FoQotîons polynomalffs. Identité de d«ux polynomee

— Les plus simples des fonctions d'une variable j" sont les |>olv-

l') NuuB l'indiquerons aussi par la manièro dont nous écrirons l'exprci- ■ioD. SI, par exemple, l'expression est un polynôme par rapport à a noui le mettrons sous la lornto indiquée au n" 3gu.

FOIICTIO:<S ET ÉQUATIONS 3og

Tiomes en x. que nous avons dérinis 8U n'âQÛ: ce sont, dironsnous, des fonctions enlih-es ou polynomales {').

Pour com|tléter ia défïnition de ces fondions, nous allons montrer qu'une fonclion polynoiiiale de x ne peut êlie mise que tCane seule manière sous la forme d'nn polynôme ordonné comme il a ùlc dit au n° 260.

Considérons plus précisément deux polynômes d>^ degré n en x, que nous écrirons

UaX" -f- ... -•- a,x ■+■ «0, b„x" -*- ... -t- b,x -^fc„

les lettres «„,... a„. b„... 6, représentant les coefficients {les([uels peuvent être des expressions algébriques quelconques ne contenant posa;). Nous allons établir que ces polv nomes ne peuvent être identiques, c'est-à-dire prendre tous deux la même valeur (variable) pour toute valeur (variable) donnée à x que si leurs coefGcienIs correxpondants (de même indice) ont la même valeur ('),

312. — lîn\isaj,'eons d'abord deux irolyuomes du premier degré aix -\- at,eKb,x -*- h„. Pour qu'ils soient identiques, il faut qu'ils soient en particulier égaux lorsque x ^ o; or, pour a; = o, ils se réduisent à Ug et b^ ; donc a, el b^ doivent avoir des valeurs égales. Reirancliant maintenant celte valeur des deux polynômes sup|>osés identiques, nous voyons que les monômes a,x et bix doivent être égaux quelque suit x ; ceci exige que ai =^ /'|.

Inversement, si leurs coclTicienls correspondants n'ont pas des valeurs égales, les deux polynômes (on le constate immédiatement) prennent des valeurs dilTérentes pour une infinité de valeurs données a x (').

[') Si le polynôme eit du premier degr^, il est dit {onction linéaire (cl. açial.

(*) Y compris les coefficient] de x^, c'est-à-dire lea termes indépendants de X [voir n" a»')].

1^) Bien entendu, les valeurs des polynôme* que l'on compara deux à deux sont toujours celles qui correspondent à une même valeur de t. La théorie des équations du premier degré permet (voir § 6) d'affirmer, plus prccisément, que deux polynômes du premier degré non-identiques ne peuvent prendre ta même valeur que pour une seule valeur de x, savoir la racine de l'ëquntion a,x f oo =— 6,1 -|- b^ Fqui est x »= "- j"l.

3lO LE CALCUL ALGÊnniQtJE

Considérons maintenant deux polynômes du second degré, a,x* -■(- a,x -4- «0 et b^'' •+■ b,x ■+■ b„, et supjwsons les identiques. Ils doivent être égaux pour x ^ o; donc a^^^ b^- Hetranchant, d'autre part, des deux polynômes la valeur commune de a» et b, nous voyons que les deux polynômes a,x^ -i- i, a; et A^' + b,x doivent être identiques ; donnons alors A x une valeur quelconque non-nulle ('), et divisons par x ; les deux polynômes du premier degré ii,x -t- a, et b, x -+- b, doivent lître égaux (quel que soit X non-nul) ce qui ne peut avoir lieu, d'après ce qui précède, que ai i, ^= b, et ui ^= b,. Si ccb conditions sont sntisfiiiles les deux polynômes du second degré sont identiques ; sinon, on démontre facilement qu'ils prennent des vaLurs diiïérentcs pour une infinité de valeurs diverses données à x.

En poursuiv.-int le même mode de raisonnement (raisonnement récurrent, voir n* 258) on étend les conclusions qui précèdent à des polynômes de degré quelconque [il résulte en particulier de ces conclusions que les polynômes ne peuvent <^tre identiques que s'ils sont de même degré].

Les polynômes du second degré

a*' ■+■ \/a{i j H- c et 6x^ + t -\- a,

par exemple, sei-ont identiques si l'on a n = 3, \ ait ^^ i. c = a. Un polynôme ne [leut èlie iilentiquemenl nul — c'cst-i-dire égal à o pour toute valeur de la variable x — que si tous ses coefTîcienls sont nuN.

