Eclairons celle théorie par un exemple

Soit (protaxe) à construire un triangle isoscèle élant domines la longueur de la base et la grandeur d'un angle adjacent à la base.

11 s'agit en d'auti'es termes (eclhèse) de construire un triangle isoscèle tel que ABC. où le côté BC et l'angle B aient respectivement [tour grandeurs celles du segment B'C et de l'angle O représentés sur la figure iSj.

Apafjtxje : Si ABC est le triangle demandé, l'angle ABC est égal à l'angle \CB (puisque le triangle est isoscèle) ; donc les angles B et C sont tous deux égauxà 0, BC étant d'ailleurs égala BC.

Te! est du moins l« sens donné du mot à>â>.u>i( par lei géomûtres Platon l'entendait autrement.

l'édifice géométrique et la UÉUOiNSTHATlUN 3^1

Donc {rétolulion), et l'on peut construire un tiiangle salisfaisaDt aux conditions requises, ce triangle sera formé par une base BC et deux demi-droites BX, CY situées du niÉnie côté de BC et faisant chacune avec BC un angle égal it 0 (fig. 137).

Un tel triangle n'existe eflectivement que «i les droites BX et CY se coupent ; pour qu'd en soit ainsi il faut, manifestement, et il suQit {lUorisine, que les anyles é^aax \BC et YCB soient cùijus. -^ — Nous pouvons donc énoncer le théorème / suivant : Dans un triangle îsotcèle, les wifflcs ^ adjacents à la base sont aigus.

Cela posé, nous pouvons construire le triangle ABC. Prenons (conslruclion) un segment BC égal à B'C, et, à i>ai'tir des points B et C menons, d'un même côté de BC, des droites BX et CY faisant avec BC

dee angles égaux j> Vangle aigu 0. Ces^ droites (ilémonstraliou) se coupent, et forment |>ar conséquent, avec BC, un triangle ABC.

Ce triangle satisfait bien aux conditions requises (caiiclitsion).

227. Analyse et ^ntbèse. — l'arnii les pliases du raisonnement énumérées ci-dessus, la troisième et la quatrième ^ànsrfiuY'i et àixiL'jai;) conatitueiit l'analyse, la sixième et la septième (xaTsiiui»', et ài^âfiGi^L;) constituent la synihhe. Il se peut (jue la synllièse ne fasse que répéter l'analjse en renversant l'ordre de revpDsitlon, En ce cas on a le droit (sans diminuer en rien la rigueur de la déduction) de se borner, soit à l'analyse, soit h la syutltèse. Il se peut au contraire qu'analyse et synthèse soient toutes deux nécessaires, l'analyse donnant des solutions qui satisferaient aux conditions requises si elles exiâlaienl, mais qui peut-^lre n'existent pas, la •yntlièse, d'antre part, fournissant des solutions toujours |K>ssible*, mats ne donnant peut-dtre pas toutes celles que comporte le problème <').

Un raisonnement qui se réduit h. l'analyse ou à la ayiitlièse est

Ci On Buit, qu'en effet, un problème peut admettre plusieurs soiutioai dJQérentes. Soit par exemple à construire un triangle dont on connaît deux cfités et un angle (non compris entre ces cAtés) : nous avons vu au n** 173 qu« ce problème a t solaliant.

23a LES FIGURES

appelé raisonnement analyUifUe ou raisonnement synthétique. Le raisonnement analytique part du résultat à démontrer (c'est-ï-dire suppose le problème résolu) ; le raisonnement synthétique (qui est la démons I ration sous sa forme normale) part, au contraire, des données, pour aboutir au résultat requis.

