Posons, pour abréger l'écriture

et supposons que le nombre Xi soit une racine de l'équation (i) : je dis que ^on a ridenlité

(3) PW = (i--x,)-QM,

Q{x) étant an polynôme en x de degré n — i.

Faisons, en effet ('), le changement d'inconnue x = x, + u (voir n° 330 et comparer n'^347 et 349) : le polynôme P(a;) devient un polynôme en a (dedegrén) ; b^u" -h b„iU''-' -h ... -f- 6io -t- V [les coeFlicients b„, ... 6o sont des polynômes en a„, . .. a« et x,]; et ce polynôme en a doit être nul lorsqu'on y fait u :^ o, ce qui prouve que 6„ est nul [le lecteur vérifiera sans peine que l'expression de 6o est a„x^, -h a,ix7~' ■+■ .-. + Co. quantité qui est nulle puisque Xt est racine de l'équation (i)]. Ainsi nous avons :

(') ( Toutes lea équations d'algèbre, dit Gibard, revivent autant dt «olutiona gue la dénomination [degréj de la plut haute quantité fpuisBanee] Is démontre o.

t'i La méthode exposée plus bas aux n°' 373-73 conduit aux mimas réaultab.

PBOPRiÉtÊS FOnDAHBHTALBS DE l'ËQUATION DE DBQIl£ n 3^9

Remplaçant u par sa valeur 2 — x,, noua transformons le crochet en un polynôme en x de degré n — i , — polynôme que nous désignerons par Q(x) : nous obtenons ainsi l'idenUlé (3).

Nous énoncerons ce résultat en disant que, si Xi est une racine d* l'équation P(x) =; o, le polynôme P(x) est divisible [') par (x — Xi), le quotient élant un polynôme Q[x) de degré n — i .

Cela dit, appelons xi une seconde racine de l'équation (i). Les deux membres de l'identité (3) seront nuls lorsqu'on y remplacera l'inconnue x par le nombre Xi. Maïs (xi — Xi) n'est pas nul. Donc le polynôme Q(x) est nul pour x := xi [pour qu'un produit tel que (x — Xi) , Q(x) soit nul, il faut et il suffit que l'un de» deux facteurs soit nul] ; j'en conclus que xi est une racine de l'équation de degré n — i , Q{x) ^= o, et que, par conséquent

R(x) étant un polynôme de degré n — 3. On a donc l'identité :

En répétant le même raisonnement, nous constatons finalement que, si r^çuadon (i) a p raci'nw X,. ... x^, on a l'identité

(4) P(ï) = (^ - ^.)- - (^ - *f) ■ SW.

S(x) étant un polynôme de dggré n — p ; on dit que P(x) est dioi-

tible par le produit (x — x,). ... (x — x,). le quotient étant S{x).

354. — Ilrésulte de cesfaitsquer^^uafi'on (i) aauplas n racines : car si elle en avait davantage, le degré de S(x) devrait être plus petit que o, ce qui est impossible. Si elle en a n, savoir Xi .... Xn, le polynôme S(x) est de degré o en x : il se réduit donc k «n nombre constant, indépendant de x; d'ailleurs ce nombre, étant le coefficient de x" dans le développement du second membre de (5), est égal au coefficient a. de la même puissance de x dans le po-

(') a. La Giomilrie de Descahtbs, liv. III {Œw. de Detcarlu, III, p. 445) : ■ que la «omme ^le premier membrej d'une équation qui contient piuMeui» racines, peut toujours Sire divisée par un binôme composé de la quantité inconnue, moins la valeur de l'une des vraies racine», laquelle que ce scàt... ■.

35o tx c\.u:vL alcébhique

lynome identique P(x) [voir n° 312] ; par conséquent, on a Tidenlité ;

{^)P{x)=a„^-^...-\-a,a:^<i^ = a„{x~x,)(x-T,) ... [x-xj).

355. Relations entra les raoinea et les ooeflioients de l'éqaatlon. — En développant le second membre de (5) sous forme d'un polynôme en x et écrivant (n° 3i3) que les coefficients de x", x"~' ... sont les nombres a,, a>, i ..., j'obtiens les égalités

ou relations :

le dernier cocflicient étant alTecté du signe -4- ou du signe — suivant que le nombre des racines est pair ou impair [un produit de n facteurs tous négatifs est en effet positil ou négatil suivant la parité du nombre n : on peut remarquer que le signe d'un tel produit est le signe de ( — i)"; on écrira alors a,, ^ ( — i)' a„x,x, ... x„\.