313. — Les fonctions polynomales de plusieurs variables — polynômes en X, y, t... (voir n' Ml) donnent lieu A des remarques semblables. Deux polynômes en j:. y, ;,.. ne peuvent Être identiques (c'est-à-dire égaux quelles que soient les valeurs données nax variables x, y, z,..j que ci les coejficieiils des termes semblables {*) dans les deux polynômes ont deav h deux des valeurs égales.

Ainsi les polynômes

ax H- hy -+■ abry + cr' et 3 .r ; y -i- r/x> -f- eï-y

(', Si X ctail nul, ta division des deux polynômes par i serait une opération impossible.

l'r Voir n" ïi)7. Je lupposo ici que toutes les puissances semblables d'un mfnie polynôme sont reunies en un seul term".

FOnCTIO^IS ET iQVATlO^lS 3ll

sont idcmiques si l'on aa ^ 3, & = 1,0^ (/, ab =^ eet c^ o, et dans ce cas seulement.

314. Remarque. — 11 importe de noter que l'on a coutume de qualifier « fonction polynomale u, — ou, pour abroger, « polynôme > — toute fonction de une ou plusieurs variables dont l'expresstoD peut être mise (sans l'ôtre nécessairement dé\a) sons forme de polynôme (par voie de transformalion algébrique). La nature d'une fonction doit être, en effet, considérée comme indépendante dca transformations que subît son expression. Vins! l'on dira que la fonction de x définie par le produit (3x 4- 1) (x -:— 3) est polynomale parce que le développement de ce produit (n" MB)est un poijnome.

31tS. Fonctions rationnellea. — Après le polynôme, la fonction la plus simple est la fonction (ou froelioti) rationnelle. On. appelle ainsi le quotient de deux polynômes, ou fraction ayant pournuméraleur et pour dénominateur deui fonctions polvnometes d'une ou plusieurs variables. — Si les polynômes sont du premier - d^ré, la fonction rationnelle est dite homographique.

I.,es polynômes — que l'on peut considérer comme des quolientsde polynômes par le nombre i — sont compris dans la classe de» fonctions rationnelles.

Toulti fonction non rationnelle est dite irrationnelle.

316 Identité de deux lonotioos. — Nous allons compléter l'analyse faite auï numéros précédents en expliquant, d'une manière générale, en quoi consiste CidenUlé de deux fonctions et dans quelles conditions celle identité peut <;trc réalisée.

Considérons, pour fixer les idées, deux fonctions de troisvariables :/(«, y. i) et gix. y, z).

t" Si les expressions / et '/ ne contiennent, outre les lettre» X, y, z, que des nombres arithmétiques, les deux fonctionsseront identiques, ou non, snivant qu'elles prennent, ou non, toujours la même valeur (variable) lorsque l'on donne k x, y, z des valeurs (variables) quelconques.

2" Si les expressions /* cl j contiennent des lettres telles que a, b, ... représentant des ({nantilés fixea (indépendantes de»

3ii

variables), et si ces expressions sont identiques (au sens du n° 294). quelles que soicol les valeurs données aux variables, x, y, z, les deux fonctions sont évidemment identiques, et cela quelles que soient les valeurs attribuées aux quantités fixes a. A, c, ...

3" Si les expressions f el g contiennent des lettres telles que a, b, ... représentant des quantités lixes, el ne sont pas identiques au sens spécifié ci-dessus, les fonctions/et tj ne pourront pas être identiques quelles que soient les quantités a, b, c, ... mais seulement pour certaines valeurs de ces quantités. Le problème se pose alors de recltercber à quelles conditions doivent satisfaire les nombres constants a, b, c, ... pour que les deux fonctions soient identiqu'^5. C'est le problème que nous avons résolu dans le cas oîi les fonctions sont des polynômes.

Une fonction identique à o est dite identiquement nulle.

317. — A ces remarques et définitions relatives à l'identité, nous ajouterons le théorème suivant, dont nous nous dispenserons de donner la démonstration rigoureuse r

La condition nécessaire el suffisante pour que le produit de plusieurs fonctions {définies par des expressions algébriques) soit identiquement nul est que Fane des fondions le soil{').