Ainai, parmi les huit parties dont se compose un raisonnement complet, toutes ne sont pas toujours explicitement formulées. La marche du raisonnement varie suivant la nature des problèmes et des théorèmes (la démonstration d'un théorème comprenant d'ordinaire moins de parties que la solution d'un problème). D'ailleurs l'apagoge et la construction se présentent, suivant les cas. sous des aspects très diveis. D'où un grand nombre de types de déductions que le logicien s'applique à définir. C'est ainai qnc Vicie distingue entre l'analyse zélâtique qui fournit la solution d'un problème et l'analyse pon'sliqae qui fournit, non pas la solution, mais la démonstration d'une solution. Il y a lieu également de distinguer entre l'analyse diiecle et l'analyse indirecte telle qu'elle est pratiquée dans la démonstration par l'absurde : au lieu de supposer le problème résolu, imaginons au contraire que les conditions requises par l'énoncé ne soient pas remplies ; si nous déduisons de cette hypothèse (par une apagoge) des conséquences absurdes (contradictoires entre elles), nous en concluons que l'hypothèse est illégitime -et que, par conséquent, les conditions requises sont sûrement remplies.

Mais nous ne pouvons pri^tendre approfondir ici l'étude logique de la démonstration. 11 importe davantage de nous demander comment, par le moyen des démonstrations, nous pourrons dresser l'édilice de la géométrie rationnelle.

228. Les élémentB. — <i Le terme d'éléments (ttoi^ûi), dit Paul Tannery d'après Proclus, s'applique proprement k ces théorèmes qui, dans toule la géométrie, sont primordiaux et principes de conséquences, qui s'appliquent partout, et fournissent les démonstrations de relations en grand nombre ; on peut comparer leur rôle à celui des lettres (également appelées ii-o!-/eîi) dans le langage n.

De nombreux Eléments ont été composés en Grèce (ceux d'IIippocratc de Chios, aujourd'hui perdus, furent célèbres) :

■.'ÉDIFICE GÉOMÉTRIQUE ET LA DÉUONSTRATIO^ a33

cependant nous n'en connaissons point de plus anciens que ceux de l'Alexandrin Euclide.

Les Eléments d'Euclide jouent en même temps le rôle de fin et le rôle de moyen : fm, puisqu'ils sont destinés à faire connaître les théorèmes essentiels de ta géométrie; moyen, puisque les solutions toutes préparées qu'ils nous offrent sont les instnimcnts dont on a besoin pour effectuer l'apagoge (ou rjnâSti^n;) des problèmes nouveaux. Euclide adjoignit d'ailleurs aux Elémenls un second ouvrage, les Data, qui a pour objet direct de fournir des instruments a l'analyse et à la synthèse : h les proïKisitions, dit Zeuthen ('), y ont pour but de prouver que, certaines quantités ou portions d'une ligure étant données, certaines autres le sont aussi, c'est-à-dire qu'elles se déterminent à l'aide des premières ».

23d. — Comment sont composés les Eléments ? Parlant de défi' nitions et d'hypothèses, le géomètre en déduit progressivement, conformément aux règles de la logique, une série de propositions rigoureusement enchaînées les unes aux autres.

Les définitions {Sy) déterminent les concepts qui sont i la base de la science.

Les hypothèses sont (*), soit des poxlulals ou demandes (a'tiijiaT»), soit des notions communes ou axiomes {xoival tivoiat, àJiiûfjiMï); les postulats afSrment (sans démonstration) que certaines constructions (') premières sont possibles; les axiomes, que certaines propriétés essentielles appartiennent aux grandeurs ou aux figures les plus simples.

Il est clair — puisqu'aussi bien l'ordre logique n'est qu'un ordre introduit après coup (n° 166) pour exposer des vérités simultanées — que le choix des diiiinitions, postulats et axiomes reste à nqtre discrétion. Entre plusieurs constructions ou propositions qui s'impliquent mutuellement, nous avons le droit de choisir celles que nous prendrons comme point de départ et renoncerons h démontrer, et celles qu'au contraire nous considérerons comme déduites. C'est

('} Zeutsen, HUi. des math. d. fanliq., tmd. J. Mascart, pp. Sj-fiS.

(*] La distinction que les Grecs établiesaient entre les postulats et les axiomes n'a pas été maintenue par les modernes. Sur les postulats, voir infra, Deux. iiV., ch. v.

(S) Voir infra.i .'i.

