Systèmes d'équations simultanées

363. Emploi d« la méthode de eubstltntlon. — Nous avons montré (n°* 222 et 320) comment, par la méthode dite de iobslitalion, ia résolution d'un système de n équations gimultanées [à n inconnues] peut être ramené à la résolution de systèmes de n — I équations an — i inconnues ('). Ainsi, par l'application répétée de la même méthode, on parvient de proche en procbe à éliminer toutes les inconnues sauf une et l'on est ramené h la résolution d'équations qui ne contiennent plus qu'une seule inconnue.

La méthode (le substitution, il est vrai, ne pourra pas toujours être appliquée dans la pratique, ainsi que nous en avons fait la remarque à la iin du n° 320. Mais elle nous montre immédiatement que le nombre des solutions d'un système de n équations polynomaies augmentera très rapidement lorsque les degrés de ces équations iront en croissant. En effet, supposons que la première équation du système, traitée comme une équation eux, soit de degré m par rapport à x, et ait m racines : j'en tirerai alors m expressions différentes de x qua je porterai successivement dans les n — I équations restantes du système, et je ramènerai ainsi la résolution de mon système à celle de m systèmes de n — i équations en — i inconnues; cela posé, si chacun des m systèmes auiiqucts nous a conduits la première élimimilion (élimination de x) n'admettait qu'un système de solutions, le système proposé en admettrait m; mais si les équations de ces systèmes sont de degré p, supérieur è t, par rapport à la seconde inconnueà éliminer, soît y, chacun d'eux se décomposera k son tour, et l'ob aura è envisager (après l'élimination de y] mp systèmes d'équations à (n — s) inconnues. Et ainsi dp, suite. C'est pourquoi, dès que l'on a affaire à des équations de degré supérieur à -i, la résolution des systèmes ne peut être en général effectuée exactement, parce qu'elle nécessiterait la résolution d'une ou plusieurs équations à une inconnue dont le degré surpasse 4 (voir n° 360).

Nous considérerons exclusivement, dans les pages qui vont suivre, d^s systèmes d'équations du premier et du second degré.

i') Un tel Byïtème est en général déterminé (voir a" 3a3). ce qui ne veut pas dire, bien entendu, qu'il admette un aystènte de tolutlans uniquei, mais seulement que l'on ne puut choisir arbitrairement la valeur d'aucune des inconnues.

ststIhes d'équ«tioSs simultahébs 357

363. — Dans la Géométrie de Descartes {CEav. de Descaries, t. X, p. 673). les systèmes d'équations et la méthode k suivre pour les résoudre sont définis dans les termes suivants, qui résument l'essentiel de ce que nous avons dit et allons dire sur eux :

« Mais lorsque le problème proposé est tel qu'une seule lettre inconnue n'a point assez de communication avec celles qui sont connues, en sorte qu'elles ne sauraient s'entraider pour faire trouver l'équation, ou bien que par la supposition d'une seule lettre, on s'embarrasse dans un trop gros calcul, on se doit servir de plusieurs lettres inconnues, et chercher aussi autant d'équations qu'on a supposé de lettres, et par le moyen d'icelles équations réduire toutes ces lettres en une seule, qui porte la solution du problème. Et pour venir à bout de ces réductions, il est besoin de considérer si, par une équation ou par la comparaison de deux ou plusieurs, en les ajoutant ou soustrayant l'une de l'autre, on ne pourra connaître une lettre. Et si cela ne se peut ('), il faut venir à l'extraction de la racine pour en trouver une ; puis après, on doit 6ter cette lettre de l'une des autres équations, et en son lieu mettre la valeur trouvée; et ainsi on sera quitte d'une lettre inconnue. Puis, comparant cette équation avec une autre dont on aura aussi àté cette même lettre, si elle y était, on se défera d'une seconde; et ainsi des autres, jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'une inconnue parmi toutes les connues, dont on mettra les termes par ordre. Et on connaitrn, par extraction de racine, quelle est la valeur, comme devant ; et ainsi le problème sera résolu . »

Les premières lignes de ce passage contiennent une remarque utile à faire : c'est que c'est souvent de son plein gré, et pour la commodité des calculs, que l'algébriste considère un système de plusieurs équations à plusieurs inconnues au lieu de raisonner sur une équation unique à une inconnue. Ainsi la résolution de

(') On voit que Obscastes ne précoaiEe l'élimination par fuhttitution que comme un pis-aller. Il est, en revanche, partisan de la méthode de riduclim, que nous déDnirons aa u*> 3(S5.

