Raoin« commoutt & danx tqnaUonB du Becond degré

— Nous terminerons ce paragraphe en disant quelques mois des systèmes d'équations simultanées h une seule inconnue, nous bornant d'ailleurs aux équations du second degré. Soient

deux telles équations, It est clair que st l'on choisit ou hasard les coeilicienls A, B, C, K', B', C, les équations n'auront pas de racine commune. Mais nous pouvons nous poser la question suivante ; Quelle relalîon doit-il exister entre les six coeffîcienls .\, B, C, A', B', C pour que les deux équations (8) soient vérifiées par an mime nombre que nous appellerons x, ? S'il existe un tel nombre xi, nous aurons

(8"") Ai! -h Bx, -h c = o, A'a:; + B'x, -h C = O ;

multiplions tous les termes de la première égalité par .V, tous ceux de la seconde par A et retranchons la première égalité de la seconde, il vient :

(g) (AB' — BA')a-, + AC — CV = o.

Multiplions d'autre part tous les termes de la première égalité (S*^*) par C, tous ceux de la seconde par C et soustrayons ; il vient, en mettant Xi en facteur commun :

(lO) x,'{\C' — CA')a;, ^- BC — CB'] = o.

Le nombre x, ne peut pas être nul k moins que C et C ne soient tous deux nuls [ce n'est qu'en ce cas que les deux équations

SYSTÈMES D'ÉQUA.T10nS SlUULTAilÉES 365

(8) sont salisfaites par la valeur x =: o]. Donc les ëgalités (9) et (10) prouvent respectivement que

^'~ Aie ~ BA' *" ^' AC - CA' •

si(') toutefois [ ') AB' — BA' ;i; o et AC — CA' jt. o.

Ainsi noua avons deux expressions dilTérentes de même nombreXf Exprimons ((u'etles sont égales : nous obtenons une égalité qui peut s'écrire

( 1 1) (AC — CA')' — (AB' — BA'} (BC — CB') = o.

Telle est la relation à laquelle nous aboutissons, & condition toutefois que, comme nous l'avons supposé chemin faisant, CetC'n* soient pas tons deux nuls et que AB' — BA'^o, AC — CA'^o.

Mais si l'une des quantités AB' — - BA', AC' — CA' est nulle, les égalités (9) et (10) nous montrent que les trois quantités (AB' — BA'). (BC — CB'), {AC — CA') sont sûrement nulles toutes les trois [les égalités ne peuvent être satisfaites qu'à cette condition] ; donc la relation (11) est encore vérifiée. Elle est vérifiée également si C et C sont nuls, car alors tous ses termes sont égaux ù zéro. Donc, dans tous les cas, la condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations (8) aient une racine commune est que l'égalité (i i) ait lieu (').

('} Si leurs dcnominateun ctaient nuU, les fractions n'auraiciil pas de

(■) Le signe ^ rignifie : diffirent de séro.

(■) Le premier membre de la Telalion (11) est souvent appelé risuUanl des deux équations (S). On énonce alors ia proposition suivante : Pour que deux égualionê du second dtgri en x aient une racine commune, U faut et il suffit que leur ri$ultant aoil nul. Dana le cas particulier où l'on a à la fois les cgelitéi

AB' — BX = o. BC — CB' = o, AC — CA' = o,

on constate immédiatement que 1 on a les proportions v = h" ~ r ■ P"

pelons X la valeur commune de ces trois rapports : la seconde équation (S) qui a pour coefllcients AX, BX, CX peut s'écrire X (Ax* + Bx + C) ^ o et eue « les mêmes racines que l'équation Ai' + Br + C = o (n" 326). Donc, en ce cas particulier, ces deux équations ont, non pas une, mais leurs deux racii

366 LE CALCDL ALGiDRIQUB

371. flamarqae. — La question que nous venons âe traiter peut être regardée, ai l'on veut, comme un problème d'éHminatioa |339) relatif k deux équations à deux inconnues (du second degré par rapport à l'une des inconnues).

Supposons en effet (')que les coefiicients A, B, ... G' soient des fonctions, d'ailleurs quelconques, d'une quantité}' : alors lee équations (8) constituent un système de deux éqnations à deux iocoitnuès. Si un couple de nombres Xi, yi. eet solution de ces équations, il en faut conclure que pour y =^ yi, les deux éqnatione iflili) en X admettent Xi comme racine commune ; en conséquence, les

coefQcients A, B, C doivent, lorsqu'on donne à ^ la valeur^!,

Mtisfaire à la relation (ii). La relation (ii) est, dès Ion, une .équation en y qui admet y, comme racine : c'est le résultat de l'é- Jinùnation de x entre les deux équations ,(8,).

- DMsloa des polynômes en x et dOcomposltioa des fonctions rationnelles

372. — On peut faire de la division des polynômes en x une théorie qui est tout à fait analogue à la théorie de la division arithmétique. Appelons A 'x) et B(ic) deux polynômes en x dont les degrés soient respectivement n et m et supposons n supérieur ou éifal à m. Effectuer la division de A(3:) par B(j;) ce sera, par .définition, mettre A(x) sous la forme

(1) AM = B(x).Q(x) + Il(x),

Q{x) étant un polynôme de degré n — m (appelé quotient de la division) et H(ir) un polynôme de degré inférieur à m (appelé reste de la division] ; ce sera donc, en d'autres termes, trouver deux polynômes Q{x) et R{x) [l'un de degré n — m, l'autre de degré inférieur à m] qui satisfassent, quel que soit x, à l'identité (i). On démontre que, quels que soient les polynômes A et B, la

( < ) Ct.BmzovT, Btdierehes^w U degré dea équaUatwriMtttanlm ds l'éowiotàttemmt de» incoimtut et »w let moytm qu'il tonfieiU d'empbf/ir pour trouver cet iqualiont, apud Hîsl. de l'Acad. de Pari», 1 764.

divisid:( i>es polihoius sh X, ETC. 367

détemûnation des polynômes Q et R satisfaisant aux conditioos requises est toujours possible. Soient, en effet, A(x) et B(x) ordonnés par rapport aux ^iesancee décroissantes de ix et mis sous la forme

A(x) =^ o„x" + fl,i jx"~' -)-... + a, X H- Oo B(a;) = b^x" + b^^^x--' -^ ... + b, x + b„.