33& LES FIGCBBS

pourquoi les savaDts moderiWE ont pu changer les bases de la géométrie euclidienne tout en continuant k la proadre pour un modèle. Ce qui importe, du poiat de \u« do lu logique, c'est l'enchaluranent des propositions. Or h cet égard il n'y a rien k ajouter aux rèigks posées pnc Euclide.

230. Les propositiooB (^théorèmes) sont rangées dans l'ordre suivant lequel elles se déduisent les unes des auti'es. Elles |)orten< des numéros ') afin qu'ii soit facile d'y renvoyer quand on les invoque dans la démonstration des propositions ultérieures.

Les propositions d'importance secondaire sont souvent ap|ielées 0 lemines lorsqu'elles sont destinées i faciliter la démonstralion d'un théorème à venir — coroUaires lorsqu'elles expriment des conséquences directes d'un lliéorème que l'on vient d'établir.

La démonstration des pi'opositions se fait suivant les règles que nous avons indiquées aux n°' 225-27.

231 . — Le système de géométrie que nous ont laissé les Aleiandinns a traversé vingt-deux siècles sans êtie, i»ur ainsi dire, ébranlé. Couronnement de l'œuvre minutieuse poursuivie pendaat trois cents ans par les dialecticiens grecs, il n'est pas loin d'atteindre la perfection. De la nécessité oîi est l'homme d'exposer l'une après l'autre les vérités géométriques au lieu de les embrasser toutes du même coup d'œil, il a tiré le principe d'une méthode de découverte et de déduction qui est l'une des plus précieuses possessions de l'esprit humain.

Cependant, si les v Eléments » ont conseivv moyennant quelques retouches (') toute leur valeur logique, ils ne jouent plus dans ressemble de la science mathématique le rôle unique qui parais-

(') L'usage s les noms de !eu

Desarctiei, etc.). Beaucoup de ces appellalil tables au point de vue historique et il n'y faut aumérat d'ardre.

[') Ces distinctions ont été systémaliqueniont introduites par les com-

(*) Sur le système cudidïen compare aux systèmes logiques de géométrie, récemment constitués, voir aoiTtD«ux.liv..ck. V; OBliraavecinUrêt sur ce sujet ; KLiiin, EiementarmaÛi. v. hùh. Standp. aus, H, iiKii), p. -iK, suiv.

l'édifice géojiétkique et l\ déhonsthatiu^ 235

sait jadis lui être assuré. Sans doute, le système ciiclidieD — dont la marche a été réglée sisùretneot — est susceptible d'une ex tension continue et indéûnie. Ce n'est point toutefois en le prolongeant que la science a le plus progressé ; la raison en lient à une faiblesse du système qui ne s'est fait sentir qu'à la longue, mais que nous pouvons dès maintenant apercevoir.

Nous avons dit que les EUinenU sont en même temps une lin pounuivie pour elle-même et un instrument de démonstralion . IL y a certes une grande élégance à satisfaire du même coup deuK besoins différents : mais est-on bien sûr d'y réussir ? La géométrie, en tant que fin, est l'héritière de la science pythagoricienne : elle >ole les plus belles propriétés (les plus simples, tes plus suggestives) des figures les plus parfaites. Sont~ce bien ces mêmes propriétés qui rendront le plus de services pour l'analyse et pour la synthèse ? Il serait surprenant qu'il en fi\t toujours ainsi. L'admirable unité que les Grecs avaient donnée è la science n'a donc pas pu être sauvegardée ('). Pour passer des données d'un problème à la solution il faut souvent recourir à des inlcmiédiaires qui ne sont point dignes d'occuper eux-mtïtnes une place dans l'édifice de la science : constructions artilicielles, inharmonieuses, dépareillées, qui souvent même sont choquantes pour la raison et lui paraissent absurdes «u premier abord. C'est ainsi qu'à côlé de la science contemplative, une technique a dû se développer, dont le but est strictement utilitaire et qui vise seulement à accroître, par tous les moyens possibles, la puissance de la démonstration (voir Deuxième Livre, chap. i, S l, chap. v, s /)■ A ne vouloir jamais descendre des cimes splendides qu'elle prétend explorer, la science se condamnerait elle-même à l'impuissance.