318. Equations. — Dans les pages qui précèdent, la notion de fonction vient de se présenter à notre réflexion comme le support nécessaire de l'algèbre. Nous nous sommes demandé qu'elle est la chose qui revêt, par l'effet de la transformation algébrique, des formes di(réi'entes,et nous avons trouvé que cetle chose est la fonction. Cependant il ne faudrait pas croire que lîdée de fonction soit apparue dans toute sa netteté h l'esprit des premiers algébrîstes. {Cf. p. 3o5, note i et ch. n, S /)■ Les mathématiciens antérieurs au \vn* siècle n'envisagèrent que l'une des applications auxquelles donne lieu l'étude des fonctions : la rcsolulion des équations algébriques, ou calcul des inconnues (\o'n i l) définies par des équations.

Supposons que nous connaissions une fonction de x, y=f{x), et posons-nous la question suivante : Pour quelle ou quelles valeurs

Cl On sait que pour qu'un produit de tacteuis loit nul, il laut c •uffit que l'un des facteur» soit nul.

P0SCTI0W8 ET ÉQUATIO^IS 3l3

de X, la variable dépendante y prend-elle une valeur a donnée à r avance {^) ?

On peut ppser autrement )e nii>me problème en disant que l'on cherche la ou les valeurs de x pour lesquelles a lieu l'égalité f(x) = a. Celte égalité est appelée équation (*) en x- Pour écrire explicitement l'équation, on doit remplacer f{x) par l'expression algébrique dont le symbole /(a;) tient pour nous la place.

Remarque. — L'équaliony(j:) = a peut élre écrite /(a;) — a = o. Il est toujours possible, en d'autres termes, de mettre une équation relative i l'inconnue x sous la forme (') :

c'est-à-dtro sous la forme d'une égalité dont le premier membre est une fonction de x et le second membre zéro (la fonction étant

d'ailleurs quelconque et pouvant contenir des lettres a, b, c

qui représentent des nombres connus).

On pourra mettre, plus généralement, sous la même forme (i) toute égalité (*) où figurent l'inconnue x et des nombres supposés connus a, b, c, ... Une telle égahtc pourra donc toujours être regardée comme une équation; elle est parfois aussi appelée relation Centre la quantité inconnues et les [quantités connues a, fr, c, etc.). Cette dernière expression est empruntée au langage géométrique (p. 117, note 1)].

(*j Remarquons que û, tant eonnalire x, noui voulons raisonner sur x «t u, nous devons prendre soin de ne faire d'autres déductions que celles qui restent valables quelle que Mit la valeur de l'inconnue x ; nous devons, en d'autres termes, faire porter nos raieonnemenls sur la fonction /,x), en supposant provisoirement que x puisse prendra des va'eurs quelconques. Ainsi tout calcul portant sur des inconnues est, en réalité, un calcul portant sur des voftablet. Cependant il n'est point nécessaire d'approfondir l'examen de la fonction / x, si Ion h simplement en vue la résolution et l'étude des racines de l'équation correspondante.

(*) De Kquatio, égalité ; en allemand, Gleidiung.

{*) ■ Ce sera, dit Descarteb, souvent le meilleur de les considérer en cette sorte [les équations] >. (La Géométrie, Œuv., t. VI, p. 4J4).

I*) Une telle égalité est de la forme

c'a:, a, 6, c, ...j = ^'x. a, b, c. ...) [les symboles ;p et iV qui figurent dans les deux /nembrea désignant des foDClions quelconques] : on peut l'écrire ;

f'x, a, 6, c, ...) — ^{x, a, 6, c, .,.) ™= o, où le premier membre est une fonction de x que je représente par F[a:}.

3l4 LE CKLCVL ALGÉBRIQUE

La OU les vAleurs de x qui satisfont h l'égatïté ou équation (i) [qui n vérifient» l'équalion' sont appelées «Bolutions» «ou racines(')u de l'équation. Ces valeurs dépendent naturellement des lettre» u, b, c, ... qui figurent dans I équation ; «résoudre» l'équation, dès lora, ou en trouver les solutions, ce sera IrouKer les expretsions algéhriques formées avec les lettres a, h. c, ... auxquelles tes racines sont éijaies; on dit que ces expressions sont « les expression» des racines en fonctions des quantités a, b, c, ... o.

319. Exemples. — L'égalité a{x — fc)* — c = o est une équntinn, qui est satisfaite quand (x — /*)' est égal à - et par conséquent quand x — A est égal à la racine carrée de- : si doncest un nombre positif, l'équalion a deux racines :

L'égalité ' j;^, ^ i est une équation qui est satisfaite lorsque

3-f.a = x — 6: on déduit de là qu'elle a pour racine le nombre a: =r 3 -I- « -t- 1.

