DIVISION DES POLYNOMES EN X, ETC
de A. En elTcl, s'il n'en était paa ainsi, nous pourrions etîectuer la division (') de B par .V, et nous aurions B(x) = A(a-).Q(i) + R(a;),
d'oii , ■' , '^ QW + ,,--. le degré de R étant inrérieur h. celui de A : la fraction proposée serait par conséquent la somme d'un polynôme et d'une fraction dont le numéralenr a sûrement un degré inférieur au degré du dénominaleur.
Supposons donc cette condition réalisée pour la fraction i— , et proposons-nous de sioiplliier l'étude de cette fraction en la décomposant en une somme de Jraciions plus simples.
Les algébristes ont démontré le tliéorèmesuîvant(*) : Soit effectuée la décomposition tie \{x) en fadeurs premiers sous la forme [i] \rC 373| : on peut trouver des nombres (')
(!!■ cn c,a ff , Cpi,. ((il, e„ d,^^, c,p
tels 4jue l'on ait l'identité (') :
(') On remarquera qu'à l'ii gnons ici lo diviseur pnr A.
(") Co théorème fut formulé par Euleh. Lo ca* où le» racine» do 8(3:) sont toutes simples (et réelles) avait été traité auparavant par Leibmi et Jean BEBNOtJiLU.
(') Le premier indice dont sont affectées les lettres e, d, t, indique quel est le facteur [x — x,j. ... ou (a' + f,* + Ai), ... auquel se rapporte la lettre; lo second indice estégal à Vexpoiantde la puissance (dudll facteur) à laquelle est associée la lettre considérée (voir sur le double indice le n"36ii.
(*) Exemples :
1iM-M-l-i ^J-^ + ''■^' .
BouiiLOui. — L» PrincipBs de l'Apiljia malhiaialiciua, )i
370 LB CALCUL ALGÉBRtQLB
La possibilité d'une telle décomposition de ta fraction tW résulte des propositions que l'on établit dans la théorie de la division. Nous admettrons ici, — pour abréger notre exposé — que celte }>ossibilité, — c'est-à-dire l'existence d'une somme de u fractions simples » répondant à la <]uestion, — ait déjà été établie, et nons nous bornerous à indiquer comment on peut calcaier efTecti veinent les valeurs des nombres d, etc. qui figurent au second membre de (3); le résultat énoncé se trouvera ainsi vérilié.
Nous emploierons, pour faire cette vérification, une méthode fort commode dont l'origine historique se trouve dans ta Génmâlrie de Descartes (>), et que nous avons déjà employée, sans le dire, an n* 373 : la méthode dos coejjicienls indéterminés.
376. Emploi de la méthode des coefficients Indétertninéa. — Développons B(.c) sous la forme
h[x) = b„,x"~' -H lin-iX""* -+- ... -t- b,T H- b^ polynôme dont les premiers coefficients '),>i, ti,,-t peuvent d'ailleurs être nuls [ils sont nuls si le degré de h(x) est inférieur de plus d'une unité au degré de \(a;) [.
Admettons, d'autre part, que la proposition ci-dessus énoncée soit exacte ; t'crivons. l'égalité (3) où les lettres d,, Cj, etc., désignent des nombres (coefficients'' encore inconn\is{indctcrmiiiés); et effectuons la somme indiquée au second membi-e de (3), en réduisant toutcH les fractions au même dénominateur. Le dénominateur commnn n'est autre que A(3;) [mis sous la forme du produit (a) du n" 373j. Quant au numérateur, c'est un polvnome en X de degré n — i dont les coeilicients sont des polynômes du premier degré par rapport eux diverses quantités encore inconnues (ou coefficients imléterminés] c,i, ... e,^,- D'après t'ideulité (3) ce numérateur doit être identique à B(a;), et par conséquent (n" 31i) ses n coeflicients doivent être égaux chacun h chacun aux coelBcicntsiB i, ...b,,b^. Ecrivant explicitement qu'il en est ainsi, j'obtiens un système de n équations du prcmierdegré dont les inconnues
(*) I Mais je veux bien aussi vous avertir, — dit Dsscadtes {\iv. II, Œuv., VI, p. 1)23] — que l'invention de supposer deux équation» de même forme pour comparer séparément tous les termes de l'un à ceux de l'autre... n'est pas l'une des moindres de la méthode dont je me sen >.