CI 11 eM k remarquer — naiu reviendrons sur ce point lonque nous étudicTons la géométrie algébrique {Deux, liv., chap. ivj — - que, quelque savamment qu'dle ait été décomposée et codiEée, la méthoile de réaolulution des pioblimes employée par les géomètres aociena est extrïmemout difficile i manier. Elle exige que l'on prenne des voies détournées où l'on ne peut s'orienter qu'à force d'ingéniosité.

- La constracUoa en géométrie railonaetle. Sections planes du c6ne.

232. Râle de le conatruotion géométiiqne. — La u construction » des ligures fut évidemment, pour les [xemieis géomètres, une opération technique qui se réglait sur des préceptes empiriques. C'est ainsi que la compi-enaient les arpenteurs de l'Orient et les Jlarpedonaples (') égyptiens en particulier ('}. Tout autre est le sens du problème de la construction dans la géométrie rationnelle des Grecs et, plus spécialement, dans la xa^zima-j^,.

La construction rationnelle a pour objet principal d'établir Vexistence théorique des figures sur lesquelles on raisonne. — Expliquons, afin d'éviter tout malentendu, ce que nous entendons au juste par là.

233. — On a vu, au S 4, que toute définition pose un problème d'existence. Il nous faut revenir un peu sur la signification et le rôle de ce problème pour ce qui a trait à la définition des figui-es.

Nous avons fait allusion à U discussion engagée par' les écoles de Platon et d"Eudo\e au sujet des tliéorèmes et des problèmes. \u fond de ce débat, c'est la nature même des vérités mathématiques qui se trouve en cause. Celles-ci ont-elles une réalité objec-

(') Tireurs au cordeau, Vîdt supra, a° hi,

(') Signalons une construction qui paratt avoir été connue dans tout l'Orient st jusqu'en Chine, et dont l'origine eet sans doute empirique bien qu'elle Boit une application du fameux Ihcorcme do Pytbagore (et. MiLHAUP, Etudes sur la pejiaàa scientifùiue, pp. 63 et suiv.). Soit à meoer au point A la perpendiculaire â la droite AX (Eg. ]3H), Sur AX je mesure une longueur AB égale è .i unités ; puis en A et B je fiche les extré-

mités d'une corde ACB longue de 8 unités sur la-

X quelle est fixée (à 1 unités de l'extrcmilé A, 5 de

p. ,u l'extrcmité Bj un piquet C. Flacons le piquet C de

manière à tendre complètement les deux portions do

Eordc AB et AC ; lorsque C est ainsi pUcé la figure ABC est un triangle,

qui est rectangle en A [d'après la réciproque du théorème de PvtbA'

soiiE, car on a HC- = AB» + AC']. Donc AC est perpendiculaire sur AB.

1^ EN GÉOMRTRIE RATIOnHELLE 337

tive avanl même d'être démonti-ées, comme le soutenaient les Platoniciens, ou n'existont-ellcs au contiaîrc qu'en vertu des déductions et des constructions des géomètres l> La question, ainsi posée, ne pouvait guère diviser Eérieusement les penseurs de la Grèce, car il n'est pas douteux que les géomètres anciens n'aient tous vu dans les notions mathématiques des entités objectives. Mais l'art du logicien consiste précisément à feindre d'ignorer ce que fort bien il sait, aûn de le retrouver par de subtiles et rigoureuses déductions. C'est ainsi que dans un système de géométrie digne de ce nom, aucune ûgure ne doit être introduite sans que son existence ait été constatée logiquement — je veuï dire sans qu'il ait été reconnu qu'aucune contradiction n'est possible entre sa définition et les autres définitions et postulats préalablement posés. Or le moyen le plus simple de vérifier ce fait consiste k construire elTectivement la figure, ou plutAt à déjinir un procédé théorique qui permetlrait de la construire si l'on savait parfaitement dessiner.