Nous retrouverons plus loin quelques exemples simples d'équations algébriques. Mais, avant de quitter le point de vue général et abstrait où nous nous sommes placés, nous voudrions indiquer a priori, dans une esquisse rapide, comment se posent les principaux problèmes relatifs aux équations. Nous invitons de nouveau le lecleurqui trouverait trop aride l'exposition qui va suivre h s'aider d'un traité d'algèbre élémentaire : il pourra ainsi se familiariser graduellement avec les notions nouvelles que nous allons être obliges (l'introduire.

320. Equations à plusieurs Inconnues. — Si dans l'exprès* sion V(x) il n'entre qn'uno inconnue, j;, l'équalion F(a;) ^ o e«t dite équntinn à une inconnue. Soit maintenant F(a;,y) une expression (fonction de x cl y) qui contient deux inconnues x ei y :

(<) Nous avons vu ('!7^l que l'inconniia (cosa) fut appelée radix parle* traducteurs itcg algéitriilei arabe*.

nous dirons (jiic l'égaliLé ¥{x,y) = o est une équation à tleu.-:

Nous déliiiiruns tle mémo les équations k 3, 4. aie., inconnues. D'une manière généiale. toute ég'nlilé |ou relalion, ville saprn, 317 j où ligiirent des nombres ordinsues, des lettres a, b, c, ... représcnlant des quanlilés connues, et des lettres x, y, z, ... icprésen- [ant des quonlilés inconnues, lorl une équation ; elle peut être mise sous la l'urnic

On nppellern .tyslhne île sotnlioiis d'nne équation (2) tout ensemble de vnlcnis (associées) des inconnues j:, y, z, ... qui i:eri fient Véqualion, c'esl-ù-dirc lont ensemble de nombres tels que, lorsqu'on les mot à la pince de x, y, z, ... dans l'expression F. celle expression se réduit h. o

321. Equation déterminée oa indéterminée. — Si, en égalant à o les expressions algébriques les plus simples, nous formons, à litre dVxenipIcs. des équations à une inconnue x, nous constatons aussitôt que ces équiittons ne peuvent élre satisfaites par des valeurs quelconques de x (à moins qu'elles ne se réduisent à des idenlilcs) ('; : leurs solutions — si elles en ont — sont déterminées (') (c'est pourquoi nous dirons que les équations elles-mdmcs sont Jélerminées),

En acra-t-il de même des équalions a plusieurs inconnues? Il est facile de voir que non. Prenons pour exemple l'équation

nx -h ^y ~ t =0;

{'j Si l'on se donne une égalité de la forme

il faut s'assurer, avant He traiter cctle dualité comme une équation, qu'elle ne *e réduit pus à une identité ayant lieu quut que soit x. Ainsi l'égalité

a fa'eu quel que soit x [n° 3ui) : elle n'a pat de « lolutions déterminées >. (•) J'entends : dilerminieg par les valeur» des nomhres et dta lettres (reprélenlanl des quantités connues) gui figurent dans l'équation, ou encore : cateulahles lorsque l'on donne au^ Ultres a, h, c, ... des valeurs numériques , difermirtéee.

3l6 I.E CALCUL ALQÉURIQVE

«Ile peut ( &lnvéri fiée pur n (admetlre comme solution) n'imporle quelle valeur de x pourvu que l'on donne k y une valeur correspondante convenable : si. par exemple, l'on Tait x =: o. il Tandra

que 3^- = I, donc y = ;,; si a;= i, il randraqueSj'-H a — i =o. c'est-à-dire iy ■= — i oh y = — 7, etc. Ainsi, on ne peut sans doute pas choisir arbitrairement les deux valeurs x el y qui satisFont à l'équation, mais on peut choisir la valeur de x on celle de y. L'équation, pour celte raison, est dite inilélerminée (') : elle Jidmet une infinité de solutions (il existe une inrinîté de couples de valeurs x ely qui la vérîfîeni).

