L'idUice géométrique et ta démonstration

223. — Nous avons dit (166) que, pour un entendement parfait et dont la puissance de compréhension serait infinie, la science ne se déroulerait pas, comme pour nous, en une longue Gle de théorèmes. Du point de vue de la raison, à qui le lemps est indifférent, ïl n'est point vrai qu'une proposition en précède ou en justifie une autre; toutes sont également primitives et évidentes par elles-mêmes. Mais la science humaine, imparfaite [>ar nature, ne peut saisir que l'une après l'autre, et au prix de longs et laborieux détours, les propriétés des figures géométriques ; 0 on rapporte, écrit Proclas (■), que Ptolémée demanda un joar à Euclide s'il n'y avait pas pour la géométrie de route plus courte que celle des Eléments ; il eut cette réponse : Il n'y a pas en géométrie de chemin fait {tour les rois ».

Le chemin frayé par les géomètres grecs, quelque roturier qu'il soit, n'en est pas moins unedesplus belles créations de l'humanité.

Les Grecs ont eu de bonne heure le goût de la dialectique. Fortifié par les sophistes, ce goût se répandit chei^ les géomètres de l'Académie, contemporains ou continuateurs de Platon. Les diverses formes de raisonnements mathématiques furent subtilement distinguées, classées, disséquées, et d'interminables discussions s'engagèrent sur des questions de méthode ou de terminologie.

323. Théorèmes et problèmes. — « Déjà (') parmi les anciens, dit Proclus, les uns, comme Speusippe et Amphinome, proposaient de tonl appeler théorème, pensant que ce terme convient mieux que celui de problème aux sciences théorétjques ('contemplatives) et surtout traitant des choses éternelles; cai, pour de telles choses, il n'y a pas de génération ; il n'y a donc pas de place pour le problème où il s'agit d'engendrer et de faire quelque chose comme si elle n'était pas auparavant ; par exemple, construire un triangle équilatéral, décrire un carré sur une droite

(') Cf. P. Tamneby, La géométrie grecque, p. 69.

(') Vtiir P. Tanneby, toc, cit , p. rîy. Si>ei:bip»h éUit neveu de Platon, t en tout cas paa antérieur à Aristote.

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donnée... D'antres, au conirairc, comme les mathématiciens de l'école de Méneclime, étaient d'avis de tout regarder comme des prohlt'mes, tout en en distinguant deux formes : tantôt, en efiel, il s'agit de fournir {nap'.iai'ixi) quelque chose de cherché, tantôt, au contraire, prenant quelque chose de déterminé, de voir ce que c'est, ou quelle en est la nature, ou ce qui lui arrive, ou quelle est sa relation à autre chose ». La discussion se poursuit pendant des siècles. Geminus(i"siècleav.J.-C.) souLientque le théorème est plus général que le problème. Au contraire, « Carpes (') le mécanicien, dans son Trahé aslrologûjue,... dit que le genre des problèmes précède dans l'ordre celui des théorèmes, car c'est par les premiers

' que l'on trouve les sujets auxquels so nij>portcnt les propriétés a étudiée. L'énoncé du problème est simple et n'a pas besoin d'une intelligence exercée : ... consliuiie un triangle équihléral, ou bien, étant donné deux droites, retrancher de la plus grande une égale à la moindre; là, rien d'obscur, aucun besoin d'une attention minutieuse. L'énoncé du théorème est au contraire pénible; il réclame une grande exactitude et une critique savante, pour n'être ni trop étendu, ni insuffisant par rapport à la vérité ». Proclus défend, quant k lui, l'opinion de Geminus, et il conclut : c 11 est donc

• frivole d'attaquer Geminus comme ayant dit que le théorème est plus parfait que le problème: car si c'est d'après l'ordre que Carpos donne la prééminence aux problèmes, c'est d'après le degré de perfection que Geminus l'accorde aux théorèmes ».

234. — Ces discussions ne sont pas aussi oiseuses qu'elles paraissent au premier abord. Elles ont permis de dégager les caractères auxquels se reconnaît la légitimité d'une déRnilion ou la rigueur d'une démonstration, et ai l'analyse de ces caractères est superflue dans les premiers chapitres de la science, oi!i nous sommes guidés par le bon sens, il n'en est pas de même dans la suite.