Le problème logique que nous venons de formuler se pose, remarquons le bien, au sujet des figures géométriques les plus simples. Ainsi au début du I" livre àes Eléments , Euclideallirme(') qu'il est possible de mener une ligne droite entre deux points, qu'il est possible de décrire un cercle de centre donné et de rayon donné. La possibilité de ces constructions résulte- 1- elle logiquement des définitions de la droite et du cercle ? Ou, tout au moins, peut-on prouver qu'elle n'est pas contradictoire à ces définitions? Euclide ne soulève pas cette question, qui n*a été approfondie que par les logiciens modernes. Admetton.s donc — puisqu'aussi bien nous pouvons en cela noua fier à notre intuition — que nous sachions, en toutes circonstances, tracer une droite indéfinie dont nous connaissons deux points, et une circonférence dont nous connaissons le centre et un point A (ou, ai l'on veut, le centre et le rayon). Cela revient à dire, pour ptnriec un langage matériel, que nous savons en tous cas faire usage de la règle et du compas. Pourrons -nous, cela admis, établir, par voie de démonstration logique, l'existence des diverses figures qu'étudient les géomètres ?

(') PotlulaU {a\rf,y.9-,ij i, a, 3.

338 LES FlGrfiES

234. — La méthode de démonslrakion qu'il convient de suivre ici parait tout indiquée : l'existence de la figure sera prouvée si l'on établit qu'il serait posi-IblG de k construire en effectuant une série d'opérations qui toutes sont des tracés de droites ou de cercles dont deux poinLs, ou le centre et un point, sont connus. — C'est pourquoi les traités de géométrie nous enseignent que u l'on réserve le nom de conslruclions tjéoméiriqaes aux constructions effectuées avec la règle et le compas » .

S'il fallait on croire Plutarque, cette conception (■) de la u zoastniction i> aurait déjà été expressément celle de Platon, et ce géomètre aurait (^ït grief à l'Ecole d'Eudoxe d'emplo\er, pour la résolution des problèmes, des instruments et des dispositifs mécafiiques (").

Quoi qu'il en soit, toutes les constructions planes qui sont spéciQées dans les énoncés des propositions d'Euclide ou qui interviennent dans la démonstration d« ces propositimis sont des conslruclions s'effccluant u par la droite et le cercle ». — On trouvera, dans les traités de géométrie élémentaire les r^les qui régissent ces constructions.

Soit, par ciemple, à élever une perpendlr-Ualre à une droite AB en an point \ de celte droite ('). Sur la droite AB et surson prolon-

''I CI. P. TAMNEHif, La giom. grecque, p. 7f>. Cerlains edomètrei ont checcbé à éviter lystématiquemetit l'emploi du cerde et k eQectuer toutea les construclions par la droite (par exemple BttiAncHon, Leê applicalioos de la théorie des tran»>er»aUa, Parii 1818). D'autres, au contraire, se sont proposé de construire avec le seul compas (Mascbbkoni, La geomefria detcompaiso, Pavia, 1797).

{') M. Zeuthem décrit en cea termes IHiat. d. math. d. l'antiq., p. 66) un procédé de construction mécanique qui fut peut-être regardé, aux temps anciens, comme ayant une valeur démonstrative : il s'agit de l'inUrcalation ou construction d'un segment dont les cxtrémitéB sont sur deux droites données et qui appartient à une droite passant par un point donné : <c on peut, dit M. Zeutuc», obtenir mi^caniquement ce segment BU moyen d'une règle (ou d'un morceau de papier pUé) sur laquelle on a fait préalablement deux marques à une distance égale à la louguaur du segment donné, puis en faisant tourner cette règle autour du point fixe et la déplaçant en même temps de sorte que l'une des marques suive exactement l'une des lignes données : l'on continue ce mouvement jusqu'à ce que la deuxième marque se trouve sur ta deuxième ligne i.

I-'} Dans la pratique, pour élever la perpendiculaire AD sur une droite AB, on se sert généralement d'une équerre; mais l'équerre n'est pas un instrument rigoureusement précis.

