Transformations classiques

294. — Nous avons indiqué quelques-unes des règles et des habitudes auxquelles se conforme l'écriture algébrique. Ces régies, cependant, cl ces habitudes, n'imposent pas aux expressions de l'algèbre une forme ne vnrielar. Toute expression peut être iraraformce de bien des manières, et telle forme qui est avantageuse pour l'étude d'un pi-ob1éme particulier ne le sera pas dans d'autres circonstances {'). C'est pourquoi, après avoir écrit une expression, l'algcbrislc se demaoïkra quelles sont les expressions éqaioalenles en lesquelles il serait possible et peut-être intéressant ^c la transformer. Ce faisant, l'algébristc ne crée rîcn; il remplace le même par le même, se bornant à modifier l'aspect des formules, la façon de les présenter et de les disposer. D'où vient que ce petit jeu de construction est si merveilleusement fécond? C'est que l'esprit humain n'est jKis doué d'une vue très perçante. Tel détail capital pouvait nous écliap|>er dans la formule d'une expression, qui nous sautera immédiatement aux yeux lorsqu'on nous présentera l'expression sous une l'ace nouvelle.

Pour écrii-e que deux expressions algébriques ne sont qu'une seule et même combinaison présentée sous deux formcsdiiïércnles,

(', Cf. mpra, xfi 36fl.

99^ LE CALCUL ALGÉBniQUE

l'algébrUte écrit que ces expressions sont égales. Mais il s'agit ici d'une égalité d'une nnture spéciale, égalUé intlépenrlanle fie la valeur numérique (les expressions, oti, plus précisément, égaVUi' qai tahsiste quelles que soient les valeurs numériques atlribuées aux lettres figurant dans les expressions {'). Une semblable égalité estap[telée identité ('). On l'exprime généralement par le m^tne signe que l'égalité (le signe =) ; cc)>en<lant certains auteurs emploient im svmbôle spécial, ^, pour signifier : identique à.

Deux expressions identiques sont u équivalentes » ; lorsque l'on passe de l'nne à l'autre on dit que l'on transforme la première expression ou que l'on « efToclue une transformation algébrique «,

295. — Nous avons déjà elTccliié au cours de ret ouvrngc, de nombreuses transfomialions algébriques. EnelTet les égulltés symboliques qui expriment les propriétés fondamentales des opénitions, commulativilc, associntivilé, dislributîvité, sont des identités, et les plu» importanlcs'de toutes (cf. n° 269) '■

En combinant ces identité?, le lecteur en formera Je nouvelles en aussi grand nombre qu'il voudra. Nous nous contenterons d'indiquer ici quelques identités classique (') qui sont d'usage courant en algèbre; nous leur donnerons des numéros afin de pouvoir facilement y renvoyer par la suite.

296. Puissances entières d'an binoms. — On appelle binôme un polynôme composé de deux, termes (ou monômes). Pour écrire rapidement les puissances entières d'un binôme (puissances d'cx|>osant m entier positif). ïl suffit de savoir écrire les puissances de l'expression a -t- li\ on a — b; car les idenlités ainsi obtenues — ayant lieu quels que soient les nombres a et /) — ont encore lieu

('l Ces lettres sont néceaaai rement les mimci dans les deux oxpresaions.

(') Ainsi les expressions a'fr et 3a* sont igatea loraqu^ ï ^ 3 ; les expre*sions d'b et ta' sont identiques. •

(^1 Los math^matieicns greca connaissaicDt un grand nombro do ces identités, mais ili les concevaient comme des relations entre grandeurs géométriques appartenant ù une même figure (voir p. 117, note 1). Noui. reviendions sur ces relations au chapitre iii qu'il faudrait lire en même temps que le présent chapitre si l'on voulait suivre l'algèbro dans son évolution historique.

CLASSIQUE» 2Q-r

lorsqu'on y remplace les lettres n et 6 par des monàmes quelconques.