322. SjrsUmea d'équationa aimu lia nées, — Nous serons, par contre, en présence d'un problème en géuérnl déterminé si nous nous proposons de trouver un couple de valeurs de x et y qui vérifisnl ù la fois (soient solutions de) den\ équations

En effet ('), considérons provisoirement y comme connu : alors l'équation F ^ o est une équation en x. dont la ou les racines /si on sait les calculer) s'expriment en fonction de y et des lettres a, b, c, ... (représentant des nombres connus) qui lîffurent dans F. Il en est ainsi quel que soit y. Mais nous voulons que y et la valeur corres[)ondante de x soient solutions de l'équation G =^ o. La lettre y doit, par conséquent, avoir une valeur telle que, lorsque dans la fonction G on remplace x par une des racines ■rfe F ^ o exprimées en Jonction île y, l'équation G = o soit vé-

l'i Les équations indc terminées ont Jlé, depuis Diopb.vnte {voir p. li, note •i\, l'objet de nombreuses recherches : ou s'ett proposé en particulier {le trouver les valeurs entières (nombres entiers) de x, y qui peuvent »alisfaire i une équation indéterminée â deux inconnues jr, y Icf. 37]. Ces mîmes équalions indc terminées se trouvent, comme nous le verront plus loin, k la liase de In Kcomctrie analytique |voir chnp- iv. % %]. — Notons que l'cpithèlo indélerminée ne parait pas avoir èié employée Jivant le xvuie siècle [on la rencontre chez Lagha:<ge, et. supra, p. 3'l,

(*) La lecteur qui voudrait éclairer cette déduction par un exemple pourra se reporter tout de suite au n" t{».

FONCTIONS ET ÉQUATIONS * Siy

rifiée. Or, lorsqu'on substitue à x une expression fonction Aty, liquation G ^ o <Jevicnt une équation à une inconnue. Sa ou ses racines sont les valeurs cliercli^es de 7 : on en déduit les valeurs correspondantes de x [données en roncLion de y par l'équation F = ooù y est désormais connu]. Ainsi, les couples de valeurs associées de a; et j- qui rendent nulles les deux fonctions F et G sont en général délermiiiées.

Remarque. — La méthode que nous venons de suivre pour étudier le système F = o, G ^: o est appelée « méthode de sub~ stUadon u ; elle consiste, a-t-on coutume de dire à » tirer x de la première équation », puis à « porter l'expression trouvée dans la seconde équation ».

323. — D'une manière générale, considérons un ensemble d'équations.

contenant plusieurs inconnues. Si nous pouvons trouver un ensemble de valeurs déterminées des inconnues, soit {') x^, j",. z^, u,,,... telles que toutes les fonctions, F, G, H.., soient nulles lorsqu'on y fait (') à la fois x ^ x^, y = y», etc, nous dirons que l'ensemble des valeurs ;£o' /o. ^o> u<>, ... est un système de solutions ou de racines des équations (3).

L'ensemble des équations (3) est lui-mt^me appelé système itêqaatlons simultanées. Si p est le nombre des équations, n le nombre des inconnues, on précisera en disant que le système (3) est un système de p équations simultanées à n inconnues.

Un système contenant autant d équations que d inconnues est en. général (') déterminé fa des solutions déterminées, cf. n" 362- 67), — Un système contenant plus d'inconnues que déqualions

(') Ces valeurs — que je représenlo par les lettrea x^, y^, i,, ... — sont des nombre» ou des expressions algébriques ne dépendant qu des quantités fines (supposées connues) qui figurent dans les équations.

l'I C'est-à-dire a lorsqu'on y donne a x \a valeur i,, i, etc.

(^1 Voir à ce sujet le S fl du présent chapitre et le § -i du cbap. v.

3l<S I.r. C.VI.CIL ALGÉIlIllQUE

est en yânéral indélerminé . — Un système coitlenanl pltts irèijualiuiis f/ac d'Inconnues n'admi-l en (jénérdl pnt île solutions.

324 Syatëmsï impossibles. ~ Nous dÎ!«ons tl*un s^slèiiicdé- ^joiirMi de solutions qu'il csl imftossible (il ti'eat alors ni iléferminé, □ i uirltUerminé). Culte circonstance peut se pn'sentcr, lois milmc que l'on n'a pas plus d* équations que d'inconnues, si les équations du sjstèmc expriment des faits contradictoires. — Ain^^î le syjlème 2X-+- y = 1, -ÀX -1- j' ^= 2 est linpossîhle, car, quelles que soient les valeurs dunnces à x et à y. lit sonmc ax + y ne peut |»ns cire à la fois égale à i et égale à a.