Résalatloa des équations polynomales

333. Équations polyuomalei. — Considérons une équation, relative à une ou à plusieurs inconnues x, y, z ..., et mise sous la forme (330)

où F est une expression qui contient x, y, z, ... et aussi des nombres arilbinétiqiieson des lettres a, 6, c, ... rcprésenUinl des nombres connus. >oiis classerons les dilTércnles équations (i) d'^rés \& forme qu'a t expression P par rapport aux lellres x,y, z ... L'expression F peut être, |»ar exemple, un polvnomeenx, y, z ,... (281) de degré plus ou moins élevé; elle peut aussi être définie par des opéralions plus compliquées, ainsi qu'il arrive pour l'équation X H- (y -H '')" — I ^ o : d'oi'i plnralilc de ty|)ea d'équations qu'il laudi-a étudier les uns api-ts les autres. Quelle que soU, cependant, la Torme prcmièie sous laquelle se présente une équation, nous cliercbcrons toujours \ la transformer en une a iqaation polynomalc a, c'est-à-dire en une é({uation F ^ o, où F est un polynomecii j;. y. ;,... Comment cette transforma tien se trouve être possible, c'est là un fait que nous devons renoncer a expliquer ici. Notons seulement qu'avec plus ou moins d'adresse, les algébrislcs surent de bonne Iieure ramener toutes les équaUons aux- <piellcs ils avaient alTaire (') à des équations polynomales : de U vient

l'I On peut démontrer rigoureuiemeiit que cette traDsIonnatian Mt toujours pouible ai F e«t une expression algébrique au seiw du n° 37<|

nÉSOLLTH»! DES ÉÇIATIOS» P0I.T50MALES 3^7

que la résolution de ces dernières éqiialtons (atixqueltes fut réservé le nom ttéqualions adjêbriques) Tut longtemps considérée comme le problème fondamental de l'algèbre (vide supra $ /).

334. — On dit que l'équation polynomale (') F ^^ o est orrlonitée lorsque le polynôme F est lui-même ordonné (par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de x, ou de x et y, ou de x, y et i, etc.). Le de^ré de l'équation (en x ou en x et y. ...) est le degré de F. D'ailleurs on reconnait TacIIement que l'étude des équations est d'autant plus compliquée que leur degré est plus élevé Nous commencerons donc par considérer les équations ou syslt'ines d'équations polynonialcs de plus bas degré.

335. Équation du premier degré A une inoonniia. — J'appelle ainsi l'équation F (x) =^ o où F est un polynôme du premier degré en x. Itéunissant dans le polynôme F les termes qui contiennent X et ceux qui ne le contiennent {tas, je uicts l'équation sous la forme (')

(a) ax -t- b = o

égalité où a (coefficient de x) et 6 (terme indépendant), peuvent être des expressions algébriques quelconques dé|)endaiiL de nombres sup|>osés connus (\oir n" 304) ; les nombres a et b, considérés ensemble, sont dits coefficients de ('équation.

L'équation (i) admet-elle des solutions? On voit immédiatement quelle en admet toujours une et une seule, et que cette solution est X ^: — - .

'cf. infra p. 386, note i); les équalions transe end a nies, dont noui parleraiu au S i<i, no peuvent pas, par contre, Stre transjorméea en équations polynomalei'.

(') Si l'exprcsiion do F no contient pas d'autres letlrrs quo cellei qui rcpréientent lea inconnues, l'cqualion F = ii est dilc numérique,

(-) Cette forme est la jorme générale de [cquation \n\ laquelle sera ■oiivcnt appelée équation générale de premier ilcgré ; il suElit de donner k aet k b des valeurs purticiiliires pour que l'équation généralo devienne telle équation numérique du premier degré que l'on voudra. Ainsi les

sont des équalions du premier degré écrites sous la forme {■?.).

SaS LE C&LCtJL ALGÉBIttQUE

En «tTet l'équation ax + 6 ^ o est 'uUnttque (304) à l'équatioD a (x + ~) =^ o, qui est elle même éqaîvaUnle à l'éfjuation a; H — ^^ o (n° 330), ou a: =^ — - .

336. — Ainsi nous obtenons d'un Irait de pliune la racine d'une équHtion mise sous la forme (2). Comment se fail-il donc, se demandera- t-oii, qu'il ait fallu tant de siècles (■) pour dégager ce résultat, et que l'cxpnsé en tienne lant de («iges dans les anciens ouvrages d'algèbre? La réponse est facile à donner si l'on se rappelle ce que nous avons dit au $ / du présent chapitre.

La difficulté n'était point, pour les premiers algcbristes. de tirer X := — - de ûj: -t- /» =^ o : elle portait sur la préparation que l'on

doit faire subir à «ne équation pour la mettre sous la forme (a). Cttte préparation, sans doute, s'effectue fort aisément grilce aux règles de Iranx/ormation que nous avons indiquées au S ^ : mais nous avons supposé, en énonçant ces règles, que nous avions le droit de traiter de la même manière, dans tous nos calculs, les nombi-es rationnels et les nombres irrationnels, les nombres positifsetlesnombresnégatifs. Or.c'est là uneliberté que tes disciples des géomètres anciens ne se permettaient pas de prendre. C'est pourquoi les règles de transformation étaient pour ces savanis beaucoup plus nombreuses et plus compliquées que pour nous (') : on pourra s'en rendre compte en lisant ci-dessous les n" 339 et 343.

I<) La concoplioD nette et dcfinilive de l'équalion générale du premier degré à rncine positive ou négative, ne le dégagea qu'au xvii* sièdi!; elle apparut diiiis la Céomélrie de Descautls ( i^jj).

{'] Nous avons vu d'ailleiira que la rcprcscnlnlion par des lettres d» quantités connues mais indéterminées — tdlca que les coefdcienls a, b de l'équation ax + b := u. — [quantités dont la valeur numé' rîquQ n'est pas spécifiée', était l'une des innovations introduites par ViÈTE. Avant la fin du \vi' siècle, il pouvait ^trc question de réaoudrft des équations du premier degré, mais non de formuler des règles applicalilcs à Viquation générale. Comme, d'ailleurs, on ne réunissait pas d'ordinaire les termes en .r en un seul ainsi que nous l'avons fait cidessus, les équations résolues se prisontaieiil sous des formes diverses telle* ^ — - —

nÉsor.uTio:i des équations poly.no m a les 33^

Une A nlkolo;jie composée au m' oiiiv* siècle après J.-C, nous a conservé de curieux énoncés d'cijualions du premier degré résolues par l'école de DiopLante (').