' Or en efiectuant les multiplications

(a + 6) {a ^- b). (a - b) {a — b), etc..

nous parvenons aisément aux i(ientilés(') suivanles, dont les seconds membres sont les « déceloppemenls a (voir 285} de 'a -+- b'*, (a — fr)', etc. :

(!) (o + 6)' = {a + b)(a-hb) = a'^iab -\-b*

(il) {a-by = (a — b)(a ~ 6) = «■ - jafc + fc>

(III) (a -^- 6)» = (a -1- 6)» (a -f- b, = a' -h 3a'6 -t- Sab* h- P

(IV) (a — 6)' = o' — 3o'6-i-3<it» — b'

(V) (a -H fc)' = a' -H ifltfc + 6fl»6» ■+- iah' -h 6'

On peut continuer ainsi indérmiment. Mais n'y auraït-îl pas moyen d'écrire une identité symbolique qui donnât la formule de la paistance (a •+■ b)" quel qtte soil f entier m ? La formule demandée sera facile h obtenir si Ton ulilisc les symboles de l'iuilliméliquc combinatoirc que nous avons fait connaitre à la fin de notre Premier Liore. D'ailleurs les coefficients numériques qui figurent dans le développement de {a -H bf ne sont autres que les nombres situés sur une même ligne diagonale (ou base) du triangle arithmétique de Pascal (n° 19) ; c'est là.un fait remarquable qui était déji> connu au \t° siècle [cf. en particulier, Stifcl. Arithmetiat inleffra, i5/|3, p. ^C] et que Pascal a définitivement élucidé.

397. — Pour former le développement de (h -)- b)"', nousallons tout d'abord nous demander quel est le dévelop|>6ment du produit

où bi, b,, ... b„ sont m nombres différents.

Ce développement peut évidemment être obtenu par le procédé suivant. Choisissons une lettre ('i ou bi) dans le premier facteur, puis une lettre (n ou b,) dans le second lactciir, et ainsi de suite

(') Les idenlittB sont ordonnées par rapport aux puissances décrois- •antet do a, par rapport aux puissances croiisanlea <ie b.

3g8 LE CALCUL AL4iÉBRH)0E

jusqu'au dernier fnclcur. fnisant le [iroduît de lotiU» c«s Icllrei, nous obtenons un monôme qui est un terme du polynome-produît. Si nous recommençons la ntântc opération et la répàlons autant de fois que possible, sans jaiiutis la rejaire deux fois et de la même manière (':. nous nurans moriircstemcnt tous les termes du produit V, c'esl-à-dire l'cnseinUle des monômes dont la somme constilne le |K)ljnome P.

Les monômes formas comme il vient d'être dit ont tous pour coenicient numérique l'unilé; cliocnn d'eux est le produit d'une puissance {') de a piirccrtainsdcs nondircs /»,, b,. ... 6„,; d'ailleurs ils dilTèrent tous les uns des autres par im fuctenr iiu moins (il n'y en a pas deux qui soient formés des mêmes lettres). Groupons ces monômes ou lermes de manière à mettre leur somme sous la forme normale d'uu |K)Unouie en a (n° 290; :

De degré o on u, il n'y a qu'un terme : le monôme obtenu en prenant dans cbaque liiiteiir la lettre b (monôme 6,frj ... fcw).

)*our avoir un terme de degré i en a, il faut prendre la lettre a dans Mfi facteur el la lettre h dans Ioil^ les autres. Nous avons donc m termes de degré i en a {nombre des combinaisons de m facteurs) savoir les monômes

tift,/<, ... b^^,. ab,b, ... b„,^,b^. ... ahja, ... b^

déduits du produit a/>,/fi ... 6„r-,, b,., en y supprimant d'abord la lettre fc,„, puis la lettre h.„ ,. ... enfin la lettre fr,.