Ainsi, en analysant la signification des problèmes, nous apprenons que toute définition doit être complétée par une discussion (problème) établissant Vexislence de la chose définie (voir $ S). Si, par exemple, je proposais d'appeler triangle birectangle un triangle dont deux angles sont droits, je donnerais unedéfinition purement

('} Fragment de Phoclus, apud. P. Tannerv, loe. cit., p. i j6.

l'ÉDIKICE GÉOHÉTntQlE ET L\ DÉUONSTRATIOX ^3^

verbale el sans valeur ; en effet le problème u construire un triangle dontdeux angles sont droits i> n'a pas de solution, puisque la somme des Iroii angles du triangle ne peutétre supérieure à deux droits.

Dans l'étude dos Itiéorèmes également (propositions énonçant les propriétés dont jouissent les ligures géométi'iques),les problèmes jouent souvent un rôle capital. Supposons, par exemple, que nous énoncions le théorème suivant : Tout an;/le inscrit dans un demicercle (') est an angle di-oit ; cet énoncé ne sera satisfaisant que si, d'une part, il est exact en toutes circonstances et si d'autre part, il ne contient aucune restriction superflue ('), c'est-à-dire si la condition imposée à l'angle (d'être inscrit dans un demi-cercle) est bien une condition nécessaire de sa rectitude. Or, pour s'assurer qu'il en est bien ainsi, le procédé le plus sûr sera de résoudre le problème suivant : inscrire dans un cercle de rayon donné quelconque un anffle de grandeur donnée; on constatera alors que l'arc compris entre les câtés de l'angle inscrit est inférieur, supérieur, ou égal à un demi-cercle suivant que' cet angle est lui-même inférieur, supérieur ou égal à un angle droit (cf. 187) ; et l'on conclura de là que le théorème donné plus haut est correctement énoncé.

32S. Traitement d'un problème. — Ainsi l'étude complète d'une question de géométrie sera ramenée en général k l'étude d'un problème : étant données certaines figures, construire une nouvelle figure remplissant (elles ou telles conditions déterminées. C'est ce que nous voyons nettement dans les Eléments d'Euclîde (voir supra, p. i8.^, note 2 et infra, a" 228).

Le traitement d'un problème comprend huit phases ou parties :

1° Laprolase (irpoTisi;) ou énoncé ;

3* h'ecthèse (ïnOiau;) ou répétition de l'énoncé rapporté cette fois au tracé d'un schéma dont les différentes parties (points, droites, etc.) sont en général désignées par des lettres ;

3" L'apaf/oge (àitaftuf i!), qui transforme le problème proposé en un autre problème plus simple : elle suppose, pour cela, le pro-

[*) c'est-à-dire comprenant entre ses côtés une demi-circontérGnce.

(■) Je me garderai par exemple d'énoncer comme un théorème la proposition suivante : La somme des angles d'un triangle rectangle est égale à deux angles droits. En eSct l'égalité énoncée a lieu lors même que le triangle n'est pas rectangle.

33o LES FIGURES

blèmc résolu et, en s'appnyant sur des propositions connues, elle montre que les conditions requises (pour la construction de la (ïgure inconnue) seront sûrement satisfaites si telles autres conditions (plus simples) le sont ;

4* La résolution (iviXmtc) est la confrontation (i) des conditions requises avec celles qui sont données avec tes (conditions auxquelles satisfont les données).

5* S'il y a équivalence entre ces conditions, le problème est résolu. Mais il se peut que l'équivalence ait lieu seulement lorsqu'on ajoute auic données quelques conditions restrictives suppl^entaires. Noua reviendrons donc à la protase et la compléterons par le diorisme {iia?ta\iài), énoncé des restrictions moyennant lesquelles le problème est possible ; cet énoncé formule des propriétée appartenant aux figures que l'on considère ; c'cstdoncun Ihéortme.

Ces étapes franchies, iln'yaplusmaînlenantqu'àvérifierque, par l'intermédiaire de l'apagoge, on peut elTectivement, à partir des figures données par la protase et le diorisme, construire la lîgure demandée. La vériftcalton comprend les parties suivantes :

&' La ronxiriiclion (notiaKiD^) qui complète l'eclhèse en traient, ou du moins indiquant, les diverses lignes qu'il est nécessaire de considérer pour faire la démonstration ;

7° La démonslralinn proprement dite (àmJSEtjic), qui déduit de la construction la ligure <lemandée ;

8° La conctasion (o'jjjinipioiii), qui allirroe que cette figure satisfait bien aux conditions i-equises.