CD BD
UI>' ~ BD"' '^^ ^"' '''**''*^ 1" ^** tOTiiMB do notre déSnitMii, !«• points
B et C sont con/uguéi Itarmomqut» par rapport atuc points D et D'. Il est facile de vérifier que la longueur BC est au eeni pythagoricien du mot (n" 3o) moyenne harmonique entre lea longueurs BD' et BD. Je dis que les troit longueurs BD' BD, BC satisfont à la relation
bD ■•" bO' ~ se
par laquelle on peut définir la moyenne harmonique [voirp. 34, note 3). En . . DB DB , ,, . BD BD' „ , ,
effet la proportion ^ = g.^. peut s *onnEC---WD'=Wïy^^^^^- ^*''"* le produit des moyens au produit des extrêmes, il vient BD . (BD'— BCj ^ BD' . (BC — BDi, ou BD.BD' — BD.BC = BD .BC — BD'.BD. Ajoutant BD3C + BD'.BD k chaque membre (ce qui ne détruit pas l'égaliU). j'ai
iBD . BD' =» BD- . BC -I- BD . BC; divisant les deux membres par lamÊme quantité BD.BD'. BC, j'obtiens
iBD BD' BD' . BC , BD . BC
BirTBÎTTBC - bb . bb' . BC + tiù~. BCBC
d'où on tire, en simplifiant les fractions, la relation écrite ci-dessus. La qualification ittarmoniquet est empruntée au langage musieal. Si la
GÉOMÈXUX METRIQUE a I 1
304. — Je dis que U circonféreoce décrite eor DD' comme diamètre jouit de cette propriété remarquable que le rapport des dislances de tun quelconque de ses points aux points B el C, est
égal aux rapports ^^t KTf: : d'où résulte que ce rapport est le même nombre pour tous les points de la circonférence.
En effet (fig. 119) le triangle ADD' est rectangle puisque les deux bissectrices de l'angle BAC sont rectangulaires (p. 66, note a). Donc (187) le point A est sur la circonférence de diamètre DD'. Réciproquement si nous joignons un point M — pris au hasard sur la circonférence — aux points D et D', nous d^montroas qae les droites MD, MD' sont respectivement bissectiice et lûssectrice extérieure du triangle MBC.
P»g. t.g»l. Fig. .>«.
Il résulte également, du théorème du n" 202, que ai l'on conûdère deux drintes indéCnimeat prolongées x'\x, yXy et les deux biswcbioes z'Ju, u'Au des angles qu'elles forment, une droite quelconque {A) les renccmtie en quatre points quî forment une dirision harmonique. — Ondit que les quatre droites s'Ax, y'Ky. £Kz, u'Au forment un faisceau harmonique ('). Dans ce faisceau Les deux droites £\z, u'Au sont rectangulaires (forment un angle droit). On démontre (') plus généralement que si quatre droites {non rectangulaires), concoaranl en un point \, forment une division harmonique sur une droite (BD') les coupant, elles forment des divisions harmoniques sur toutes les autres droites qui les coapent (exemple : la droite B,D,C,D', sur la figure 120). En ce
tomq«« «flt dtmaée p>r une eorde àa longiimir BD' et la quinte pir une eenle d« loogusor BD, la tierce icra doiukée par une oorde de longueur BC.
(*] OrdoiwaBM de droite*, dit Disahouk».
(*) La «Mmonstration r^ulte inuaJdiatenwDt du théorème de Pappus appliqué à un rapport anhannaiiiqoe éfal à i {voir fia du b<* 3io).
LBS FIGURES
cas, encore, on dit que les quatre droites issues de A forment ua faisceau harmonique.
200. Pdlss et polaires par rapport A nn osrols. — .-V la notion de division harmonique se rattachent quelques-unes des propriétés les plus belles des courbes planes.
Si — dit Apollonius (') — par le point de concours de deux tangentes à un cercle on tire une droite qui rencontre la courbe en deux points, et la corde qui joint les points de contact des deux tangentes en un troisième point, ce troisième point et le point de concours des deux tangentes seront conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers.