Un énoncé présenté sons forme d 'épi ta phe nous dit, par exemple, (r que Dioplinnle pasisa la sixième partie de son Âge dans la jeunesse, un douzième dans l'adolescence, qu'après une septième partie de son ^ge passée dans un mariage stérile, et cinq ans de plus, il eut un nis qui mourut après avoir atteint la moite de l'âge de son père, et que celui-ci ne lui survécut que de quatre ans. Ainsi il s'agit de trouver un nombre tel que son tt*'"», son la*"", son "*'"" avec û, sa moitié et 4. tassent ensemble lo nouibre tout entier('). » .\pj)elant X le nombre inconnu, nous avons l'équation

La solution est x := 8'|.

Autre exemple : « Dis-moi, illustre Pvthagore, combien de disciples r^qucntenL ton école et écoutent les instructions. Le voici, ré[iond le ptiiloso|>lic ; une moîtiéctudieles mnlhématiques; un quart la musique, un 7* garde le silence, et il y a trois femme»

(1) Parmi les malliématicîens grecs que nous est le «eut qui nit posé le problèmo de la résolution îles équations en termes arilhniéliques et non géométriques jet, supra, 372] ; Dîophante ne consiiléro que dc:t tiqiiations numériques t^^i) '• m.<is ses résultais n'en ont pas moins une portée générale (et. p. -i--;, note 1!. Ajoutons que Diophante avait siirtout en vue la rcclierche des solutiuns entières ou rationnelles [vide »" ■t6).

l'i Traduction MoiHiicla lliat dti math., i7r>R, I, p. 3iS:, Voici la traduction laiine du même cnonié donnée par BacheC de Méziriac [Diophanti Alej. quatî., iH'o, I. v, p. 'J70 .

Hic Diophanlus habet lumulum, qui Untpora vita

Itlius mira dénotai arle libi.

Egit ttxlaniem juvenis, lanugine mataa Vettire hinc cœpit parle duodecima.

Seplanle usori poal htec sociaiur, et anno Formosu^ quinto naacitur inde puer.

Semiisem xlalia postquam alligil ille paternx,

Infetix subita morte peremplu» obit.

Quatuor asiates geiiitor lugere auperste»

Cogitur ; hinc annos iUiua aasequere.

330 LE CALCCI. ALGÉBKIQtJE

par dessus. Ainsi, il s'ugit de Irouvci- un nombi'c dont la moitié, le qimi't, le 7° et 3 Tassent le nombre liiï môme ». On 11 :

<I'oii l'on Lire x ^ a8. — « L'Anessc cl le MuleL faisnieiit voyage (ensemble ; l'Ancsse se plaignait. De quoi te plains- tu, dit le Mulet? Si lu me donnais une de tes mesures, j'en aurais le double de loi; et si je t'en donnais une, lu en aurais autant que moi. Combien en avaient-ils clincun?(')i). — Tels était les problèmes qui se transmirent pendant des siècles dans les écoles d arîtbméliqne de l'Orient et de l'Occidcnl. On remarquera que luus ces pix)blèmcs ont pour solutions des nombres positil's rationnels.

337. — Moins Rcrupnleux que les Grecs, les Hindous(') n'bésit'iicnt pas à introduire des nombres relatiTs dans leurs calculs; ils avaient imoginé, d'autre [larl, tin gmnd nombi-e de i-ègles ou procédés pratiques qui fucililent et accélèrent dans certains cas la recliercbe des racines des équations. Voici, [tar exemple, une de leurs règles usuelles, règle qui était déjà familiùtc aux calculateurs de l'ancienne Egypte | le Papyrus Hhind en fait foij : c'est la règle de la fausse position {régula JiiUi) :

Soit ti résoudre une équation de la tonne

ax -i- lij' -\- ex -t- dx ^ t,

où, a, h, c, (/. e Font des quantités connues (lu règle est la même quel que suit )u nombre de ces quantités). Prenant au lissard un nombre que nous désignerons par x,, on le porle & la place de x dans le premier niombrc do l'équalion. Si X\ élait racine de l'équation, la somme «c, -t- Ax, -H ex, -+ dx\ ourait pour valeur e ; mais, au cas où x, n'est |)ns racine, celte somme se trouve avoir ime valeur e\ (que l'on calcule), ditTércnle de c. Cela poséla règle est la suiv.tntc : la valeur inconnue de x esi égale à texpres-

sion e' ' : en effet, l'inconnue x, délinie par l'équation pro|>osce, Ci TraductiDn Monlucln, loc. cil., p, Isa-îal.

nÉtOhVTtOTI OBS ^QUATIOSS POLY!<OUALES 33 1

a évidemment pour valeur ~~—l 1; or. d'autre [inrt. nous

avons, par liy|)olIièse (a + b -\- c + d)xi = i;.

La valeur e ~ est facilement calculable lorsqu'on a déterminé la valeur e^ ; en choisissant convenablement le nombre arbitraire Xi on peut souvent rendre les calculs très simples. La régala falsi, cependant, n'est plus enseignée aujourd'hui, car, (Ktur nous qui connaissons la théorie générale de l'équation du premier degré, elle n'a plus aucune vertu spéciale.

338. Equation du BeooDd degré A une Inconnus. — J'appelle ainsi l'équation F (j;) ^= o où F est un polvnoaie du second degré «n X. En ordonnant ce polynôme, je puis uiettre l'équation sous la forme

(3) ax* •+■ bx -i- c ^^= o.

égalité où les coefltcïents a. b, c (appelés coefficienls de l'équation) peuvent èlre des expressions algébriques quelconques dépendant de nombres supposés connus.

L'étude de l'équation (3) sera facile si l'on utilise les identités .<XVI) et (XVII) données au n" 306.