DIVISION IIBS P01T:»0ME9 en X, ETC. 37I
«ont C||, ... c,,3,. Or ces inconnues sont précisément au nombre de n. En efTel, les c de premier indice i sont au nombre de a,, les c de premier indice a sont au nombre de «„ etc. et il y a par conséquent {«I + «î -1- ... -H «^) lettres c; on voit de même qu'il y a (^i + ... -i-pr) leltces d et autant de lettres a; donc le nombre des inconnue-s est («i 4- ... +«, + a,5t -i- ... -h a^,), c'est-àdire n [uofV 367 j. Ou voit par là que le sysLème d'équations simultanées formé comme il a él^dit est un système de n équations linéaires à n inconnues. Ce système admet un système de solutions unique (' 'qui doanelss valeurs cherchées des coe^cie/iLs Cu , etc. {').
376. Réduotion das fonotionB rationnelles au même dénomiattteur. — I.a composition d'une somme de fonctions ralîonnclies (le x on une fraction unique ^cationneUe) est l'opération inverse de la décomposition. Pour l'effectuer, il sulBra de réduire les fraclions an inâme dénominateur; après quoi on formera la fraction qui a pour numérateur la somme des numérateurs des fractions données et pour dénominateur le dénominateur commun.
La réduction au même dénominateur se fait en algèbre comme en arithmétique. Comme dénominateur commun on jieut toujours prendre le produit des dénominateurs donnés. Mais, si ceux-ci ont des facteurs communs [c'est-à-dire si dans leur décomposition figurent des facteurs identiques de la forme (x— a:j)ou [x'-i- ijx + k) ,
C) En énonçant cette conclusion, nous adm«tton( que nous ne nous trouvons pas en prétenoe du cas exccptiouiiel où un ByttJme d'équations linéaires e9t indéterminé ou impossible. On peut domontn;i- a priori que ce cas ne saurait se présenter ici. On le constatera, d'ailleurs, imroidiatemeat, si l'on eBectue les calculs.
(*) On vériGera facilement que pour déterminer les coefficients que nous avons appelés c,, , c,. ,..,, derniers dans chaque crochet, on peut appliquer la règle suivante :
Désignons par Qfx/ l'ensenible des facteurs autres que (x — x, .'' dans le produit (si, expression de A(x) : le coefficient c,, a pour valeur
Qj— •-, rapport des vaUura priaes par Ua polgnomta B'j, et Qi) lorsqu'on y donne à x la vaUur x,.
Les coefficients Cl], Cji, ... dsB puissances d'exposant — i do j: — x,\,
{x — Xj),... sont souvent appelés r^idu^de la fonction rationnelle , rapport aux diverses racines :
3^3 I-E CALCUL ALGEDAIQUE
on pourra prendre un dénoniinateui- coniiiiua de drgiù moins élevé, savoir un [iroduit
{X - rc,)" (:r - x,)'' ... (ï' + g,x + kf' ....
où l'on fera figuier tous les l'aclciirs qui se rencontrent dans le» décompositions en produits des divers polynômes dénom ira leurs, avec un exposant an moins aussi élevé que celui (jn'il» ont dana ces décomi)osilions. Le produit ainsi délini sera appelé filus petit 'i mutliple des dénominateurs.