Les " relations n {') (6) permettent d'énoncer les propositions suivantes \compurcr a" 338 et 348 1 : Si téqualion [i)an racines,

X,, X, x„, la somme de ces racines esl égale à ^' ; la

somme de leurx produits deux à deux est éfjale ù " ' , ... ; lear

produit est égala ( i)» . îï.

366. Baoiues multiples. — En désignant par Xi, .... x„ les n racines de l'équation (i), nous avons supposé implicitement que ces racines étaient distinctes (différentes) ('). Il est cependant manifeste que les conclusions auxquelles nous sommes parvenus subsistent intégralement si plusieurs de ces racines sont égales, par exemple si x, = x-i ou si Xi ^= xi=^ Xs. D'une manière générale,

(') Ces relations sont formuléea par Albert Girard (op. cil.}.

I') et. HuDDE, apud Ceometria â Renato Descartes \vide aupra, p. a84, note i], 2^ ùd., Amsterdam, iGSg, p. ,VJ3 : Rcgula qute rnodum doeet reducendi omnem tequationem,.., cujua iruogiiila qiianlîtaa... duos tvl plures teiiuale$ habet çalorea, et plus loin p. riu7-y.

PROPRlëTÉS F0in)AHE5TALES DE l'ÉQUATIOM DE DEGKÉ ri 35f

supposons que le polynôme P(x) satisfasse i une identité de la forme suivante :

où at , Oj, . . . , «p soni des nombres entiers positifs dont la sommeégale n («1 + a^ H- .-. H- ce, ^ n). Il nous est loisible d'admettre que cette identité n'est autre que l'identité (5) dans laquelle et, racines ont la même vaUur x,, t% racines ont la même valeur x^, etc. C'est pourquoi nous dirons en ce cas, que t'équation (i) a n racines, mais que, parmi cet racines, il y en a ai égales à Xi, at égales à

tCi, etc.; les racines a:i, Xt seront dîtes « racines multiples d ('),

les nombres correspondants cl,, a^, ..., étant appelés « ordres de multiplicité n des racines ; en particulier une racine multiple d'ordre 3 sera dite double, une racine multiple d'ordre 3 sera dite triple ; une racine non multiple sera dite simple.

Moyennant ces conventions [c'est-à-dire : à condition de regarder une racine multiple comme consistant en pli/sieurs racines confondues), les propositions énoncées aux n*" 354-6B subsistent dans le cas où tes racines de l'équation ne sont pas toutes simples.

367. Racines imaginaires et théorème d'Euler. — Supposons maintenant que l'équation (i) ait moins de n racines [chaque racine multiple étant coiwptée pour autant de racines que son ordre de mutliplicité contient d'unités] : alors, pour sauvegarder le théorème de Girard, nous sommes amenés à dire que l'équation a des <( racines imaginaires ». Mais c'est là une locution qui actuellement n'a pour nous qu'un sens négatif. Mieux vaut donc laisser provisoiremenl de côté le théorèmede Girard (nous y reviendrons au chap. v) et le remplacer par le théorème suivent qui fut énoncé par Euler (') [nous omettons la démonstration de ce théorème, — dé-

(') Il résulte de cette définition qu'une racine z, eat multiple d'ordre 3,,

siP{x)«atdif'isibl4pax{'B — «i) ' , le quotient -.^ j^ v^ étant un polynôme

en X de degré n — a,,

{*) ■ Omium expretiionem algebricam a + ^y + fX* + Sx' 4- fx*, etc. — dit EuLEB — vel in factarti realea [non imaginaires] simptiees p+qx, f^l sallem.in faclores reaûs quadratoa p +qx + ri' resolvi posae. » [Correspondance, éd. Fusa, St-Péteisbouig, i84^> I. p. 171, lettre à Goldbach].

353 LE CALCl'L ALGÉBRIQUE

monstratîon qui d'ailleurs n'est pas complète chez Euler et que seule l'introduction systématique des imaginaires en algèbre a permis de rendre rigoureuse] :

Quel qae soii le polynôme de degré n, P(x). ce polynôme satisfait toujours à une identité de la forme ci-dessous :

(8)P(x)=Vx-a;.)''...(3.-^,)''f.r' + S.i+fcOP>...{x>-Hs,x+fc,)?'

oà les nombres «i , . , . , a„ ^i . . . . , |3, sont des entiers positifs tels qtie

«! + «» + .-. + », + ap, -t- a^i -+- ... + a?, = n.

