Application de la formula da binoma au dév«loppe

ment d'un« puisaanoa d'un polynoma. — La formule (VI bis) (dite du binôme de Newton), qui donne la puissance m '*"• d'un binôme, fournit le moyen de calculer les puissances entières d'un [>ol)nome quelconque.

Considérons parexemple le j>oiynome i trois termes a + 6 -t- c : nous écrirons en réunissant 6 et <;

'a H- 6 -H c'" = [a M- (6 -f- c)]"' = a" -)- ma"--* (6 ■+■ c) l- 'ni^'zLl] a-«-' {b -h c)» -+ .. -t- (6 -1- c)™,

et nous développerons ensuite les puissances (6 i- c)', ... (fr H- c)" d'aprùs la formule (VI)- Ainsi :

[a -Hfc + c ' = <!' -^ia'{(. -(-e)-t-6a'(fc' + afcc-Hc«) ■ (-4a(6' H36'c-(-3r6» -+- 6') ^- ((.' -+-46'i: + 6 fc'c' H- S**' H- c')

301. Divisions de a-" — *■' par n — i, — Les formules suivantes sont, pour employer une locution chère h l'algébrisle, des • formules élégantes •. Ce sont des formules k surprise. Si je

o» ( 6» a' -i- fc' cherche, en effet, à transformer les quotients i ou > . J8

n'obtiens que des fractions plus compliquées. Comment se fait-it que la division de d"' — b"' para — t conduise au contraire à un polynôme d'une simplicité et d'une, symétrie remarquables?

TIIA11SP0BMATI058 CLABSIQI:E9

3oi

Rien ne lo faÎMit prévoir; le simple arrive ici sans âtre altendu, et nous trouvons élégante son apparition inopinée.

Je dis d'abord que le quotient de a' — fc' par a — b n'est outre qtie a + 6. Et, en elTet, le produit {a -4- b) {a — &) se trouveégal an' — b'. Nous écrirons donc l'identité suivante, identité capitale en algèbre, et déjà bien connue des mathématiciens grecs qui la présentaient sous Torme géométrique [vide J :

De la même manière nous obtiendrons les identités (*) :

(IX) a' — 6' :^ (a — b) (a» -1- d6 -t- 6')

-fc-+' = (a-6j(a«

- a^-'b + a— 'fc' t- .

Celle identité donne lieu k une application intéi'cssante que nous avons déjà indiquée plus haut. Faisons cnelTet a ;= i; régalité(X, nous donne la somme des n premiei's termes de la progression géométrique de raison h qui commence par l'unité :

Remarque. — En appelant b' le nombre — h et remplaçant par conséquent b par ~ b' dans les formules (VIIIJ H suivantes, on obtiendra de nouvelles identités. Ainsi :

- b''j. etc.

303. Autres idsuUtAs. — En additionnant inembi-c ù mcnibi'e les identités (I) et (11) du ii~ 398, on obtient l'idcnlilé

tWl^ (a + b)' -H {fl - t-r - ï {«" -4- b').

(') On trouve ces idcnlilés dans k Praclica Arilhmeliete ir!)'t(|) de JEROME Caudan ichsp. XXII, Optra, t. IV, p. -m,). L'identité |X'''') par exemple est énoncce coiniiie il suit pour n = l : ■ Si igilur diviUcreg 1. eu. ib. I. per 1. co ili, 1, exibit 1. te. p. 1. t-o. p. 1 «. Si lu divises le cube de l'inconnue (i. cubus) moi/is i, par l'inconnue (i. cosa, voiru" ajlj moiru ', il viendra le larré de l'inconnue (1 censiu , plus l'inconnue (à la piemifre puisMncc), plu$ 1, L'cgalilé ,IX, intervient déji dans ['Arithmétique de UlOPHANTE.

Une nuire identilii rcnMrqunUc, connue soin le nom d'idenù'lé de Lai/ran</e, est la suivante, ai»éc k vérifier :

(MU) (a' + fc», (:.' -+- ?•; ~ (an 4- 6?)' = (a? - 6»)'.

Nous avons d'autre part :

(XIV) (a + b + c)' - (a' + b^-f c') = V 4- 6) {(. -h c) {c ■+- a)

On trauvcrn dans les traités spéciaux d'algèbre un grand nombre d'autres identités intéressantes.

303 Simplication dea ezpreaaions ooDlonant des radicaux

— Les identités du n" 301 {tormettent souvent de simplifier les expressions algébriques où figurent des radicaux, c'est-à-dire dans la conipo^ition desquelles entrent des extractions de racines (10).

Ainsi, nous nvons [identité (Vlll) où l'on remplace a et b par

D'où

les rormi

Vi * /s

Noua