Transformation des équations

32^. RéBolutiou d'une équi.tion. — Comment trouver la ou les valeurs de x qui l'^n'yicrif une équation, par exemple l'équalion à une inconnue

Lea exemples donnés au n° 319 montrent que le problème est parfois aisé à résoudre. Supposons, plus (généralement que nous ayons alTaire à une fonction F(x) de la forme (')

\x— H), ou A(j: — K)lx~ Ci. ou A (a- -B)(.)- — C;.(j>~D) ...;

remarquant qu'un piïMinit de plusieurs nombres ne peut être nul que si l'un des fadeurs est nul, nous voyons qu'il faudra et sullira. pour que l'(a;) soit nul. que x=^h, ou x = C, ou X =Vi ... ; donc les nombres B, ou B et C, ou B, C>t D, ... seront des racines (et les seules) de l'équation (i).

Lorsque la fonclion I-' (x) ne se présente pas sous l'une des formes indiquées ci-dessus, on jreut chercber à l'y ramener

l'I II n'y aurait nature-Ile ment rien à changer aux concluiions que nous niions énoucer si, dans l'expression de F(x , les grandes lettret A, II. C, ... étaient remplucces par des expressions algébriques quelconqucï formées avec des lettres qui représentent toutes des nombres

tiia:«sforuatio> des équations 3ig

par uae transformation algébrique (') (voir S J) : sî pareille transformation est possible, l'équalion peut âtre « résottic it.

Muis les transformations que l'on sera en droit d'utiliser |X)ur résoudre lequalion (i) ne sont point seulement celles qui remplacent l'expression F (x) par une expression iiienlique (voir S J et S 4). D'autres transformations sont éj^aleuient légitimes, qui sont propres à la théorie des équations algébriques ; c'est de celles-là que nous allons maintenant nous occuper.

326. Equations équtvaleates. — Soit F (a;, y, z, ...) =^ o une première équation dépendant des inconnues x, y, z, ... Nous dirons qu'une seconde équation G[x, y, Z, ...)■= o e?t équivalentes la première «ïou( ij-j^me de valeurs <tes \nconnacsx,y.z,... satisfaisant à Cune des éijualionj satisfait également à Caalre. Lorsqu'il en est ainsi, on a le droit de remplacer l'équation (') F := o par l'équation G =: o : on dit alors que l'on effectue une iransformation de l'équalion F ^= o.

La même terminologie s'applique aux équations qui n'ont pas ^lé ramenées à la forme F^o [voir p. 3i5, note .'ij et qui se présentent sous la forme

Toute équation ayant les mêmes racines que l'équation /^^ ^ lui ■est équivalente.

Signalons quelques transformations fréquemment utilisées (^) ;

1° Si l'on ajoute une même quantité aux deux membres de 'l'équation/ ^^, on obtient une équation équivalente: ainsi les équations 3» -t- ay -t- i = 5 — x et 'ix -*• ay -t- i =; 5 sont équivalentes.

C'est en vertu de ce principe que, lorsque les deux membres de 4'équation (c'est-ik-dire les deux expressions f et g) sont des

Cl Si, par exemple, Y x, ^ a:' — o', on remarque que F.x, est identique k [x — a] IX + a;, et l'on en conclut quo l'équation i:i udmet pour TBciiin at\ — a.

Cl J'êcrit, pour abroger, F =. o «u lieu do V[x, y, i, ...] = o.

l'i Toute* CM irantlormation* ont été pratiquées, plus ou moins liabilement, dèt le* premien temps de l'algèbre, mais elles ne trouvèrent leur io nu ule définitive qu'an xviii* siècle \dans l'œuvre d'Ei;LEB en particulier).

Sao LB CALCUL ALGÉDRIQDE

sommes. 0/1 peut faire passer un terme quelconque d'un membre dans t autre en en changeant le signe ; l'opciation ainsi eflectuée est la djebr (267) [exemple ; les équations 2X — y — 2 = 0, ou — y ^^ t — 2X sont équivalentes].