358 LK CMCitL ÀLOimUQtl»

sont deux problèmes équivalents [car sf l'an pose -= = r> c'esti-dire 1 =^ xy*, l'équatioa devient x* + y = a].

D'une manière générais, toutes les fois que, pour résoudre une équation, on introduit une variable auxiliaire, on se trouve semplacer l'^uation par un système équivalent.

364. I^ittota d» n éqiisitloDa polynomalos dn praoïUr degré (') à n inoonnnea. — J'appelle ainsi un système de n équations de la forme (*)

( «iiX, ■+- a,iXi -*- ... + «u.X„ = b, )«ïiX| -+■ «i|Xs ■+■ ..- •+■ OtaXg = bt

{ OrttX, ■+- a„jTii -4- ... -4- ««X^ 1

dootles seconds membres (dits termes contlants) aoai iodépendaol» des inconnues, tandis que les premiers membres sont des polynômes du premier degré par rapport aux » inconnues Xi, .... X, [nous représentons les coefficients- par des lettres affectées de deux.

(<) Un tel système Mt appoli linéaire [comparer n" agti).

{*) L'Alexandrin Jambliqvb (m" ou iv" tiècla ap. J.-C.) nous a oon- ■err^ Ii'énoiicé et la soi ution d'un problème qD'iLappell«JE{Mn(JUm«flIewr}^ et Th^maryda» et q|ut uiBiiate dans la léaolution du Bystime Himmt (Ja ~\i Arithinttieam labroductio, éd. Pistelli, p. 6a sqq.) :

Ce Bystèms est facile à résoudre par la miitbode de lubatitution (i^oSo; YÀi^uputÎTi;, méthode très élégante, dit .ramblique). Traitant [waviaoî-. reioent X, comme une quantité connue, nout tirons die la Hcoade équa<tion et des luivantea :

Xî = fl, — X„ X;, = oj — X|, ... X. — a.., — X,. Portant ces valeurs dans la première équation, noua avon*. X. + a, + ai + ... +o., — (n — i)X, « «,

éqtndoB qui donna la valeur da l'inconnue X|. L'vutaur (TvYMAnvDAat auquel Jambliquc attribue la solution de aatte queatioa ne noua est pas connu : ce paraît être un pythagoricien.

STSTËUES d'ËQUATIO:*» SlIfCLTAIlÉBS 35^

incKces ('), dont le premier indique le numéro de l'équation, et le second l'indice de l'inconnue à laquelle est attaché chaque coefficient].

En employant la méthode de subatittrtion, on voit immédiatement qofl la résolutit» du système (i) se nmine h ta résotatioo d'une séri« d'équations do premier degré. Oo constate ainsi qn» (sauf dans certains cas eiiceptionnels, c'est-î-dîr» pour certams systèmes exceptionaelfl da valeurs des coefBcientapour lesquels le système est indéterminé ou impossible (')) U syatèaia <féqaalions (i) adnut an et un seul système de solationa.

Nous reviendrons plus loin (chap. v, % 2) sur les systèmes (i), et apprendrons J les résoudre par une méthode plus avantageuse que la métbodede ■id>stitution.BoraoDS-aous. paurrinstaDt^iétiadier, i titra d'eienf^ un système de deux éqiwtiona, écrit sous 1* forme

Îax -\-by -\

a, b, e, a*, h' , d désignant des expressions algébriques quelconques ne contenant pas les inconnues x et y.

365. Réaolatioo dnajratèine (3). — Appliquant la méthode de substitution, nous tirerons de hi première équation :

portant dans la Becoode équation, j'ai :

y }-tfy-^é =o ow ib' )y ^\^ i=o.

Résolvant, et nraplîfiant la ftactioR qui donne la valeor iti y, j'obtiens :

fl^ — m'

y — ah' - W ■

{*) L'emploi lyitéinatiqne' des JoidtleB indices, qui facî&tent et elari- Sent l'exposé ds nombreux oaleuli, remonte à Lzibniz. (') Vide infra. n" 366, Î67.

36o LE CALCUL ALGÉBRIQUE

Remplaçant y par cette valeur dans la seconde égalité (3), j'ai

et le système (a) est résolu.