LA CO:«STBt]CTIO"( E» GÉOMÉTRIE H\TIOT>NEI,r,E aS^

gement (G^. i3g) je porte de part et d'antre de \ (avec le compas) deux longueurs égales, arbitraires AC, \C' ; du point C comme eeotre, ensuite, avec uo rayon arlntraire mais plus grand que CA décrivons un arc de cercle ; du point C comme centre, avec le même rayon, décrivons un second arc de cercle qui coupe le premier en un point D ; enfm (avec la règle) joignons les points A et D. On voit immédiatement que DA est perpendiculaire sur DB : en effet, DC' = DC ; donc le triangle DCC' est isoscèle ; donc sa B médiane DV se confond avec sa hauteur (n° 178).

Dii

23a. — Voici un antre exemple de construction.

Soit à construire la bissectrice d'un aiigle donné, AOB, point 0 comme centre, avec un rayon arbitraire, je décris un arc de cercle qui rencontre les cùlés de l'angle aux points A et R. De ces points comme centres, avec un rayon plus grand que la moitié de la corde AB, je décris des arcs &e cercle qui se coupent en D. Je joins OD. On démontre facilement que la droite OD partage l'arc AB en deux parties égales et est, en conséquence, la bisseclrit (fig. i4o).

Cette proposition prouve logiquement Vexisleitce de la droite appelée < bissectrice n que nous avons dérmie au n" 64.

336. ConstrucUon stéréomé trique. — Les constructions dont nous venons de parler appartiennent k la géométrie plane. Quelles seront dans l'espace k trois dimensions les constructions équivalentes, susceptibles de jouer le même rôle démonstratir? Ici apparaît une difficulté ; en effet, que nous opérions sur le papier, au tableau noir, ou sur le sol comme les géomètres de plein air de l'antiquité, nous ne réalisons jamais, en fait, que des lîgurcs planes : sommes-nous alors en droit d'ériger une construction purement idéale, comme l'est une construction stéréométrique, en preuve de l'existeDce de la cbosc construite ? Pour lever cette diffi-r

3JO LES l'IGURES

culte, le plus simple serait — puisqu'aussi bien tous les dessins sont des projections — de faire une élude systématique cl rigoureuse de la projection {voir 198) : on apprendrait ainsi A remplacer toute construction sléréométrique par une construction strictement équivalente effectuée dans le pian. Cependant la tliéorîc des projections n'a été faite d'une maniera complète qu'à une époque toute récente; son initiateur fut Gaspard Monge, qui créj) la Géomélrie descriptive (').

Les géomètres anciens, qui ne disposaient j)as de cet instrument, en étaient réduits k admettre a priori la Icgiinitc des constructions qui correspondent dans l'espace aux constructions planes faites par la droite et le cercle : construction d'une droite, d'un cercle, d'un plan passant par trois [K>jnts donnés, et aussi construction des corps ronds, cylindre, cône, sphère, qui sont engendrés respectivement par rotation d'un rectangle, d'un triangle,

{'■]La Géométrie detcriplive. Leçons dûnniea aux Ecoles normalea l'an JIl

de la République par Gaspard Monge, de l'Institut National, Paris, an Vif.

Le principe de la géomùtrie descriptive est le suivant ;

Appelons H et V deux plans perpendiculaires l'un sur l'autre et xjf

leur intersection indéfiniment prolongée dans les deux sens. Le plan H

sera supposé placé horizontalement et dit plan

~~^ — r^ horizontal de projection. Le plan V sera appelé

p '''"' pion vertical, la droite ry ligne da terre.

Ud point quelconque M de l'espace a une

■' [/ ~~---~.^ projection orthogonale et une seule [180) sur

y] [ ^^ —p. chacun des plans H et V {projection horiton-

^~-~^^~.^y^ I taie m et projection verticale m). Une ligne

I I quelconque de l'espace a pareillement une et

I I une seule projection horizontale, une et une

>--__ I seule projection verticale.