Supposons, pour art instant, qae le polynôme Q ait été trouvé ('}, fit écrivons-le sous la forme

Q{X) = in-^X""" -H .... -rt- »,iC -i- X, ;

nous allons chercher quelles valeurs il faut donner aux coefficients Xi-m, -; It, Xi, pour que la supposition ainsi faite soit légitime. Remplaçant A, B, Q par les développements écrits ci-dessus, formons la différence A.(x) — B(a;) . Q(x}, et ordonnons-la par rapport aux puissances décroissantes de x. Cette différence 6st un polynôme de degré n, qui s'écrit

-t- (a, — b,\, — l>al,)x -h (a, — 6,lû)-

Exprimant que k polynôme est identiquemenl lud (313) égalons à zéro ('), les coefficients de x', x""', ..,, x"~" ; bous avons n — m -I- I égalités qui constituent un système de n — m -i- i équations polynomales simultanées du premier degré permettant de déterminer les inconnues ).«-». ^di-m-i. ■--. Xi, A«. J'en conclus que si je donne aux coefficients X les valeurs définies par ce sys-

(') Cette méthode de démonstration n'est autre que la 1 «MjljSeMnti mdittnair»i» que nous appliquerons tout à l'heure (n» 375) dans on oas plus oompliqué).

{*) Egalant il zéro le coefficient de x", j'obiiem À. ^ r- ; portant «•tta Talttir dons le ooeffioîant de ir~' et igalattt m coefficient à o,

j'obtiens X,.__, = x- (■»,, — — —t 1 i «t ainsi de luita. — Dans Js

(iMtique, pour calculer le quotient de ia division de A(x) pac Bix), on 4Tite d'écrire les lettres "i-,-^, .... Xo (tepréientant les coefficients inconnus audit quotient) en adoptant une disposition et des règles de calcul qui rappellent celles de la divigiou arithmétique (voir les traitée d'algèbre ^émentaire).

368 LB CALCUL ALCéBDIQUE

tèine, la différence A — lïQ sera un polynôme en x de degré m — I au plas. Appelant R(a:) ce dernier polynôme, j'obtiens ('), comme il était requis, une identité de la forme (i).

373. Divisibilité. — Conformimenl h la définition de la division des polynômes, un polynôme en x, k(x), aera dit divisible (') par un autre polynôme R{x), de moindre degri, si le reste de la division de k{x) par B(x) se réduit A zéro.

Il est manifcsle que, eî h(x) est divisible i>ar B(a:). toute nwine de B(a;) [voir n" 3B9], est aussi racine de A(x), Plus précisément supposons que \{x) et B(^) aient été décomposés en produits sous la forme indiquée au n° 357 ; nous aurons

{a)^x)=a„(x-x,)''...(x-x^f'{x'-hg,x+ki)9>...(x'+g^ + k,)^'

avec », -r ... + «p -H api + -.- -i- a?, = n. et une identité analogue pour B[x). Convcnonsdappeleryac/eurp/'f/m'e/' de .\{x) [ou de B(a;)] tout facteur (') de la forme [x — Xj) ou (x* -+- gfc -+- fcj) [l'indice j élant quelconque] ; nous dirons alors que l'égalité (a) donne la décomposition de K{x) en facteurs premiers. Cela posé, on peut démontrer que si A est divisible par R, tous les facteurs premiers de 1i(x) Jigurent dans la décomposition de \(x) avec an exposant au moins égal à celui qu'ils ont dans la décomposition de B (comparer n° 34).

374. Fonction i^tionnello d» x. — Soit -J'-J^ le quotient de deux polynômes, une fonclion (ou fraction] rationnelle de x (voir D° 316). Pour faire l'étude générale d'une telle fonclion, on a toujours le droit de supposer que le degré de B est inférieur à celui

(I) Exemple. — La division do ajt' — bx' + -jx — i par x* + s + i donne comme quolient ai' — sx — 5 et comme miCtis + ^. On a, ea •flet ; ai' — ôi' + 71 — I =• i*' + I + I) (ai' — 21 — 5) + i^x + 4-

[■) D'une manière générale un polynôme portant sur un nombre quelconque de variables — par exemple un polynôme P',x. y, x) — en x, y. i e(t dit divisible par un polynôme Fii, y, z', sll existe un polynôme Q'i, y, s) tel que l'on ait

Q!x.y,z].Tx.y,z^ = T,x,y.z:.

l'I Ces tactuurs sont les polynômes les plus limplee par lesquels A i| soit divisible. Praliqucment, pour reconnaître si A'i) est divisible par un polynôme donné de la forme i — /, il suffit de voir si I est racine de polynôme, c'c»l-à-diro si l'on a ou non : a-t" + ... + a,l + <h = »■