Nous aurions pu employer, pour résoudre ce système une méthode plus rapide et plus élégante. Nous savons (n* 328) que les équations (3] sont respectivement équivalentes aux équations . ,, \i{ax-\-by + c)-h Pia'x + b^y + c") = o

'*' } ^'(ax + bj. + .) -H p'C'* + b'r + ^) = o

où a, ^, a', ^' sont des nombres connus. Faisons en particulier

a = 6'. p = — fc; a' = — a'. P' = a; alors le terme en y de la première équation (4), ayant pour coefiScient [bb' — 66') va disparaître; de même le terme en x dans la seconde équation (4)t et nous avons :

l {ab' — ba')x -4- (cfc' —bc') = o f {iifc' — b^)y ■*■ {ic' — ea-) = o,

d'ofl nous tirons, pour x et y, les valeurs données plus haut (■).

La méthode ainsi déûnie est souvent appelée méthode de réduction (cf., p. 157, note 1). On en peut varier l'application en variant les combinaisons des équations {a], équivalentes à ces équations, que l'on substitue au système proposé.

3M. Disonulon. — Les expressions trouvées pour x et ^ n'ont un sens que si ab' — ba' n'est pas nul.

Lorsque ab' — ba' est nul, en effet, ces expressions sont des fractions de dénominateur o. En ce cas, si leurs numérateurs ne sont pas nuls, elles ne représentent aucun nombre fini (non infmiment grand) et nous devons considérer que le système d'équations n'a pas de solutions; ainsi, par exemple, le système

î ix + ay — 3.

('] Conudérons par exemple le systèmo dst équatioiu j: -f y = <, X — y ^ d. La méthode que noua indiquona, conduit immédiàtament i

la solution x = — ~ — , y = — - — •

STSTàuES D'ÉQVATiOnS SlHCLTAItÉES 36 1

poar lequel a = a, fr = i , a' = 4. 6' = a (ai' — 6a' = 4 — 4}, n'admet pas de solulion [et il est clair, en effet, que si la somme ■ix-hy égale i . son double, ^x -+- ay ne saurait être égal qu'à a et non & 3] (cf. n° 324). Supposons, d'autre part, que l'oa ait k la fois

ab' — bà =o, (m/ — cf = o.

On en lire ^ = r = r et par conséquent ca — ac' = o, et

bd — Ob' ^ o; donc les expressions des racines a: et y sont toutes

deux de la forme - et n'offrent aucun sens. Mais il se présente en

ce cas une circonstance fort remarquable. Appelons >. la valeur des

a' h' é trois rapports — • r- ■ -■ , Notre ayslème d'équation peut s'écrire :

l aa;-|-fr)'-Kc=^o

on voit aloi's que la seconde équation est éqaivalenle k la première; elle peut lui être substituée (n* 336). Ainsi nos deux inconnues, liées en apparence par deux équations, ne sont en réalité liées que par une seule (cf. n° 327).

Sans insister sur ces anomalies, nous retiendrons que les propositions générales énoncées au sujet d'un type donné de système peuvent être en défaut dans certains cas exceptionnels : on ne saurait, par conséquent, appliquer ces propositions i un problème particulier sans s'assurer, cbaque fois, par une '< discussion n des données, que l'on ne se trouve pas précisément en présence d'un tel cas.

397. System» de trois équations linéaires. — Soit i résoudre le système

lax -hby -hei = d

Les méthodes de substitution et de réduction, appliquées h ce système, conduiront aux résultats suivants (') :

(') Voir, pour plus de détail* lo S 2 du chep. v.

36» LE Gu^im «fteâwriQCf

Appelons A la quantité

A ^ a{b'd- ~ 6V) — a'(fcc' — b'c) + *'{be' — bc).

dont ta valsa r est dAerminée par Iba valciirs des coefficients dès incoiraues dans le système :

i" Si la quantité A est non-nulle, le système (5) admet un système de solutions uniques; dont les expressions sont

djb'c' — bV) — J (6c' — b'c) -+- ^{b<f — b'c) x -

.ftcV — ■^e') — d'{a^ — c'^ -4- (f(«>' —^a\ ^~ A

^ rf(o'y — <^b') - tf'(ay — a'6) 4- tr(af — ^fc) ' A

3° Si /a quantité A esZ nulle; ou bien le système n'admet aucun système de solutions, et il est dit impossible (cf. n" 324); ou biea il en admet une infinité, et il est dit indéterminé [en ce cas on peut choisir arbitrairement & valeur db l'iine des trois inconmieB et trouver des valeurs corre^randanteï des deux autres- inconnues qur satisfont à la fois aux trois équations (5)].