I" Supposons que le nombre b* — ^ac soit positif. Alors l'ideniilé r Wll) nous montre que, pour que le trinôme ax' + 6;r + c

soit nul, il fautetilsuflilque l'onait: soit x+ -"^^ — ^ — ^^^o,

soit : X -

Nous en concluons que l'équation (1) a deux racines (' )

- /(*' — i ac , — 6-1- ijb*

Remarques. — Pour abréger on convient souvent d'écrire que les racines de l'équation (^} ont pour valeurs ~ , le

l'I Pour calculer, dans la pra ique, les racines il'uno équation du second degrë, il aurfira da mettre l'équation loua l.i forme (?). On aura alors ieà valeurs de a, b, c ot, en parlant ce* vaUurt dan$ let exprtuions dei racine donniet par Us formula (4' . on aura lei valeun de» racines x'

333 LB CALCUL ALGÉBIIIQUE

symbole + (qui se Ht plus ou moins) indît)(iant que l'on peut prendre devont le radical, soit le signe -)-, soit le signe — .

Il résulte immédiatement des expressions des racines que la aommejj' + x'eslégaleà ^^. D'ailleurs, d'après l'identité (XVIl) et la définition des nombres jf et x'. nous avons l'identité : (5) aa* -t- tu- c = a{r — y^)(r — x').

En développant le second membre, nous obtenons :

ax' -\~ bx -i- c =^ ax' — a(x' -(- x" 1 1 ■+■ ax'i',

el nous concluons alors du n° 313 que — a{3^ -+- x') est égal à b et que ax'x' est égal à c. — Ainsi la somme des racines de téi/aa-'

U'on (3) est égale à — ; leur produit est égal à ■

a" Supposons niaintenant que le nombre 6' — 4"^^ ^'''' 'tégatî/. Alors, dans le second membre de l'identité (XVI) [n° 305], l'expression eulrc crocliets eil la somme d'un carré (toujours positif, n" 135; et d'un nombre positil : cette expression ne peut être nulle pour aucune valeur de x, et Véquation n'a pas de racines.

3» Soit enfin 6' — liac égal à zéro. Alors l'identité (XVI) se réduit h

„- + fe + , = ,,(»+>-V.

Pour que le trinôme soit nul, il faut et il suffit que x soit égal à — —; donc l'équation a une racine unique. On dit souvent, en ce cas (pour des raisons que nous expliquerons plus loin) que

et X. Il est parfois commode d'iillliaer d'autres formulci que les {ormules (4). Posons, par exemple, 6 =- aft' : alors notre équation s'écrit

iules (i) donnent pour expressions des r

— 6' ± l/fî^

trinôme par a et posons - »= p, - ^ q : noire équation est évidemment équivalente à l'équatjon x- + px + g =; o, qui

IIÉSOLUTIOX DES ÉQUATIONS POtTKOMilLBS 333

l'équation (3) a une racine double ou deux racines égales (ayant

pour valeur 1 : on peutalorscontinucràdéclarerque In somme

des racines Idotiblede — —1 est égale à , et que leur produit

(carré r-ïj estégalï - dans l'hjpothèse actuelle, -^^t—î puisque 4 ac — 6' == o).

339. — La résolution des équations du second degré donne lieu aux mËmcs remarques que celle des équations du premier degré. Les formules (i) sont faciles à obtenir ; elles étaient familières aux Hindous (') et les Grecs en avaient l'équivalent; mais l'interpré-

l') Bbaikara dit iVija-Ganila, cfa. v, trad. Colebrooke, p. 3ifl) que la règle lournissant les deux racine* a été formulée par l'algébriite P&DHANABBA. La nature des problèmes qu'ils traitaient — problème! concret! pour la plupart • — empêchaient cependant les algëbmtcs hindou* -de regarder comme i-(;alcment acceptables deux «olitlions ou racines de signes difféTenls, et îla ne retenaient donc que les racines positives. Voici un exemple ilVqualion du Eci:orid de(>rè résolue par Bhaskaha {LHatali, «hap. III. trad. Colehrouke, p. 6N ; ct.Vija-Ganita, chiip. v, ibid., p. 313) : « La racine carrée de la muilic d'un essaim d'abeilles s'est rendiic sur une touffe de JHiinin, et les huit-neuvièmes de l'essaim s'y trouvent aussi ; une femelle seulcmi'nt est resli:c et bourdonne autour d'un mfile <|ui hume uno fleur du lotus dont le partum l'a attiré. Dis, charmante femme [Lilavati, vide, p. 277, noie 'j , quel est le riotnbrc des abeille* >. —

Appelant x ce nombre, nous avons l'équution k/^- -|. .^ -f. 3 ^ x,

ou, (en retranchant --(- 3 des deux membres', l'équaiion équivalente

4/- ^ 3. Si les deux membres de cette dernière égalité sont égaux.

Va 9

il en est de même de leur* carrés, donc

len Yertu de l'identité (I) du n" agG, appliquée à ( — ^) 1- Nouse: déduisons l'équation du second degré

dont l'inconnue x sera racine. En appliquant les formules {i} on lrouv< que celte équation a uue racine enliùre (ut une sculemoutj égale i 7:).

33i Le CALCUL ALCtDKIQLE

latîondeces formules pour toutes valeurs positives ou négatives (Icscoeiricienis a, b, c, ne pouvait pas être faite — ou du moins regardée comme ayant une valeur et une significalion rationnelles — avant Descarles et Fermai. C'est pourquoi les traités classiques du ivi* siècle, se conformant en cela aux traditions de l'algèbre géomL-trî<]uc [ulilc infrn. n° 521 et suiv.) distinguaient, et étudiaient l'un après l'autre, plusieurs types d'équations du second degré :

i* Ei/aalioits qui se ramhienl à la forme A'x' -t- IVx ^= C (.V, K, C étant des nombres positifs), ou, si l'on veut, A lajorine X* i-Hx = C [car en divisant les deux membres de l'équation par un môme nombre A', on obtient une équation équivalente, et l'on

peut poser ^, —. B, ,, ;= C|. D'après ta formula (i). où l'on fait

« ^= I , fc = B, c =: — C, l'équation de la forme x' -^ B.r = ; C a

toujours une ') racine positive égale a — - - .

a" Eiiualions r/iii se ramènent à lu forme lix -h C -= x* (B, C [msilifs'. L'équation de c?tte forme a toujours une racine positive :

— -- . \Jn («ut reinar(|iier que celte racine est toujours »ui>crictire à B.