10. — Fonctions et équations transcendsntes. Calculs trigonométriques,
377. — En définissant au n" 142 le logarithme de base b d'un nombre positif a ijaelainque, nous avons attribué un sens aa symbole 6* pour toute valeur positive de h et pour toute valeur positive ou négative de «; noua avons en d'autres termes défini une expression, que nous convenons d'appeler « puissance d'exposant 7. du nombre b n, que nous écrivons 6', et qui a une valeur déterminée, variable en même tempe que les valeurs de b et a: (b >. o). Si nous nous reportons à la terminologie du s 4. nous serons dès lors conduits à dire que la valeur de b'- est une roriahle dépeintanle, qui varie en fonclion des variables i cta : b' est une Il fonction >> des nombres b et a. Afin, cependant, de rap[>eler la différence qui sépare la fonction 6* des fonctions définies au S <, nous dirons quo la fonction b" est une fonction transceiiilante |ie mot transcentlanl s'opposantà alijèhriijiie (')].
j' I La dêiiuitian du mot transcendant est purement négative : est tranS' cendantc une quunlitc ou une fonclion dont la valeur ou l'expreasion ne peut pas Sire définie par la combinaison d'opiirations arithnit tiques ou
nlgébriques connues 'et. supra, n" (iS, Tii.]. s Les fondions, dit Eoi.Eti tlntroductio in Analysin infinitorum, ^-!\i*. c[\. i) — se divisent en oljébriques et transcendantes; les premières se forment par les opérotiona del'alEèbre, eton obtient les secondes en faisnnt entrer dans leur composition des opérations transcendantes », Nous préciserons plus loin cette distinction en étendant et complétant la définition de la classe des fonctions algébriques dans laquelle nous ferons rentrer, non seulemcat les fonctions'
F0>CT10:<S ET ÉQUATtOTfS TRATtSCEnDA^TES 5^Z
Ici comme au $ 4, il nous est loisible d'éLudier l'expression b' pour des valeurs variables des deux nombres b at a ou, au contraire, de laisser fixe (déterminé) im de ces nombres (') et de considérer i' comme fonction du seul nombre A ou du seul nombre». En particulier, si nous donnons à b une valeur positive déterminée, l'expression h' considérée comme fonction du nombre positif 4u négatif a sera appelée /o/ic<jVirt(transcendaD[e) exponentielle Q^j.
378. — Los remarques cfue nous venons de faire ne s'appliquent pas seulement à l'expression A*, mais en général, aux divers symboles que nous avons déCnis aux SS 9 et 10 du chapitre ii de notre premier livre pour représenter certaines grandeurs » suppléant(!S <> correspondant h des grandeurs variables.
Ainsi le symbole logt a peut élue considéré (pour une valeur déterminée, positive, de 6) comme une expression dont la valeur est une foncli'iit transcendante du nombre variable a : celte fonction a reçu le nom de fonction logarithmique.
De même les symboles sin a, cos a, ig a, colg a, sin - , sin aa, «te. peuvent être considérés comme des expressions dont les valeurs sont des/onclions transcendantes de a : ces fonctions portent le nom spécial de fondions trigonomélriqaes .
étudiées au § 4 ''o ce chapitre, mais aussi les fonctions implicites défînics par des équations algébriques {vide, chap. ii, S il. Il est boa d'observer que lorsqu'on parle, non pas da fonction, mais d'expression algébrique, on n'attache pas toujours à cette formule un sens restrictif spécial; il pourra arriver qu'on t'applique, par extension, à un symbole tel que b' aussi bien qu'aux expressions de jonction» algihriquea. Cependant lorsque nous voudrons établir une distinction entre les fonctioas transcendantes «t les fonctions algébriques, nous dirons que leurs expressions sont, les unes IranacendanUa, les autres algébriques proprement dites.
I') Si a était remplacé par un nombre arithmétique rationnel, la fonction considérée serait une fonction algébrique ordinaire de b au sens du S i.