3aa. EzempU* d» ■sratèoMa do. saoond dagM^ — VoUR w6souiice esrtaîns systèmes ds. degré a«p^ieuraupraiai«r„aaHA'iiiiroduice inulilsmenLdes équations ds degré éUvé. melniaéeftàntaaîer, l'algébriBlfl «uploie les actiiices les plua variés. Lea examples sut:vanta donnent une idée das déDonrs que pacroia iL est aniend: & bùnL

Proposona-^oua de céaoui^ le syatàme: :

(6) 3^ H- J' 1= < XJ' = p.

Nons remarquons que les racines de l'équation du second de^ré X' — sX-i-p^ o ont précisément fn' 338) pouir somme a et pour produit p. Nous en concluons que, si elles existent, les racines, X, et Xg, de cette équation sont un système de solutions du système (6). Il n'y a pas d'autre système de solutions [mais on petit prendre à volontéaiégalàX,, y^Xj, oubienx^Xi, y^Xi]. Si s* — p <; o lé système n'a ptra dfe solutions (cf. n:*'338)\

Proposons-nous, d'autre part, dte résoudre le système :

(7) x'— 7* = a>, xy = p.

STSTÈHBS o'fiQUAIION& KUILTLZAnÉES 383^

Noua. ESBUKpooa quft (voir □' 3M)

{x-{-y)*-=3i'-i-y* -\- xry = a* -+■ ip et

(ir — y)* = x' -i-y' — ixy = a' — 4p

le système (7), é^Mif rat donc «1 s-yatàms

X + J' = v'a' + ip, a: — J- = /a» — 4p,

qw est du pmnieE degré [les ncuveilas équations a'«at un nos qu»9ia*-t- 4/>>-o •6 a' — 4p>oJ.

360. GhKDfmManl i'imaoamiamm. — Nous svom défini au nP 330 le changement d'inconnue dans le cas d'une équation unique. Lorsque l'on a affaire à pltisîeurs équations simultanées, on peut faire un changement porCanfaur plusieurs inconnues.

C'est ainsi gue, voulant résoudre le système des deux équations

où a et b sont supposés connus. Cardan (') prend comme iaconnue, auxiliaire le produit xy^ que nous désigoerons par Is Uttre z ; ajoutons ^xy à chacua des membres de. la praonière équatioUr retranchons xy des membres de la seconde [ce qui ne porte pas atteinte aux solutions] : nous avons [puisquexj'^z, par hypothèse]: «' -t-J-'-h-afly = 0 -j- 2ioa(x + j-)' = aH-as;etar + j' = 6 — E, d'où {x -H y)* ^ (fi — î)' ; ainsi nous avons deux expressions différentes de la même quantité inconnue (œ + y)*; ces deux expressions devant représenter le même nombre, nous ponvons écrire l'égalité

a -+■ ai = (i — î)», ou o + a; = fr' — aftî -»- z' ,

qui est une équation du second degiré [elle peut s'éciire z* — a(6 + t)z + (6' — a) = o] déterminant, si elle a des racines, les valeurs de l'inconnue z qui répondent k la question. Les valeurs correspondantes de a; et / se calculeront ensuite comme il a été dit au n° 368, étant donné que l'on connaîtra x -v- y tl xy.

D'une manière générale, ejfectaer un changement (Tinconnues

('). Lac. eiL mpra^ p. 3ai, aot a.

36j LE CALCUI. ALGÉBRIQUE

(ou varinbles) sur un système iCéquation à deux inconnues, c'est remplacer ces inconnues xei y par deux fonctions connues — soit Jix' , y) el f{a^ , y) — de deux nouvelles quantités x', y'. Les équations se transforment en un système d'équations relatif aux inconnues Jc', y. Si l'on sait trouver deux nombres, x' ^= x\, y = j-'i , solutions du nouveau système, les nombres x, = f{x\ , /, ), y, =ç{x',,y,), seront solutions du système proposé.