gnomons; c'est le nom d'un tiisttument astrouornique dont l'image du nombre impair imite la forme.