3" Ef/iiallons qui se ramènent à la forme x' -i- (^ = Bx, Trois possibilités se présentent alors. Si B' > .\C l'équation a dcuï racines iMsitivcs égales à - .^^ ■' , Si B' ^= 4C, l'équation a

uni- racine unique . Si jC > B'. l'équation n'a pas de racines ('). •

340. Les Irois Ij-pes d'équations ninai dislingues par les Grecs sont aujoiird'liui fondus en un seul type, et les formules (4) siifliscnt il l'nlgéliriste nioilcrne pour calculer les racines d'une équotion quelconque du second degré. Mais ces formules appellent une remarque que noua avons déjà faite au n" 279. Lorsque nous écrivons les foruiEiles .'(), nous nous intenllsons de faire aucuue hjpotlièse sur la nature des nombres n, b, c. Il se peut donc que nous écrivions des choses dépourvues de sens, puisque si le nombre

l'I L'algùbrislo moderne njoiiic qu'elle a aussi une racine né^tive. l'! Voici comment LtCA Pacii'olo énonce le* règles rclalires à la riio-

RÂSOI.UTIO:) DES ÉQLATIO^S POl.TIIOlljVLES 335

b' — iac est oégalif, le symbole /b' — ^e ne rcpi-ésente rien do tout. Cette éventualité ne nous empécliero pas d'écrire les for^ ■oules (4) et de les considérer comme i-cprésentant en tout cas les racines de l'équation du second dc^'ré. Lorsque le symbole ^b' — hae sera déjxiorvu de sens, nous dirons que les racines sont i< imaginaii-es », ce qui équivaut h dire qu'elles n'existent pas. Grâce il ces conventions nous pourrons rassembler dans un seul et mëroc éDoncé tous les cas qui peuvent se pi-éseuter :

Qaels que soient les coefficients a, b, c, Féqaallon (3) a pour racines les nombres x' et x' donnés par les formules {!i). Ces nombres sont réels et itifférenls, réels el éijnux, ou imaginaires suivant que lu quantité b* — àac {appelée discriinÎDaQt <le téqualion) est positire, nulle ou négative.

34i. — Nous pouvons ajouter que les racines ont même signe

ou des signes contraires suivant que leur produit ~ (voir n° 338)

est positif ou négatif. Si elles ont méniu signe, ce signe est celui de

leur somme --

I ilion do ces troH types il'cqualiaiii Summ/i dé Arithm., i^iil, loi. i^ri). Prim i canonis ver$u«.

Si r«s et eenaua numéro coiequanttir, à rebu» Dimidio tumplo eensum producere dtbes.

Addereque numéro, cu/'im à radiée totiena Totle semis rerum : eeiiaus latusque redibit. Secundi canon» >w«u.i.

. El ai cum rebut dragma quadrato parée aint,

Adde ticut primo nunurum producio quadrato. Ex rébus mediii. ejusque radice reeepl/i. Si rebut mediis addei, eensus patefiel

Tenu canonia versus.

At si eum numéro cenaus radicea scquabit, Dragma» à quadrato deme rerum medietaruni, Cujusque aupererit radicem adde trahere A rebut mediii; au cenaua coata noieacet. Traduction : Si l'inconnue lun multiple de l'Inconnue, llx] cl on carré égalent te nombre connu tC', torme te carre de la moitié du nombre dii prcmièrci puiuances do l'inconnue [c'esl-a-dire le carré de B>, ajoulo ce carré ou nombre connu (C', et de In racine carrée de l'expression oblenue retranche la moitié des premières puissaoccs de l'inconnue {de B) : le résultat donnera le carré inconnu <j^'] et ion c6t« ix''', etc. — Le mot dragma est synonyme de numerua et gipiific : nombre connu (C}.

„Googlc

336 LE CALCUL ALGKBUIQUE

342. ËquattoQ du troisième degré — .l'appelle ainsi l'équation V{x) = o, où F cal un polynôme du Iroîsième degré en x. Les Grecs et les Aitibes (') ont étudié plusieurs équations du troisième degré qu'ils ont rattachées h des problèmes géométriques. Mais c'et>l au xvi' siècle seulement que l'ut constituée la théorie générale de ces équ.ilions (').

Le savant italien Scipion Ferro, qui professa à llolognc de 1^496 à i[)26, trouva le moyen de résoudre al^'ébriquement l'équation

(6) x' -t- Ai = Il (A et B positifs)

et il en avisa quelques amis. Quelque vingt ans plus tard, Nicolas Tartaglia de Itrescia entendit parler du résultat obtenu par Scipion Ferro et se proposa de le retrouver. Il résolut ('), à son tour, l'équation (6), puis le lendemain, nous dit-il, l'équation

<7) i" = Ai -H B;

quant h l'équation

elle lui parut pouvoir être ramenée k l'équation (7) par une transformation facile.

343. L'équation (6). — La solution que Tartaglia a donnée de t'éqiiatioii (G) est voisine de celles que formulent aujourd'hui encore nos traités d'algèbre. Pi-enons provisoiiemenl deux inconnites auxiliaires y et 2 telles que y — ; = lï et jr = U ) ■ Ces deux inconnues seront déterminées par une équation du second degré

(I) Fil particulier Omar Al Khavïam yide supra, p. 278, noie j].

(-) Nous verrons plus loin iii° ïj;) commmit toute équation du troîaième degré peut Strc trunsfonnée en une dqualion {(i), I7I ou [H'. C'esl là une propriété qu'on avait sans iloute remarquée de Lonua heuru el que Cardan a précisée.