3' Les deux équations

¥i:r.y,z....) = o. \.F(x, y, z, ...) = O. où A esl un nombre constant (ou une expression algébrique ne dépendant pas des inconnues) xont équivalentes.

i' Considérons l'équation ù une inconnue t'(x] ^ o et un polynôme en X [que nous désignerons par V (x)\ne prenant la voleuro pour aucune des l'aleurs de x qui snnl racines de Véquation. Quelle que soit la valeur finie (non infiniment grande, n' 134) donnée à la quantité X, la valeur du polynôme P (2:) ne peut pas êlie

F(k) infiniment grande ('). Il en résulte qne la fraction n) \ ne peut

âlro nulle que st son numérateur est nui. Par contre, lorsque l'on prend pour valeur de x une racine de l'équation ^(^i:) =^ o, la fraction cit nulle. J'en conclus que les deux équations

sont équivalentes (').

Ainsi, pnr esemple, les deux équations

x'-Hi — 3

= 0 et x' V- X — J^o X + a

sont équivalentes. Pour résoudre la première, il suffira de résoudre ta seconde, qui est mantfeslemcnt ]>lus simple.

4" On peut cllectuer une transformation analogue sur les équations à plusieurs inconnues qui appartiennent à un système d'équations simultanées. Soit, par exemple, proposé le système

('f Puisque celle valeur eit le rcsullat d'une combinaison d'additions et de mulliplicalioiia ellecluécs sur la quantité x et des quantités fixes.

i') Il l'ii est du môme, d'une manière Kcnérale, si P x. est une (onction quelconque qui n'est infiuimeul grande pour auuune valeur de x et ttlle que les racines de K x. = u ne soient pua racine* de P,xj = o.

THA^SFORMATIOX DES ÉQUATIONS 3a I

Appelons P{x,y) une fonction de x etyqa'i ne soU jamais inrmimcDt grande et no soit pas nulle lorsqu'on y remplace 3: et y par un système de solutions du système proposé (voir 323) : alors les équations

sont deux à deux équivalentes.

327. Remarque sur les Bystémes Indéterminés. — Les remarques que nous venons de faire sur les équations équivalentes nous avertissent qu'un système de n équations ù ;i inconnues pourra exceptionnellement ne pas admettre un système de solutions -déterminées (voir n" 323). Supposons, en clfel, que les équations A deux inconnues F (x, y) = o et G (x, y) -— o soient éqaioalenles [la fonction G étant par exemple le produit de t' par un nombre A]. Eu ce cas. il revient au même de nous donner les deux équations ou d'en donner seulement une ; les solutions du système F — o, G ;= o ne sont donc pas plus déterminées que celles de l'équation «inique F = o (voîm* 321)-

328- Systèmes d'équations équi-valenls. — lin système d'équations tel que le système (3) du n° 323 sem dit équivalent à un autre système déi)eDdant des mêmes inconnues, si tout système de solutions du premier système est sy^itème de solutions du second, et réciproquement.

Un système formé d'équations respectivement équivalentes aux équations (3) est étidemiuent équivalent au système (3); ainsi les systèmes

: ^[x^y)--=o ^ x-Hy = 0

]-'-rJ.±J:=o l T-y+ 1=0

sont équivalents. — Mais on peut aussi obtenir des systèmes équivalents au système (3) en combinant convenablement les équations de ce système.

Je dis par exemple, que le système tle deux éi/tialions à deux inconnues

BovTiiDUi. — 1^1 pcii âpM de l'Anatjw aialbiouliquc ii

3a3 LE CALCL'L ALGÉBRIQUE

ett éijuiealent aax xystimex

iF = o lG=o

; ou {

UV + bG^o ( oF -t- 6G = o

ot) le^ IcUres a, b représentent des qiianlitcs connues (ifldé|)endantes de x e\ y).

En ell'el, il est clair que si. pour iin certain système de valeurs deo: et y, les l'onctions I'' et G !<ont nulles, il en est de niâmc de la fonction aF m- M!. Kéciproqiie nient si F et aV -\- 6G sont nulles, la fonction aV est aussi nulle et la dilTérence hG des fonctions ((iF + tG)etab' est nulle; donc C est nulle. Si G et «F -+- iG sont nulles, F est nulle pour la mflme raison.