(') L'expression quantilat exponentialia a été employée par Leibniz et par IcsBernouilli. Jean Bernouilii avait dit*d'abordigu(in(if(MperciiiT«n«>, et il expose ainsi le point de vue qui justifiait cette dénomination : < Exponentialem igitur quantitatem concipiebam ut médium quid intcr algebraicnm Et transcendentem ; accedit enim ad algebraicam, eo quod terminis finitis, utut indeterminatis, constat; ad transcendentem vero, quod nulia constructione algebraicH exbibcri potest > {Prineipia caicuH «xponmtialium aeu percurrentium,ap. Acia eriuJitorum, Leipzig, mars 1697; <£ui'. dt J. BtrnouiUi, I, p. iSi sqq.j.
37Â LE CALCUL ALQiBniQCE
D'une manière générale, supposons qu'aux signes qui servenl à former les «pressions algébriques ordinaires, nous adjoignions les symboles introduits par la notation exponentielle (a' 137), le sym* bole log et les symboles trigonométriques sin, cas, etc.. A l'aide de ces symboles, de nombres arithmétiques, et de lettres a, b, c, ... nous pouvons former des expressions (') analogues aux expressions algébriques du J^ mais plus nombreuses; nous dirons que les valeurs de ces fx/)fess(on* (variables en même temps que les lettres a, b, c, ,..) sont des fondions Iransceiidanles {').
379. Fonotlona algébriqn«s ou tiratucendantes de x. — Désignons par f{x) une expression transcendante (') dépendant d'une quantité variable x et de lettres a, b, c, ... représentant des □ombres fixes (supposés connus), La valeur de cette expression sera une fonction de x, mais il importe de remarquer qu'elle n'est pas nécessairement une « fonction transcendante de x », Si, par exemple, /"est un polynôme en x, dont les coellicienls sont des expressions transcendantes dépendant des lettres a, h, c, ..., la fonction f{x) ne doit pas dtre regardée comme transcendante : la fonction n'est transcendante par rapport à x que si, lorsqu'on suppose connues les quantités a, b, c, .... la valeur de f{x) ne peut pas se déduire de celle de x au moyen d'opérations algébriques (mais seulement au moyen d'opérations dont certaines sont exponentielles ou trigonométriques, voir U note 1 . ci-dessous).
Lorsque la fonction /(x) n'est pas transcendante par rapport & X, elle est dite algébrique. On peut en ce cas lui appliquer, sans exception, toutes les propositions établies aux i 4 at suivants au sujet des fonctions /(x) d'une variable x. Ces propositions, en eBet, sont indépendantes de la façon dont f{x) est fonction de» lettres qui représentent des quantités fixes.
(■) Noui dironi que ces expreisioni sont obtenue) en fln«ctuant noe •ombinaiaon d'opération» algébriques, exponantietlea et trigonomctrique*.
(*) Ainsi le» expressions oo» (a + 6), cos V» + i' c'e«t-à-diro (a>M\lâ+li*)*^, log, [b + a), etc. sont des fonciions do a et deioud'un seul de ce* nombres si l'autre a une valeur fixa (déterminée).
(') Voir la Un de la noie 1, p. 3.
ponCTions bt équations ihanscehdantbs 375
Dans ie cas où f{x) est tranacentUnte, nous pourrons encore étendre k cette fonction les diverses considérations d'ordre général que nous avons développées anx S$ 3-9, en exceptant seulement lea âéfiaîtiofis et propositions où îi élait spécifié que f{x) avait une forme algébrique parliculière (polynôme <n x, ou fonction ralionnelte, etc.).
380. Equations transcendantas. — Appelons f(x) une fonction qui soit effectivement fonction transcendante de x. L'égalité
est alors dite Être une équation transcendante (') par rapport i l'inconnue X. La valeur, ou les valeurs (exprimées en fonction (') des lettres a, b, c, ..., figurent dans l'équation), qu'il faut donner à Hnconnue x pour que l'expression j prenne la valeur o, sont appelées 'I racines » ou u solutions » de l'équation (on dit que cea valeurs satisfont à l'équation, cf. p. Zil\). Une équation nontranscendante est dite algébrique.