1') Les reclierches de Tabtacli a sur l'équation du troisième degré et acs répliques & Cardan [vitU infra n" iVil se trouvent dans un ouvrage intitule : Delli quesiti et imientioni diveru dt Nicolo Tartaglia Bresciano, Venise, i537, réimprimé danali:» Opéra del jamosUsimo Nicolo Tarlaglia, Venise, i6oli, Bibl. N., V. Oj-fi [Voir le Liv. iX, sur l'Algèbre . et maisime EOpM le Regole d» cose u cubi eguali a numéro, dal présente Autoro

RigOLUTIOH DES ÉQUATIONS POLTI*OMALES 337

que l'on sait résoudre : en effet, si l'on remplace z par y — B dana l'égalité yz = ( 3 ) . on a l'équation du second degré en y,

qui donne pour l'inconnue y une valeur (racine) positive supérieure à B (voir n° 339, a'); il en résulte pour z une valeur positive (y — B). Cela posé, je dis q»ie le nombre x' = \/y — y/z est racine de léqaalion (6). Calculons en effet le cube de ((/y — \/î) [ou \y' — z *)J en appliquant le formule (III) du n* 396 ; nous avons :

et par conséquent j puisque y — z =^ B, y' z^ ^ ^ j :

x" = B — Ar' ou a:' ■+- Ai' = B,

ce qui démontre la proposition énoncée (').

344. Ii'Aqnation (7). -~ L'équation (7) peut être résolue, elle aussi, par un procédé analogue. On détermine tes valeurs de y et z par les conditions

(') Tabtaglia résume dam les vers Buivanti la règle qui donuâ la solution de l'équation (6) {Opère del Famoaiasimo NicoUt Tartagtia, p. 366) :

Quando che'l cuba, can le co>e oppressa.

Se agguaglia à qualche numéro ditcreto :

Trovan dui altri, di/Jerenli in eiso

Dapoi terrai, queato per eoneueto,

Che'l lor produtlo, sempre sia eguaU

Al lerso cubo, délie coae neto,

El residuo poi auo générale,

Delli lor lati eubi, bene soatralli,

Varrà la tua Case principale ; ce qui lignifie (traduction libre) : Si Je cube [x'), plua un muliple [Ax] de la chose {inconnuel rat égal à un nombre B, déterminona, par les méthodes habituelles, deux nouveaux nonibres différant l'un de l'autre de B nnitéa et dont le produit sait le cube du tiers du coefficient de la chose b alon la diOérence des racines cubiques de ces deux nombres auxiliaires est la chose principale cherchée [l'incomiue se].

Bouimem.. — Lm Prioaipei i» I'AmI^ mithémitiqug. ii

33S LE CALGVL AtGÉBBIQUE

et l'on constate que le nombre x' = \/y + \fz est racine de l'équation (7).

Mais ici se présente une difficulté que Tartaglia n'a pas approfondie. L'inconnue auxiliaire doit être racine de l'équation du secoad degré

or, cette équation ne peut être résolue que si B' > M3 1 [voir les remarques faites à la fin du n" 339 sur l'équation x'-l- C^Bœ]. Lorsque B* est inférieur à M j I , la valeur de y n'existe plus (est B imaginaire n). Faut-il en conclure qu'en ce cas l'équation du troisième degré (7) n'a pas de racine ? Ce serait se tromper gravement : non seulement l'équation a une racine positive comme au cas oîi l'on supposait B' < 4( , ) , mais elle. possède en outre deux racines négatives qu'elle n'avait pas alors. C'est ce que nous allons vérifier en suivant la voie indiquée par François Viète ('). On déduit des formules de la trigonométrie que, si l'on désigne par II un nombre positif quelconque, on a (')

(9) cos 3u = 4 cos' « — 3 eoï u.

Mettons alors l'équation (7) sous la forme

(10) :r' - 3r*x = kr^

en posant r = i/^ h = ^ , d'où A ^ Sr', B = Ar».

(') Franeitei VieUe'Fonlerueeruù De mquationum recognitione et emenda- (ûrne |i5g]), publ. en itiiS, ■ At elegantius, dit Viàis (p. 12, cf. Optra, éd. Schooten, p. qi), et piCBstantiu* ex andyticis Angularium lectianum hujut modi «qualitatum coutitutio eruitur >. Et il indique comment l'équation 3ooa: — x* = 433, par exemple, a pour racines les nombres 9T+ ^^ ^t 9 — v^ l'a troisiime lacine ett — 18) [guwn diettur 3oo N (3oa fois le Nombre inconnu) — 1 C (Cube de l'inconnue] «qumi 4I3, fiel vnu» nununu g + ^'37 vel g — /Ï7; .

(*) On obtient cette égalité en appliquant à cos 3U, sin -JU, cos 3u, 1m fonaules du a" iG!i donnant cob (a + bf, sin (a + t), et remplaçant sin* H pwji — coi» u [n" i53). - Cf. in/ra, a" 382.

RÊSOLUTIOK DBS ÉQUATlOnB POLTHOHALBB SSq

Dans l'hypothèse oùB»<4t j) , on a (/ir')' <iir*; d'où l'on conclut (en extrayant les racines carrées et divisant par r* les deux membres de l'inégalité) : A < ar ; donc le nombre — est, dans le cas considéré, inférieur à i , et l'on peut toujours trouver une abscisse curvilique v dont le cosinus soit égal k — ; nous détermineroDS celte abscisse curviligne au moyen d'une table trigonométrique et nous remplacerons h par l'expression 3 r cos v dans l'équation (lo). Cela fait, je constate que l'équation (lo) [équivalente à (7)] sera satisfaite si je donne à x le valeur

X '= i2r cos ~ ; j'aurai en ^let :

- ir'x = 8r' cos' 5 — 61^ o

-[hcos^l-icosiy.

or Ar', égal à 2 r' cos i' par hypothèse. se trouve égal à ar" { 4 cos' «

— 3 cos «j d'après l'égalité (9) : j'en conclus que x' — 3r»x est bien égal è kr' comme le demande l'égalité (10).

