OR — NS
('} Dhds cet dnoiicé noua éorivons, pour abréger, f cAté • au liau da • langueur d'iut côli ; Le même énoncé l'ap^que aux deux cAtés de l'angle dioit.
(*t Voir auMÎ PauntoM Lie., ckap. iv, g 9.
33J LES FtGUnSS
donc
eo9(a H- t) = OQ.COTo — QN.sin (I = cos t .cosa — sint .sina. La niùme méthode de démonstration permettra d'établir que quelles que soient les valeurs des abscisses curvilignes a et l> {voir 163) on a toujours la même égalité
C08 (a -t- 6) ^ coï û.coa t — sin a.sin b, les cosinus et sinus étant, dans cette égalité, positifs ou négatifs suivant les valeurs de a, h et (a -f- li). On démontrera d'une ma:iière analogue la formule (jui donne l'expression de sin (o -h b).
277. Relations entre les éléments d'un triangle quelconque. — Soit ABC un triangle non rectangle dont nous supposerons d'abord les angles \ et C aigus (') (Hg. i3i). Menons la hauteur UH. On a, dans le triangle rectangle CBH
(6) BC« = Bll' + Cil'.
Fij. i3â.
dans le tiiangle l'eclanglc ABU
BU' :^ Ali' — Ail';
d'autre part, CH est égal à la dill'crcnce des longueurs AC et AH,
et Ion a :
CIP ^ (AC — AU) X (AC — Ail) --= AC + AIP — aAC X Ail.
Nous conclurons de ces égalités que (7)BC'---AB'— AII'+AC'-i-All^— aACxAH=rAD'+AC'— aACxAll
Remarquant ensuite que. dans le triangle rectangle HAB, on a AH "^ AB.cos A, nous pouvons remplacer l'égalité par la suivante :
(8) BC = AB* -h AC — 2AB . AC . cos A.
218. — Pour parvenir à ce résultat, nous avons supposé les angles A el C aigua. — Supposons maintenant que l'un de ces angles soit obtus, et d'abord l'angle C :'la démonslratiou se fait
{') L'angle B cat supposé aigu sur la figure ili; mais la démonstration serait la même si cet angle était obtus. Un seul angle peut être obtus puisque la sommcdes angles du triangtene peut dépaaserdeux angles droits.
CÉOMKTRIE MÉTRIQUE 335
alore sur la fig^ure i35 ; nous avons, cette fois, CH = AU — AC {au lieu de CH "= AC — AH), mais nous tirons encore de là
Cil" = AC + AH* — aAC x AH, et nous obtenons comme tout à l'heure l'égalité (7) que nous pouvons transformer en l'égalité équivalente (S). Soit enGn l'angle A obtus ; la démonstration se fait alors sur la lîgurc 1 3C ; nous avons cette fois.
Cil = AH -1- lie,
Fig. IÎ5. Fig. i36.
d'où Dous tirons
CH» = (AH + AC) X (AH + AC) = AH» + AC + aAC x AH.
Portant cette valeur dans l'égalité (6) [où BH* est remplacé par AB' — All'J, nous obtenons (g) BC = AB' -f- AC^ + 3AC.AH.
D'ailleurs le triangle ABH nous donne AH = AB . cos BAH, et nous savons que le cosinus de BAH est égal au cosinus négatif (') de l'angle A du triangle ABC (angle obtus supplémentaire de BAH). Nous en concluons que l'égalité (8) a bien encore lieu.
Si au lieu de partir du côté BC du triangle ABC, nous considérons le côté AB ou le côlé AC, nous obtiendrons évidemment une égalité ou relation, semblable.
310. — /-e* trois côtés (fun tnangk quelconque sont proportionnels aax sinas des angles opposés.
Les triangles rectangles ABH, BHC nous donnent immédiatement, quel que soit celui des trois cas de figure auquel nous avons aflaire :
BH = AB . sin A et Bll = BC . sïn C
(•) Vide n» i56.
BoDTBOci. — L« Principe* da I'AuIjh malhteialiqna. i5
336 t.t» FIGURES
d'où résulte
Ali . sin A — BC . sin C ou -.^ ^ = ^.^^ J^ •
Raisonnant semblablemcnt sur la hauteur relative au sommet C. nous obtiendrons
AB ^ AC sin C sin^ ' donc {')