Il n'est en généra) pas possible de calculer cfTectivement les racines d'une équation trnnscendanle de la forme (0, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'expressions algébriques ou transcendantes,
composées avec des signes connus et avec les lettres a, b, c qui
soient égales à ces racines [comparer n° 350). On devra se contenter de déterminer — par des procédés dont nous ne nous occuperons pas, et à l'aide de tables logarithmiques ou Irigonométriques (n°* 145 et 158) — des valeurs approchées (arbitrairement approchées) des racines de l'équation.
Cependant, il arrivera dans certains cas particuliers que l'équation (i) puisse être ramenée à une équation algébrique ordinaire
(*) Toutes les définitions et liglee générales du § fi relatives aux transformations des équations, au changement d'inconnues, etc., s'appliquent Riaiûfestement aux équations transcendants! comme aux équations algébriques. Exempte» : L'équation ax — log. ;i: ~ 1 <= o «t une équation ttanscendante ; posons log, x ^ f ou j: k «*; en elTectuant ce changement d'inconnue, nous obtenons l'équation "xe' — l — !t ^ a, iquivalerds k
l'éfMBlion en «. — Les équations ^L.' ;= o Bt î«' -i- «• + 2 = o
■ont iquwatenU» : etc.
(*) C'est-à-dire 1 «ou* forme d* fonetùm à», voit n" 3i8.
au moyen d'un ckamjemenl d'inconnue in° 330). Celle circonstance se présenlera, par exemple, quandréqualioa(i), outre les nombres connus ou considérés comme tels, ne contiendra que des Uynes Irigonomélriques (166) du nombre inconnu x, ou des lignes trigonomé- Iriques de x et de nombres qui sont en relation simple avecx,
comme :ix o\i-o\xx + a. (a. élant connu). Nous étudierons tout & l'heure, à titre d'exemple, quelques équations de ce type. Auparavant il nous faut revenir un iostant sur le calcul trigonométrique dont nous avons plus liaut posé les bases 'Premier Livre, Chap. 11, S 10) et montrer comment ce calcul donne lieu, comme le calcul algébrique proprement dit, à des transformations variées qui se traduisent par autant d'identités.
381. Rappel dea lormules trigonométriqu«B loiiâainentat«B. Addition M BouBtractloii des arcs. — De la définition des lignes trigonométriques nous avons immédiatement déduit les formules suivantes où a désigne un arc ou abcissc curviligne quelconque (') :
i sin( — a)^= — sino. sin(" — a) = sin<ï, sin(i;^-a!=i — wnii icosf — ul^coso, cosiit — a'j:= — coso, cos(«4-«.i^ — coso (3) lg(-o! = -lga. tg(«— «) = -tga, ts{n-i-a; = tgo ' ^ia(l~a) = co>a. co, (^ -«) = sin «.
Nous avons déjà donné, d'autre part, les identités relatives Ji l'addition des arcs :
I coai'a -I- h] = cos a . cos b — sin a . sin 6 ] sio[a ■+■ bi ^ sina . co»fc-i-cosa . sin 6
( '«'> + ') -r-i.gïTVi.-
H convient d'observer ici que, si l'on suppose démontrée la pre-
l'iBappelons aussi, que, quels que soient le nomlirC' relatif o et l'entier positif ou négatif, fc, on a ■ÏD o = sin ;a + aftir), cos a i- cos [a + a/c"), tang a — long {a + aftit)
3,Nze:J.ïGOO<^IC
Foscno:»8 et équations tra;isce'(da.'«tes 377
mière de ces trois relations (à), les deux autres en résultent immédiatement en vertu des formules (3) et (3), car on a, parexemple
ïin (a H- b) ^ cos I (a + 6 J ou cos 1 ( a I -i- ( — b)\;
donc
= co» (- — a\ .co»(6} — sin ( ai sin{—
Les identités relatives à la soustraction des arcs se déduisent de la mAme manière des identités (4) : car, par exemple :
co8(a — t) = cos [a ■+- {— b]] = cos a . cos(— 6j —iinas\a(—b)
■-^^ cos a . cos b ■+- lin a . sin b ; on obtient pareillement
tK(a-t)..-^g''-'g-^.