Tel est, traduit en notations modernes, lecalculefTectuépar Viète. Ce calcul nous montre, si nous nous référons & la trigonométrie moderne, que réqualion(io)possèdefroùrac//ies. EnefTetO.siun

arc V a pour cosinus le nombre — ; , les arcs v ■+- afcit et — c + aht (où k est un nombre entier positif ou négatif quelconque) ont aussi le même cosinus et peuvent remplacer l'arc ti dans notre raisonnement. Nous en concluons que toutes les valeurs

u ■+ afen , — u -*- afrtt ,,, v — a/m ar oos =, et ar cos « — ^ ou( 1 ^f" cos s

sont racines de l'éqnation (10). Ces valeurs se réduisent ii trois :

(') C«tt« dkcuMion ne put, bien entendu, être faite que longtemps après VÙTE, qui no dbposaitpaa de la notion générale d'abscisse curviligne a9eet4e de signe ; elle lut donnée par Claibaut, Ekmena d'algèbre, Paris, 1746, Part. V, chap. vu, p. 3(18-9.

(') On sait, en eQet, que, quel que soit l'arc u, on a cos ( — u) = coa u.

3jO LE CALCUL ALOéBUQUË

en effet tout arc 5 (où k est un nombre entier quelconque)

est égal à l'un des arca a ■ — ^ — . — ^ — plus ou moins on multiple de an, et a par conséquent mfime cosinus que l'un de ces trois arcs (') (cf. n- 159).

345. L'équation (S). — En cherchant k ramenei l'équation (8) k une équation de la forme (7). Tartaglia devait se heurter h des difficultés plus graves encore que celles dont nous avons parié tout à l'heure; aussi est-il permis de douter qu'il ait eETectivement accompli I4 transformation qu'il indique (voir n* 343). Pour mettre hors de doute l'existence des racines (positives ou négatives) de l'équation (8) il faut employer d'autres méthodes que celles dont disposait Taitaglia; on pourra, par exemple, suivre ta voie indiquée par Viète et recourir k un calcul trîgonométrique : on constatera alors que, suivant les valeurs relatives des nombres (positifs) A et 6, l'équation (S) a une ou trois racines.

346. ReotaerchM de Cardan; notations modernes. — C'est en i535 que Tartaglia s'est occupé des équations du troisième degré. Cependant il se refusa à publier, ou même à communiquer, ses résultats; en i539, seulement, cÂdant k l'insistance de Jérdme Cardan, il livra à ce savant les vers quelque peu énigmattques que nous avons reproduits plus haut, tout en lui faisant jurer de ne jamais divulguer son secret.

Sur les indications qui lui furent ainsi fournies. Cardan se mit au travail. Il montra comment toute équation du troisième degré peut être transformée en une équation de l'un des types (6), (7), (8); il approfondit l'étude de ces types avec son disciple Laigi Ferrari (i522-i565), et, en maniant sans scrupules — fort habilement d'ailleurs — les quantités négatives et môme imaginaires (racines carrées de nombres négatifs), il surmonta certaines difBcultés dont certainement n'avait pas triomphé Tartaglia. En i5i5.

(*) On p«ut remplacer le troisiâme par la valeur égale v coa -■ ^--

RfSOLDTIOH DEB £qUATIOII8 POLYnOHALES 3jl

Cardan Gt coDnaltre, dans son Ars Mag/ia(videchBLp. zi et suivants, p. So-sqq.), ce qu'il savait de l'équatîoa du troisième degré. Estimait-il que l'importauce de ses recherches personnelles sur cette équation lui en donnait le droit P Ou croyait-il savoir que le secret de 1539 — qui, après tout, appartenait aux amis de Scipion Ferro avant d'appartenir à Tartaglïa. — avait, après six ans écoulés, cessé d'être un secret i* Quoi qu'il en soit, Tartaglia accusa Cardan d'avoir violé son serment, et il s'ensuivit une ftpre polémique entre les deux savants et leurs disciples (').

Après les recherches de Cardan, cependant, et, surtout après celles de Viëte, les principales questions soulevées par l'équation du troisième degré se trouvèrent résolues, — du moins résolues autant qu'elles pouvaient l'Être avant que fût constituée une théorie rigoureuse des quantités imaginaires.

347. — Énon^ns les résultats fondamentaux qui furent le prix de ces longs efforts.

L'équation du troisième degré a pour forme générale :

(11) ax' + 6»' -t- ca: -t- rf = o,

les coefficients a, b, c, d pouvant être des expressions algébriques quelconques dépendant de nombres supposés connus.

Une transformation simple permet de passer de la forme (n) & la forme

(la) i' -h px* + 5 = 0.

En effet, l'équation (11) est équivalente è le suivante :

(') Entre Tartaolia etlFEniuRi, eu particulier. Dans cette polémique, Tartaglia n'eut pai toujoun le beau rAle. Ansii n« manquat-on pas de l'accuaei d'avoir fait passer pour sien ce qu'il tenait des digdplea de Scipioh Fehro. — Les pièces principale» de la polémique, qui ■ont des lettres échangées par Tartaglia et Ferrari, ont iXé imprimées (un exempbire du recueil de ces lettres «e trouve au BritUh Mutaum^ 8533, bbb, 17).

34a LB CALCUL ALQ^BRIQUB

Faisons le changement d'inconnue x := t — *-; l'équalidn devient

/, 6\' b/, b\* cl, h\ d

Développant le cube et le carré d'après les formules du d' 396, et ordonnent par rapport & i, nous constatons que le coefUcient du terme en i* est nul, et nous obtenons l'équaUon :

équation qui est de la forme (la) [l'inconnue s'appclant i au lieu dex]. Si donc on sait résoudre l'équation de la forme (la), on saura, du même coup résoudre l'équation (ii). Nous pouvons, par conséquent, nous borner à l'étude de l'équation (la). L'équation (i3) a toujours ane ou trois racioes. Od démontre qu'elle a une racine lorsque 4/)* -*- 27^' > o, et trois racines lorsque kp* -+- 37*^' < o.

Pour résoudre l'équation, en emploie d'ordinaire dans le second cas une méthode trigonométrique, (elle que celle de Viète, et, dans le premier cas, la méthode de Tartaglia, que l'on applique généralement comme il soit (') :

Posons y-\-t = x, Zyz ^p,ce qui revient! faire le changement d'inconnue (n° 330) x = y + ^ ■ Remplaçant x par cette valeur dans (12) ou a une équation en y qui, si on y regarde y' comme l'inconnue, est du second degré (cf. 344) ; on remarque que le cube z' {z étant défini comme il a été dit) satisfait h la même équation, en sorte que les deux racines — " ^^~\\ "*" ^ *^* ^'^ équation donnent les valeurs cherchées y' et z* ; donc, on a :

Dans le cas où 4P' ~*~ ^7?* =^ '3> '^^ constate que l'équation a une racine double (comptant pour deux) ; elle a en outre ane racine simple.