Plus généralement, nous constatons <|ue le système (3) est équivalent an système (')

U.. FCx.j-)- h.ii(j:.y) = o

OÙ a, 6, n' . b' sont des quantités connues (*).

L'étude d'un système d'équations dépendant de 3, j, etc., inconnues nous conduirait à des conclusions analogues.

320. Ëlimination d'une ou plusieurs quantités entra plusieurs équations sixultsnées- — Considérons un système de deux équations.

-4) VU. y. z, „....) = 0, G (x.r. --, «,...) =o

dépendant de plusieurs quantités inconnues ou variables x. y. z, «,... [système en général indéterminé, si le nombre des inconnues on variables est supérieur h a], et appliqons à cj système la méthode dite de xabslilulion dont nous avons déjà donné un

j'j L'équation oF + W3 =■ o wt appelée combituttaon liniainàti équations F ^ [I, G =c II [le mot linéaire indique (voir n° ii.fx\ que la comlnnaisoQ cal un polynôme du premier degré par rapport à F et pnr rapport i G].

(') Ces quaniiléa no sont cependant pas absolument arbitrairct : il faut que la qiianliié ab' — ba ne soit pa nulle ; on constate on elTet que, *i aV — ba = o, les deu.t nouvelles équations sont équivnlontcs cl se réduisent ù une (n" ^27).

TRA>SF0nMAT10n DES ÉQ11ATI0>9 3a3

exemple au n* 333. INous tirons l'expression de x de la première équation (') comme si y. z, a, ...élaient connuti et nous portons celle e\pression dans la seconde éqvation. Nous obtenons ainsi une nouvelle équation

G, Cv. :."..-) = o

qui ne contîeiU i>lta riiiconnue x.

Il est clair que l'équation G, ^= u, jointe k l'équation F ^ o constitue un système équivalent au système proposé. Mais il y a plus : si l'on fait abstraction de la quantité x, Céqaatioa G,{y,z, u)= o esl à elle seule équivalente au système (^)\&d eflet, tout système de valeurs de y, z, u,... qui salis/ail au système (4) salisfait également à l'équation d = o, et réciproquement. Nous dirons que l'équotîon G, = o, équivalente au aystènie(^), esl Céqaaltou obtenue par élimination (') de x entre les deux équations Pt= o eld ^=o.

CeLte déPmition et les remarques qui l'onl amenée peuvent être gcnérAlisécs, Considérons, d'une manière générale, p équations

dépendant de n quantités inconnues ou variables x. y, z, u, ... et Suit le nombre ft supérieur à p.

Applicpmnl la méthode Ae substitution, tirons la première inconnue xde lu première équation et portons l'expression trouvée (c'està-dire reniplai;oiisx|>ar cette expression) dans les au très i^uatioas; noua obtenons un système de (p — i) équations, i'^u(i'a/«ii uu système ( j), qui ne contient plus x, soit le système :

*i ty. î. ". . ) = o. *, ^= o,.,. '^,,^ =^ o.

Nous dirons que ce système est obicnu par élimination de x entre les/> équations (5).

De la première équation du nouveau système, tirons y et portons dans les aulres. Nous obtenons un système de (p — 2) équa--

('} A suppoicr que celte opéralton Eoit pogaiblo ,voir la lin du présent numéro)

I*) Newton disait : ftrl«rniitM]fion(G.ilerininalio); le mot élimination tut introduit par Eu le a.

3^4 LB CALCUL ALGÉBIIIQUE

tions équivalent au système (5), qui ne contient plus ni x iiï y. Et ainsi de suite. Nous aboutissons finalcrhent à une équation unique par élimination de p — i inconnues entre les p équations (i) : cette équation ne contient plus que n — p -+- i quantités inconnues ou variables.