'SI" ") ,.+-iga. t?ï
Les formules (3), elles-mêmes, pourraient d'ailleurs inversement âtre considérées comme des conséquences des formules (j), car ces dernières formules montrent par exemple que
un ( — a) ou sin (0 — ni ^ sin 0 . cos a — cos o . sin a =: — sin a, etc.
382. Haltlplîcatlon d'an arc par an nombre entier. — Si nous y donnons à b la valeur a, les formules (â) nous font connaître les lignes tri go no métriques de l'arc 3 a, c'est-à-dire de l'arc a malUpliépar 2 ; nous avons :
(5) cosaa^cos'a — sin*a; sinaa^=isina.co»a; tgaa
-tg'a
Si maintenant, nous faisons dans les formules (4) 6 = aa, et remplaçons cos aa, sin Qd, tg 2 a par les valeurs (5), nous obtenons :
- cos a. cos 3 a — si
et ainsi de suite.
Les formules ainsi obtenues [qui donnent les expressions de
37S Ll CALCUL ALGéBRIQUB
cos na, sin na, tg ru pour toute valeur en^ère positive de n] peuvent d'aîUeura être transformées de pluaieurs maaières. Ainsi, en tenant compte de la relation sin* a 4- cos' a ^ i, on pourra déduire de (5) les identités
que l'on peut écrire bous les formes
(6) sin' a ^ " [c — cos aa^; cos* 0= - [1 -h cos ia\
Ces formules peuvent être généralisées en les suivantes (valables pour toute valeur entière positive de l'exposant n). que nous établirons au chap. v du présent Livre :
„ ^CMna + ncoB(n— a)o-HC:cog(» — A)a + C;coa(n— 6)a+.-
les coefTicienls Cl, C^, ... étant ceux que nous avons déjà rencontrés dans le développement du binôme de Nev\ ton (n° 298).
Si n est impair, le dernier terme de la somme figurant au numérateur sera C ' cos a. Si n est pair, on arrêtera la somme au terme C '^ cos 3a et on devra y ajouter le terme complémentaire à C ; , On établira une formule semblale pour le sinus :
. ^ cos na — coa(n — aja H- Cl cos (n — 4)o — ■■■
383. TransformationB des aommeB et produits de lignes trigonométriques. — Les transformations qui suivent ont pour objet de transformer un produit de lignes trigonométriques en une somme ou inversement. Elles donnent lieu (nous le verrons plus loin) k de nombreuses applications, de même que les formules (6) qui en sont un cas particulier (').
En additionnant les expressions de sin (« -+. h) et stn {a — b), de cos (n + b) et cos (a — b), puis en soustrayant l'une de l'autre
(■) On obtient les {ormule» |(>) en taisant b ^^a dans la lecondc ettoii )8 quatnime I«miul« (7).
FOnCTIO^S DBd iQDA.T10NB TRAnSCZ^DAIITES 37^
les expressions de sin (a — b) et sîn (a + b), puis de cos (a — 6) et cos (fi + b), on obtient (toutes réductions faites) les formules suivantes :
a sin a cos b =: lin (a -h b) -h sin (o — b] 3 coê a etm b = ixn{a -I- b) -h eo»{a — bj 3 un b 003 a = sin (a + () — sin {a — 6) 3 nn a sin 6 ^ cos (a — b) — cos {a -+• b)
Désignon» maiotenant par p et ç la somme a + 6 et la différence a — b; noua aurons (voir p. 36o, note i) a ^- ">
b = " ^" et pourrons écrire les formules (7) sous la nouvelle forme suivante :
sin p + sin ff r= 3 sin £ ï cos ° '
ri a 2
lin p — sîn 5 := 3 sin ^ "~ ' cos ^ — -J
cos p + cos q ^^ 3 cos ^ J cos ° -'
COip
= ..i„tt'î.i„lzzf.