{') Cf. une lettre de Huygbnb àSchootbn, Œw. deffi^geiu, La Haya^ 1888, I, p. 33o.

RÉSOLUTION DES ÉQUATIOIIS POLinOMALES 343

348. Propriété* des racinas. — Plaçons-nous dans l'hypothèse où l'équation du troisième degré, mise sous la forme (i i), a trois racines et désignons ces racines par les lettres affectées d'indice X,, Xt, Xi, ...

On vérifie (') que (quelle que soit la valeur de x) l'on a l'identité :

(i3) ax* ■+■ fee' + ex -^- d = a(x — Xi)(3; — x^{x — Xj),

D'ailleurs, si l'on développe le produit du second membre, les coefScients dm mêmes puissances de x sont nécessairement égaux dans les deux membres (cf. 338) : on déduit de là l'énoncé suivant :

Quelle que soit l'équation proposée (ii) la somme des racines

(xi -f- a;, + xt) est égaie à , (a somme de leurs prodails deux

à deux {xiXi + XtXi + XiXi) est égale à - , leur produit (xxX^t)

349, — Nous n'étudierons pas en détail l'équation du qualrième degré

ax' •+■ bx' ■+- ex' + dx + e ^ o.

Nous nous bornerons h indiquer (aux notations près que nous modernisons) la première méthode de résolution de cette équation générale qui ait été proposée, celle de Luigi Ferrari, élève de Cardan (•).

Divisons l'équation par a et faisons le changement d'inconnue x^ t — j- (cf. n" 347) ; un calcul facile montre que l'équation transformée est une équation polynomale en t, du quatrième degré et ne contenant pas de terme en ('. i4[rui, moyennant an changement d'inconnue, la résolution de toute équation du quatrième degré

V(') Catte vMfication tjmlta des valeun des racinM que l'on a calcu- Ues, Noua reviandroni d'ailleon au g 6 lur l'identité (i3) [que I'ob peut établir a priori] et sur tes cou séquences.

(*) ■ Qui tara — dit Caidon — nu roganla iiwtnit i [An mapu, idi. XXXIX, p. 73J.

3ài LK CALCUL ALGÉBRIQUE

peut être ramenée h la résolution d'une équation du quatrième degré de la forme

Pour résoudre cette équation, je l'écris

(i5) X* ^ — mx* — m — p

et j'ajoute & chaque membre le même quantité ^x'z ■+■ z', z étant un nombre que je vais déterminer (définir) dans un instant. L'équation (i5) peut s'écrire :

{16) a:'-Haa:»r + i'={sr — m)i« — nx + (*' — p).

]> premier membre est le carré de (x* + z). Cherchons alors à déterminer z demani&re que le second membre soit le carré de l'expression ^ar — m x ■+- \/z*^ — f : ce dernier carré a pour expression (a z — m) x' + a ^/(a 2 — m) (2' — f) ie -1- (2* — p) ; le nombre z satisfera donc & la condition voulue s'il est tel que

Cette dernière égalité détermine la valeur que nous ' devons donner & z ; elle s'écrit, en élevant les deux membres au carré, puis développant et ordonnant :

81' — 4 niî* — 8pî -t- (4 mp — n*) =: o,

équation du troisième degré par rapport k l'inconnue z ; la valeur requise pour 2 est une des racines de cette équation (on choisira celle que l'on voudra). Une fois qu'on l'a calculée d'après les méthodes exposées aux n<" 343 et suivants, l'égalité (16) donne

; qui exige ('), soit i*

(') D'une manière gtnérale, pour que leg carrés A' et B' de deux quantitca soient égaux, il faut que ces quantités soient égalea ou égales et de signes contraires [puisque le carré de — A est égal au carré A* de + A].

HiSOLVTlOn DES ÉQUATIOKS POLTNOUALES 3^&

Cef deux égalités (puisque z est cou nu) soDt par rapport à l'inconnue X des équations du second degré que l'on sait résoudre (<). Nous laissons de cAté la discussion k laquelle donnent lieu les calculs qui précèdent. Remarquons seulement que ai les deux équations du second degré en x ont chacune deux racines, l'équation du quatrième degré se trouve BToir quatre racines.

350. E^qaHtion de degré queloonqna. — Les algébristes des ivi* et XVII* siècles ont pu résoudre, comme nous l'avons vu, l'équation du troisième degré; ils ont résolu également l'équation du quatrième degré; mais ils n'ont pas réussi k calculer les racines des équations de degré plus élevé, et c'est qu'en effet la chose n'était pas possible avec les moyens dont ils disposaient.

Nous comprendrons la raison de cette impuissance si nous réfléchissons au sens très particulier que les algébristes attachent' à ces mots : (' résolulion d'une équation ». Résoudre une équation polynomale, c'est, par définition, trouver l'expression algébrique des racines en fonction des coefficients de l'équation (n° 318) ; or est-il certain que l'on puisse effectuer sur les coefficients d'une équaUoD quelconque une combinaison d'opérations algébriques qui fournisse les racines de l'équation (')i* A priori il n'y aévidemment aucune raison pour qu'il en soit ainsi, et de ce qu'une chance heureuse se présente pour les équations des quatre premiers degrés nous ne saurions conclure que cette chance nous favorisera jusqu'au bout. Et de fait, la proposition suivante, pressentie par Gauss, a été démontrée en toute rigueur par le mathématicien norvégien Abel (*) : L'équation générale du cinquième degré (i;) a,ï» ■+■ ffl.a* ■+■ a,x' -+- otx* ■+- o,» -h a„ =^ o,

(*) Il Mt un cas où la résolution de l'équation du quatrième degré se ramène immédiat ernsnt à la résolution d'une équation de gacond degré : c'est le cas où l'équation ne contient ni terme en x*, ni terme en x, et est de la forme ax^ + bx* -\- c ^ o; prenant pour inconnue auxiliaire y ^ x', l'équation s'écrit ay* + by -\- c ^ a et eat da deuxième degré. — L'équatiou de la forme ox* + &e' + c ^ o eit dite bicarrée.