Supposons tracées les projections des points ^'B- ''"■ ou lignes que nous voulons étudier. Puis,

laissant lo plan horizontal fixe, faisons tourner le plan V de 90 degrés dans le sens de la flèche (Cg. i^[), autour de xy comme charnière, de manière à le rabattre sur le plan H. Après le rabattement, les projections verticales et horizontales des points et lignes que noui considérons se trouveront figurées sur le même plan (m$me feuille de papier ou même tableau). Leur ensemble constituera une figure plane, appelée ipure, dont la disposition fait connaître exactement la structure de la figurj de l'espace sur laquelle nous avons à raisonner. Toute construction relative à cette dernière figure équivaut à une construction taite sur l'épure, construction que l'on peut réaliser avec la règle et le compas. La géométrie descriptive a surtout servi les besoins des architectes et de* initénieurs. Tel était en eflet le rSIe que lui destinait Monge.

SBCTIOHS PLA;IES DU câ^E 3^1

' d'un cercle autour d'un axe {') [voir ]es déTinitions données aux n"8B, 86, 87].

337. Sections plann du oAna. — Cette manière de voir — si naturelle — a sur la géométrie plane, un contre-coup inattendu ; elle nous permet de regarder comme u construites n certaines courbes planes remarquables que nous n'aurions |>as obtenues par la droite et le cercle si nous étions restés dans Je plan. Ces courbes sont les « sections coniques ■ : elles sont défmies par l'intersection d'un plan et de la surface d'un cône ou cylindre droit; d'ailleurs, étant donnée l'une quelconque d'entre elle», on saura toujours (') construire un cône di-oil dont elle soit section plane (inlersection par un plan : d'où le nom de sec/Ion conii/ue); on pourra même toujours faire en sorte que le plan sécant soit perpendiculaire à une génératrice du cAne.

Les premiers géomètres grecs{'), et Archimède (') spécialement, n'ont étudié les sections planes du cdne que dans cette bypotbése particulière. Ils distinguaient alors trois cas suivant que l'angle ASB au sommet du cône droit est aiga, di-oil ou oblits {€tg. i^3, i44. iâ5).

Pour se représenter ces trois cas, il suffît d'imaginer que sur les figures i43-.'|5 les génératrices SA et SB soient dans le plan (le la feuille de papier et que le plan sécant soit perpendiculaire (debout) sur cette feuille, qu'il coupe suivant la droite xy, ellemême perpendiculaire à SB. Traçons alor sur nos trois flgures l'intersection (trace) du plan sécant avec le plan de la feuille de papier [droite xy perpendiculaire à SBJ et prolongeons dans le troisième cas (cas de l'angle obtus, fig. i^5)les gniéralricesdu cône au-delà

(') Les Grecs ont sans doute connu d'autres corps ronds engendré révolution autour d'un axe, le tore en particulier, corps en forme de couionue que l'on obtient en faisant tourner la surface d'un cercle autour d'un axe qui ne la coupe pas |fig. i^a). [Cf. Zeutsem, lot. cit., p. i99l-

(*) lors même qu'elle est primitivement définie comme intersection de cylindre.

(3) On attribue àHENECHME, disciple d'EuDOXE, la découverte des sections coniques (iv'siècleav. J.-C). ' '^'

(*) Archikèds, Sw les conoïdea H sphéroïdes, éd. Ifeibcrg, 1, p. afti.

DoDTioui. — Lm Priacip«> île l'Arul^rH milhiuutiqae. iG

du sommet S [aovs remarqoone en eâêt que, dans le troàstème cas, la droile j;^ ne coupe la génératrice SA quo sur ton proloagemcntSA'; les prolongements des génératrices forment un second

cdne qui est en qoelque sorte « opposé par le sommet x au premierj. Il est facile de se rendre compte que la t^clioa piajte aSeclera les formes représenlées ci-ooutre [ùg. i^& : dans le troisième cas OQ a denx branches de courbe qui sont les sac— (ioDS planes respectives des deux cônes opposés par le sommetj. \jk première courbe esl appelée elUpse ('), la seconde jtarabole; la troisième {j'enlenda : l'ensemble des deux <• branches ■> de couii» (') qui constitue la troîsièine) est appelée hypcrbuie.