En d'autres termes (fig. 121) menons par un point extérieur h un cercle de centre 0 les deux tangentes PM, PN à ce cercle et une sécante arbitraive telle que PD qui coupe la cit-confércoce aux points C et D et la droite M^ au point Q. D'après le théorème d'Apollonius, les points P et Q sont conjugués harmoniques par rapport aux points C et D, quelle que soit la sécante considérée.
206. — Nous nous dispenserons de donner la démonstraUon de ce théorème qui sera établi plus loin par l'algèbre. ConlentonsnouE d'en généraliser l'énoncé et d'en indiquer quelques conséquences, qui furent le point de départ de la c théorie des polaires 11 {■). Cette féconde tliéorie, l'une des plus importantes de la géométrie, eut pour principal initiateur le malhématicien parisien Philippe Dr ta llire {^).
[') Apollonius (m» siècle av. J.-C.j, Kiuv.jti. livr. III, prop. 37 sui»., cd. lleibcrg, p. io3 sqq. Apollonius démontre en réalité son théorème non leulemciit pour le cercle, mais pour une section conique (voir S 5) quelconque. — Cf. Heatu. ApoUoniua 0/ Perga. p. loG suit.
(*) Le* propositions qui font l'objet de cette théorie valent pour une
section conique quelcc Deux. Livr., chap. iv,
(^) Scctiones conicae, ii mier livre, Ad secliones ci division hannouique et de
; (cf. note 1]. Noua y reviendrons dans notro
novem Ubrot distribulae. Paris, 168R. Le prenioaa lemniaticus, contient la théorie de la polaires relatives au cercle.
GÉOMÉTRIE MÉTttIQLB
Remarquons d'abord que lorsque la sécante issue de P passe par le cenlie 0 et occupe la position PAB, elle est perpendiculaii'e sur la droite MN. ^ous pouvons alors donner du théorème d'Apollonius l'énoncé suivant, qui est valable {'), non seulement quand le point P est extérieur au cercle (cas de la fig. 131) mais aussi quand il est silué à tintériear (cas de la fig. 122) :
Appelons AB le diamètre du cercle qui passe par le point donné P, R le conjugué harmonique ^
du point P par rapport aux points A et li, TT' la droite (indéfiniment prolongée) qui est menée par le point R perpendiculairement au diamètre AB (ou i son prolongement). Menons d'autre part, par le point P, une sécante art(/;-af>c ; appelons C et D ses points de rencontre avec la circonférence, Q le point où elle coupe
TT' : les points P e/ Q sont toujours conjaijués harmoniques par rapport aux points C cl D.
D'^rès une terminologie introduite au début du xix* siècle la droite TT' est dite « polaire n du point P ; le point P est dit «pâlen de la droite TT.
Pour obtenir le pôle, quand la droite TT' est donnée, il suffit de mener par le centre du cercle la perpendiculaire ABH sur TT' et de déterminer le point P de cette droite qui est conjugué harmonique de R par rapport à .\. et à B.
207. — Je disque lepôie de toute droite passant par un pointP est sarlapolaireTT de ce point. Soit, en effet, LL' une droite quelconque menée par le point P (fig. i23) [la démonstration est la même si le point P est hors du cercle] et soit Q' le pôle de LL'. D'après ce qui précède, le point Q' est le conjugué harmonique du point P par rapport aux points C et D où la droite PQ' coupe le cercle. — D'autre part, le point de rencontre Q de la polaire TT' du point P avec la droite PQ' est aussi le point conjugué harmonique du
i*) Ceci résulte do la démonstration du théorème (vide injra. Deux, liv..
3l4 LES FIOUKEE
point P par rapport à C et D ; donc les points Q et Q' coïncident.
Par ctHiB^uent, le pâle de LL' est biea sur la polaire Tl" de P.
On dteontre de mâme que, réciproquement, la polaire de loul {toini iU la droite TT' passe par le pâle P de celte droite.
Il résulte de ce» remarques que si 3, U ou 5 , efc. points sont sar une mime droite, leurs ftotairea concoareni {se rencontrent) en un même point (qui est la polaire de la droite) ; cl réciproquement.
208. — La proposition suivante, définit un procédé graphique simple (exigeant seulement l'eioploi d'une règle) qui fournit la polaire d'un point donné quelconque.