En d'autres termes, P{x) est le produit d'un nombre a„ par des binômes de la forme (') {x — x,) [ou par des puissances de ces binômes] et par des trinômes de la forme (x' + gjx + kj) [ou par des puissances de ces trinômes].

D'ailleurs, en écrivant l'identité (8), nous supposons que les équations x' -t- gtX -t- /ci ^= o, x' ^- gtsc -i- Ar, ^ o, etc., n'ont pas de racines [et, par conséquent, que^' — 4A"i < o, g' — 4^1 ■< o, etc.]. Si en effet, x'-h jix + fr, =o, par exemple, avait des racines, nous aurions [en désignant ces racines par Xfi+i, Xf+t] : i' + 9,1 -hk, =(x — Xf^.,) (x — x,+,), et (') nous remplacerions (x" + jix -+- k,y' par le produit

(x-x,+,)^'-(=^-*,+,)^' dans l'identité (8).

Chaque facteur tel que (x — x,)*' du second membre de (S) fournît une racine multiple d'ordre a^ de l'équation (t), ou (d'après le n°356) ccj racines confondues. Convenons de dire, d'autre part, que l'équation du second degré x' + j,x + /cy ^ o a deux racines imaginaires [voir n° 340] : il est alors naturel de considérer que le facteur [x' -»- 3ji -»- fcj)'^-' de l'identité (8) fournit a racines imaginaires multiples de l'équation (i) dont chacune a pour ordre de multiplicité j3j ... Si l'on fait ces conventions, on attribuera finalement a, + «j -^ ... -i- a, + aj3i -f- ... -+- aj9j, c'est-à-rfire n racines à C équation de degré n.

(^ J'écris Xj pour lignifier : l'un qutleonqu* des nombres x,, x^, ..., x,.

(*) Ce n'est, en d'autres termes, que lorsque nous y serons lorcé- {g', — 4/c, étant négatil) que nous laiueron», dons l'ideotitc {H), un tris nome de la forme (2' + gtx + k,) au lieu de décomposer c« trinôme en un produit de deux biaomes (x — Xf+\) (x — Xp+i).

PROPHÈTES FOXDAMEnT&LES DB L'ÉQCATIOn DE DEGRÉ H 353

35S. Critères retatll* A t'axi«t«noe des racines réelles. -^ Etant donnée une équation polynomale de degré n

dont les coerScients sont des nombres donnés quelconques, existet-ii des critèreH simples permettant de reconnaître rapidement si cette équation a des racines réelles, combien elle en ^ et quels sont les signes de ces rsciues ? Les critères ont été proposés en grand nombre; les plus importants sont ceux qui résultent des propriétés des ■ dérivées n dont nous nous occuperons au chapitre ii du présent livre ; bornona-nous pour l'instant i énoncer, sans démonstration, une règle classique que l'on appelle d'ordinaire riyle ou théorème de Descaries.

Laplace énonce cette règle comme il suit dans les leçons qu'il donna à l'Ecole Normale en 1795 (Journ. de t'Ec. Polylechn., 7' cahier, p. 43). i< Deux termes consécutifs d'une équation qui ont le même signe forment Mae permanence; s'ils ont diiïércnts signes, ils forment une variation. Par termes consécutifs, j'entends ceu% dans lesquels les exposants de l'inconnue ne ditTèrent que d'une unité.

« Il ne peut y avoir dans une équation plus da racines réelles positives que de variations; il ne peut y avoir plus de racines réelles négatives que de permanences...

« De U suit que, si toutes les racines sont réelles, il y a autant de racines positives que de de variations et autant de racines négatives que de permanences. C'est la fameuse règle deDescartea ».

Conjointement avec ce théorème, on peut établir nombre de propositions relatives à l'existence des racines réelles et à leurs signes, par exemple celles-ci :

Une équation de degré impair a toujours au moins une racine réelle [cf. p. 54o, note i].

Une équation dont tous les coejjîcienls ont le même signe n'a pas de racine positive.

Une équation dont tous les premiers termes ont le signe +. tous les termes suivants ayant le signe — , a une racine positive et une seule.