Pour avoir un ternie de degré a en a. il faut prendre la lettre a dans deux facteurs cl la lettre b dans tous tes aulres. ^ous obtenons ainsi les termes n^b.b^ ... 6„,. etc. Le nombre de ces termes est Ci!, (nombre des combinaisons de m facteur 2 à a, voir n* 26 *\

>ious formerons ensuite les termes de degré 3, a'&j&i ■■■''„.

etc., dont le nombre est C;',. V.i. ainsi de suite. Les termes de défère m — 1 seront au nombre de C™ - ', c'est- ji-dire m (n° 364). 1-cs termes de degré m sont au nombre de C", c'cst-à-dirc i ; et

l'I Je (lirais qui l'opération est relailo de ta même manière si nous prenions In mime Icttro [a ou fci| dans le premier Tiiclcur, puis la mbit* teltre 'o ou ij) dans le second [acieur. etc.

l'i Si 1« roondme ne contient pas a, il est de degré u en a : il ctt donc, si l'un vctil, te produit de a" |ou il par des facteurs b.

il est clair, en cflet, qnc noua ne ponvons obtenir tin terme contenant a"" qu'en prenant la lettre a dans cbsqne factcnr Jit prodnit P, ce qui donne le terme nnique a".

298. — Ces préliminaires élabli», stipposons que noua donnions la même volenr t> anx m lettres b,. 6,, ... fc». Alors le terme de degré o en a devient b'", les termes de degré 1 sont tous ^ganx entre enx et égaux h b"'~'a ; leur somme est mb"'~'a, puisqu'ils sont «u nombre de n>. Les termes de degi^ 3 sont tous égaux à a'b"'"' ; leur somme est Cf^t""'»' ; puisqu'ils sont au nombre de . C' . Et ainsi de suite jusqu'au terme de degi-é m qui est toujours unique et égal à a".

En conséquence, nous pouvons écrire l'idenlilé (')

(V!) (a + fc>- = fc« -1- Mb— 'a -H C'.fr'-»a» + ... -H C-'fc**--'

où le second membre est ordonne par i'ap|>ortaux puissances croissantes de lu lettre a et par rapport aux puissances décroissantes de la lettre b. Les valeurs des nombres C)|,. C^, etc., sont données par la formule (j) du n° 264.

Bemarqae. — Il est clair que le raisonnement qui précède resterait valable si l'on écliangcatl les nMes que nous avions fait jouer aux lettres 12 et b. Ainsi l'identité (Vl) peut être écrite sous la forme suivaote :

<V1 bU) (a -+- 6)" = (fc -H «)"■ = a'" + iim-~- '6 + €?„«"-'/.» -f~ ... -HC"~'a'6"'^' -f- mab'"~' -i-b'.

Noua voyons immédialemeat quecette égalité n'est autre que la précédente dans laquelle on a renversé l'ordre des termes du second

( ) Le djvetoppcment de (a + b)" était connu dm mathémaUcieiii alexandrin! (du moins pour Ie« premiârca valeurs de m! : mnis la (orme qne noui lui donnons ici ne nu'i bien entendu, être obtenue qu'après la création du calcul coinbinatalrc; nous la trouvons, en p.irticulier, chez Pascal \U»age iu Iriangle arilhinilique pour trouver ta puissance des binôme» tl des apaieirus. Œuvrai, l. III, p. \çtçf). — La formule (Vl) n'est d'ailleurs qu'un cas particulier de la formule générale établie par Newton {formula du binante de Newton) qui donne le déve'oppcment de (a -|- ft a (non ncceMairement entier).

i„Coogle

300 LE CALCUI, ALOÉBniQUB

membre : en efTet noua snvoRs (n° 264, Remarque) que Ton a :

Ci = c:-', Ci, = c:-». eic.

200. — De l'identité (V{ hit) nous déduirons immédiatement le dioehppemenl de (a — b)". Remplaçons, en effet, b par b' dans celte identité : elle devient :

(a -H b')" = a" + ma-'-'b' -f- .. -H nuth'--' + b'" ;

|Hisons enfliiile ft' =: — b, d'où résulte fe'' ^ fc', fr" = — 6*, b'* ^ 6', ft'= =^ — /»', etc., nous obli'nons ;

(V[|) (n — br = a- — mo-'6 + Cî,a"'-'6' .... elc.