Farmules homogènvti Ap^ioation A La séométri

Nous avons expliqué au n°101 en qnotconsisleriiomogéDcilé d'une relation étnblie entre grandeurs géométriqaes. Noua Mvonsd'aîlletits qu'à une (elle rcUl'run correspond toujours uns égalité numérique espi'îioanl que la mesure d'une certaine grandeur est égak à la mesure d'une aiilre gnindcurde même espèce Plusprécisémeot, si, ainsi qu'il arrive en géoniétiie. les grandeurs sont définies comme résultats d'opérations eiïectuées sur des long ueitis donnée*, et si l'on désigne jtar des lettres a, b,.. les nombres qui mesurent ces longueurs, l'éj^alilé numérique & laquelle on a aiTaire se présente sous la Tonne d'une égalité entre deux expressions algébriques contenant les lettres a, 6. r. . . Snp[>osons, en parUculîet, que ces expressions soient des polynômes en a, b, c. ..., ce qui a lieu si la relation considérée affîrme qu'une certaine somme (') de grandeurs de même espèce e«t égale h une autre somme de grandeurs ; il résulte de l'iiomogénéîté de la relation géométrique que les deu\ |)ol}iiomes doivent être tous deux homwjinei (*) et de même ileifré par rapport aux qaanlHés a. b, c.

On dit alors que la Toniinle qui exprime l'égalité des deux (m^;nomcs est nn^formiilf homoifine.

Remanjue. — Les relations géoméd'iqiies se tradiiiseot. disoo»nous, par des formules lioinogènes. Il en est ainsi du moins h txmdîtionque tes mesures de ton tes les longueurs qui interviennent dans la relation soient désignées par des lettres. Si l'une de ces mesures était donnée nimiéiiqncmenl, — par exemple, si l'une des longueurs considérées était prise pour unité, auquel cas (il est facile de s'en rendre compte) sa mesure senti! i , — la relation ne senit pas nécessairement homogène (lar rapport anx mesures des autres longueurs désignées par des lettres. C'est ce qu'observe £>escartes, lorsqu'il dit nu livre I de sa Géométrie {t1f.a\. t. VI p. 171) r • Il est aussi à remai'qucr que toutes les parties d'une même ligne se

(') Ou plus généralement uns combin .isoii do sommes et dilTérencM, c 'ci t- à -dire une somme algiiriqiu {uide p. slt^, note 1).

{*) D'où le choix du mol " homogène < pour désigner le ra BCtére alfébrique défini au n" précédent.

TailSFORSATIOTS CLASSIQUES 3^5

dois'cnl ordinairemenl exprimer par mitant de dimensions l'une que l'aiilrc lorsque l'unilé it'est point déterminée en la question; mais ce n'est pas de même lorsque l'unité est déterminée, & cause qu'elle peut-élrc soun-enlendiie partout où il y a trop ou trop peu de dimensions; comme s'il faut Lircr la racine cubique de aa66 — h, il faut («nserquo la quantité <iai»6 est divisée une fois par l'unilé, et que l'autre quantité h est multipliée deu\ fois par la même, o

L'IioinogénéUé des relouons géométriques se trad'iit encore par des conditions algébriques précises dans le cas où ces relations s'expriment |tar régalitc d'expressions algébriques en a, b, c, ... autres que des polynômes. Ou peut démontrer, d'ailleurs, qu'il est toujours [Hissible de Ironsformei- une telle égalité en une égalité équivalrnle [voir n°294] dont les deux membres sont des polynômes.