Si(') par un point P o« mine à un cercle deux sécantes f/uelco/t^u«,PCD,PC'D' qui coupent le cercle aux points G et D, C' et D', le poiiil de concours W des divi/es CD', DC et le }ioint de concours N des deux droites ce, DD' sont tous deux sur ta polaire du point P par rapport aa cercle, (la figure 124 est faite dans l'hypollièse où le point P est à l'extérieur du cercle).
309. Relations antre segments déterminés par des droites qui se <»>upent. — Les propriétés si simples et remarquables des pôles et polaires devaient inciter les géomètres k étudier, dans
(>) En effet, soit Q le conjugué harmouique de P par rapport aux pointa C «t D, Q' le conjugué da P par rapport aux pointa C'D'. Joignons P et Q à T^ ; lei quatre draitet NC, ND, NP, NQ forment un faisceau harmoniqne <lin du vf 3o4) ; dono elles foiment une division harmonique sur la droite PC' D'; donc NQ passe par le conjugé harmonique Q' de P par rapport a C et D'. On démontre do même que la droite MQ pasae par Q'. Donc les quatre point* M, Q. N, Q' sont bien sur une même ligne
GÉOMfiraiE MÉTKIQUE 3l!>
des cas nooTMai, les reUticfts mménqoes que l'on peut établir entre les segments déterminés par ane droite ou sécante qui coupe une figure simple.
Considérons, par exemple, nn triangle ABC et vne droite (que l'on appd)«ra Irartsi-ertale) qui coupe les trois câtés du triaaglc aux trois points a, 6, c (fig. 1 25), Le géomètre et astronome ateiandrin Chaile Ptolimée {a* siècle ap. J.-C.) établit (') la relation remarquable à laquelle satisfont les six segments aB, aC, b\, bC, cS, eh déterminés par la Irensversalc sur les côtés du triangle. On a
ûB bC cA. aC ■ U • cU~ '■
Pour démontrer ce théorème, menons par A, B, C trois parallèles à uoe même direction quelconque, et appelons a. (i, y leurs points de rencontre avec la transversale. La similitude des triangles aBj3 et aC-/, bka et ACy. cka et chfi (voir théorème de Thalèa, a° 90) donne :
aB^B> oG Gï '
eB ~ B?"
Multipliant ces trois égalités membre i meml»v, j'obtiens :
aB 6C c\ Bfi ■ &f . A» se ' 6A * eB ~ Cy . Aa . B"^ ~ '*
La réciproque du théorème de Ptolémée (savoir que si a, b, c sont, sur les trn'ix côlés 'l'wi triangle, trois points tels que :
aii 6C <;A
C) La propoiition énoncée par Ptolémée figure d'ailleufB eKpIicilc- Toeat dans les Sphxrîca (III, i] de Menelas (voir êupra p. 3ou, note 4} qui sont du i" ilicle. Nous considéronB ici tous les segments comme des longueurs (nombres posilils). La géométrie moderne aSecte ces longueurs dei signes -f" ou— - coufonoément à certaines conventions dont nous ne occuperons pas.
CCS li-ois points sont en ligne droite) est appelée théorème de Menelas (ou Menetaus) [voir la note p. 3i5].
210. — Dans les Collections matkématit/ues (') de Pappus d'Alexandrie (iv' siècle), nous trouvons une proposition dont l'importance a été soulignée par Cliasles (') : Quand quatre droites diin [dan sont issues trun même point, elles forment sur une droite transversale menée arbitrairement dans leur plan, quatre segments qui ont entre eux an certain rapport constant.
Ainsi, soient A, 13, C, D bs points où quatre droites sont rencoQtrtSesparunc transversale quelconque (fig. 156), et AC, AD, BC, BD les quatre segments qu'ils déterminent : le rapport
r"B ' Dïï "'"''' '° même valeur quelle que soîl la transversale ('),
{') En grec : Suv^y^'ï'^-
(') Chables, Aperçu historique, etc. 'i' éd. 1H7Ô, p. 33.
I*) Considérons une seconde transversale qui coupe dos droilM en A', B', C, D'. Menons par les pointa B, B' les parallèlss Bcd, BVif k OA (Toir fig. ia6). Les triangles semblables COA, CBc et DOA, DBd donnent
CA Ofc CB ■