(*} C'est ce que (ait obierver Leibmz à eou ami Tschibnbaus, qui taifait des e&orts dcaespérés pour transformer les équations générales du doquième et du aixième degré en équations suBceptibles d'être résolues,

(') Ditermittation de Vimpossibililé de la résolution algébrique des équations géniales qui passent le quatrième degré (iSsBj [Œu>'. d'Abd, éd. Sylow-Lie, t. I, p. 66].

3l)6 LE CAi-CUL ALGÉBHIQVE

étant donnée, il n'est pas possible de former (en combinant des opérations effectuées sur les coefficients «g, ... n,) une expression algébrique qui représente une racine de cette équation ; il n'est pas possible, en d'autres termes, de trouver une expression algébrique des racines, qui soit composée de nombres aritbmétiques, des lettres a,, ai,... ti,, et des signes opératoires classiques -i-, — , x.etc. Nous comprendrons facilement la sigaiûcation de cette proposition d'Abel si nous nous reportons aux n" 67 et 122 de notre Premier Livre. Supposons, pour fixer les idées, que les cocHicients Oo, ... a, d'une équation (17) soient des nombres rationnels; les valeurs des racines (') seront, ^ comme il arrive pour toute équation, — déterminées par les valeurs des coeiKicients a^, .,.%,: mais, en général, ces racines sont — comme les nombres r et « — des nombres qui ne peuvent pas être définis comme résultats d'opérations connues.

La recherche do critères permettant de recoonaître si une équation polynomale donnée, de degré supérieur à ^ est résoliAle par radicaux (*), — c'est-à-dire a des racines calculables par radicaux (voir p. 77, note i)— est l'un des prolèmes les plus importants de l'algèbre. Pour en venir à bout il fallut recourir à une méthode en apparence fort détournée, dont l'invention est due principalement à un jeune mathématicien parisien du xi\* siècle, Evariste Galois ('), mort à vingt ans en i83a.

361. — Etant donnée une équation polynomale de degré quelconque, la méthode de Galois nous apprend, pourrait-on dire (*), quels sont les nombres qu'il faudrait adjoindre aux nombres « ordinaires a (nombres rationnels et nombres calculables par radicaux)

(') Nous admettons que l'équation dont il s'agit a des racines. D'aprèt la a9 35s, elle en a toujours au moins une.

(*} Précisant la question, on devra distinguer entre te cas où toutes le* racines et le cas où une partie seulement des racines de l'équation sont calculables par radicaux.

(^j Le mémoire fondamental de Galois sur la théorie des équations ne fut publié qu'en 1846 : ■ Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux c {Journal de Liouville). La méthode de G:IL0H fait intervenir la théorie des groupes dont nous parlerom ultéijeuremenL

(') Nous ne pouvons pas préciser ici cette indication très vague. On trouvera l'exposé de la théorie de Galois dans les traités d'algèbre ■upéii.»..

PROPRIÉTÉS FONDAHUTÀLES DE l'ÉQUATIOH DB DEGRÉ n i^J

pour que les racines de l'équalion puissent être exprimées par des formules algébriques au moyen des nombres ordinaires et nombres adjoints. Mais ce sont là des questions de haute arithmétique qui dépassent de beaucoup le cadre du présent chapitre. Notons seulement que l'étude de ces questions a conduit à préciser la définition du nombre algébrique : nous appellerons désormais ainsi tout nombre relatif qui satisfait à une équation polynomale (d'ailleurs quelconque) à coefficients rationnels, — c'est-à-dire tout nombre a tel que l'on puisse former une équation polynomale

dont les coefficients a„ ... a, soient de nombres rationnels el qui admette a pour racine. Si « n'est pas calculable par radicaux, ce nombre ne pourra être racine que d'une équation polynomale de degré supérieur à 4t on cherchera alors une équation (18) de degré 5 [n = 5] ; s'il n'en existe pas qui réponde à la question, on cherchera une équation de degré 6, ou 7, ou de degré plus élevé. Si, quelque grand que l'on prenne le nombre n, il n'existe aucune équation polynomale de degré n à coefficients rationnels, admettant a pour racine, le nombre x n'est pas at(jébrique ; on dit alors que ce nombre est transcendant ('). *

- Pn^riétés tondamentales de i'éqaatlon de degré a. Interpolation.

352. — Considérons l'équation k une inconnue, de degré quelconque n, mise sous ta forme générale

(') On remarquera que lea dâfinitions et recherche* auxquelles nous faisons ici alliuion ont un caractère purement théorique. L'algâbriite qui a en vue la r£aolutioa de prohlâmes pratiques n'a nullement besoin de GOBnattre l'axpression algébrique exacte des racines d'une équation. Il lui sntât de déterminer des êxpretaion» algébriques, fonctiom des coefficitntt «., ..., Og, qui représentent les racines de l'équation avec une approximation arbitrainnienl grande. Nous ne nous occuperons pas ici des procédés que l'on peut eroploj'er pour former de telles expressioui.

3^8 LE CALCUL ÀLOÉBKIQltE

Nous avons dit que, si n est supérieur i 4i il n'est en général pas possible de calculer algébriquement, en fonction des coefficients a„, ... Ou, les racines de l'équation (i). Cependant on peut énoncer au sujet de ces racines, plusieurs propositions ijui sont souvent plus utiles k connaitre que la valeur même des racines.

Et, tout d'abord, combien l'équation {i) a-t-elle ou peut«lle avoir de racines? L'algébriste de Leyde, Albert Girard, fut le pre> mier à déclarer, dans son invention nouvelle en C Algèbre (Amsterdam, i6a9),queréqUBtiondedegrénpossèd6nracines('), certaines de ces racines pouvant d'ailleurs être » imaginaires >. Girard allait un peu vite, et la signification des u quantités imaginairas » (voir n° 340 et Chap. t, i 3) n'avait pas encore été, de son temps, suffisamment tirée au clair pour que son théorème pût être rigoureusement établi. Cependant on le pouvait déjà pressentir.