Remarque. — Il importe cependant de noter que le procédé iT élimination que nous venons de définie n'a le plus souvent qu'un intérêt théorique (l'indication de ce procédé sert à établir, d'une façon simple, la possibilité de l'élimination). Dans la pratique, la métbode de subslilalinn sera inapplicable "si, comme il arrivera fréquemment (voir n" 340 , la première équation (t>), V, =o, considérée comme étjualion à une inconnue, ne peut pas être résolue. On démontre cependant qu'il est toujours possible d'éliminer p — i inconnues entre p équations algébriques en combinant ces équations d'une manière convenable au moyen d'opérations algébriques ; nous ne pouvons exposer la métbode générale de calcul qui conduit h ce résultat, maïs nous en donnerons plus loin un exempte au n°371.

330. Ghangatceat d'inconnuâ. — On peut regarder comme une II transformation » d'équation une n|)éi-ation dont l'algébrisle fait un fréquent usage, et qui consiste à a changer d'inconnues d ou à 11 prendre une inconnue auxiliaire ».

Soit par exemple, À trouver la ou les racines d'une équation en x. Il est clair que le problème sera résolu si nous savons calculer la dilTérence x — a ; de même, si nous savons calculer x' (les racines del'équntion étant en ce cas les racines carrées des v;i leurs trouvées pour x^) ; pareillement si nous connaissions la valeur (dési -

guotisia par «) de la fraction — - ,^ , nous en dédiiliious sans puinc la valeur inconnue de x, car nous aurions :

Ainsi nous pourrons, si cela nous est commod«, substituer h la reclicrcbe directe de l'inconnue x la reclicrclie d'une inconnue

auitbaire telle que x — 3, ou x*,

TRAISPOKUATIOM DRS ÉQUATtOnS

Exemple. — Pour résoudre l'éqnation

on prend pour inconnue auxiliau-eu ^= - ; on a :

(u — i)' = 3; d'où u — I =3* ou u= i +3"';

on en déduit:

331. — D'une manière générale le changement d'inconnue consiste ù remplacer l'Inconnue a;, dans une équation donnée, par une certaine expression algébri()uc dépendant d'une variable u, c'est-à'dii-c fonction de h; l'équation se transforme en une nouvelle équation qui ne contient plus x et dont l'inconnue est (') u.

La règle de celle transformation est appelée par Cardan Hegula de duplice (') : Cardan s'en servit, en particulier, |>our simplilier l'équation polynomale du traisième degré [vide in/ra n'*347 et 349 : le lecteur trou vera-là les exemples les plus simples de changements d'inconnues).

Cbrsque l'on a affaire h plusieurs équations simultanées, on peut faire un changement portant sur plusieurs inconnues (voir plus bas, au n° 368 un exemple emprunté à Cardan).

332. — Ainsi nous voyons apparaître pou ji peu les avantages de celte trituration, de cet « apprëtement n des formules, qui est la pierre de touche de l'algèhre (n°271). » Mais si l'équation. — disait Albert fiirard (') — esl désordonnée, prolixe et vitiée. il la faut préparer par la réduction, et, l'ayant polie, l'appeler équation ordonnée » .

(') La règle du cbansement d'inconnue lera énoncée en cea tertnet par l'algêbriate moderne : Poton» * »« / u) ; li wi est une racine de l'ëqualion tranilormée, le nombre / u,) sera racine de l'équalion proposée.

0 Pratica arithmtlicx generalia omnium copiosaima et utUisiima, B. Nel., V. i()i^8, Milan, iTi^t), ch. ii. Opéra, t. IV, p. 86.

t') Invention nouvtUt en l'algèbre, Amsterdam, 163g.

336 LE CALCUL ALGCBHIQDE

Le bon algébiiste csl celui qiiî transforme habilement ses équations sans s'inquiéter du sens concret des opérations qu'il eflcctne. St. pnr exemple, au lieu de calculer directement le prix de loo moulons, il trouve |iIhs commode de clierclier d'abord le prix de — loO. /^ moutons, il prendra ce prti pour inconnue auxiliaire sans se préoccuper de savoir ce que cela jteut bien èlre que — loo . \'a moulons. C'est ainsi qu'il parvient h résoudre avec aisance des problèmes qui paraissaient inextricables aux i loj{isticiens.