3&4. EzpreaBiona du ligne* trigonométriques d« l'arc a au lonotioa de tg ~ . — Nous avons vu que les lignes trigonométriques d'un même arc a sont fonctions les unes des autres; ea d'autres termes toutes les lignes trigonométriqnea de a peuvent &tre exprimées soua forme de fonetiona de l'une d'entre elles, par exemple :
. __ gjp g
cos o ^ V I — sin* o , tg a ^
V^' - sin' a
Maia ces foactions sont en général irrationnelles (leurs expresûons contiennent des radicaux). De là l'intéiél que présente la circonslance suivante : les trois lignes iri(/onométri(/ues fondamentales de lare a sont des fonctions rationnelles très simples de la tangente de tare ~ •
■380 LG CArXUL ALGÉBRIQOE
Nous avons en effet [d'après (ô)]
Divisons les deux seconds membres par l'expression sin' - -f- cos' qui est égale à tunilé, et posons, pour siinplilier, - ^ i : il vient :
sin' i ■+- cos' L ' sin' b ■+■ cos' fc '
divisons encore chacun des deux termes de chacune de ces fractions par la mime quantité cos' b [ce qui ne change pas les valeurs des factions] ; nous obtenons
mois le rapport — r n'est autre chose tg b ; d'où les formules
'g sina = ^-n- cosa = — jït; Ig <■ = ^ — rn.'
'' 1 -h tg' ti 1 -H Ig* 6 ' ^ 1 — tg* 6
386. EqaatlooB trigonométrlqnea. — Après avoir signalé quelques-unes des transformations les plus importantes de la trigonométrie, voyons comment il sera possible de résoudre les équations transcendantes les plus simples oii entrent des lignes trigonométriques (cf. n* 380).
Chetclions, [lar exemple, è résoudre l'étiuation
(lo) a sin X + fc cos a- = e,
où a, b, c sont trois nombres connus ; il est facile de transformer cette équation en une équation algébrique ordinaire en faisant le changement d'inconnue sin x=u.
Nous aurons
FOKGTIOKS DBS ÉQUATIO'S TRAHSCE:<DAHTES 38»
et l'équation (lo) deviendra.
on peut l'écrire
fc.v/r^^'« = c — au.
ou, en élevant au carré les deux membres :
i»'(i — a') ^ e* — socu -i- n'u'.
ce qui est, par rapport k a une équation du second degré. Mais nous pouvons aussi, pour l'ésoudre l'équation (lo), employer une méthode purement tri gonomé trique qui nous permettra de discuter très simplement les solutions de l'équation, et aussi d'en calculer facilement la valeur numérique (si les valeurs numériques de a, b. c, sont données) au moyen d'une table tri gonomé trique.
Nous supposerons que a et b sont non-nuls (').
Déterminons d'abord un arc z^ tel que tang ^ := - ; cela est ]>03> sible quels que soient a et 6 ; car quelle que soit la valeur de -, il existe toujours (*) des arcs ^ dont la tangente a cette valeur (oa trouvera les valeurs <le ces arcs dans une table, si a et 6 sont connus).
Déterminons ensuite le nombre r égal à . Nous aurons
r cos ç = a. donc r sin ç ^ a . tg ^ =^ *•> et par conséquent : a lia X -h b coa X ^= r(cos 9 sin :c + sin f cos x) ^ r sin (f ■+■ x).
L'équation (10) se réduit donc à (i.) r sin (ç -+- :r) = r.
Elle aura des solutions si — i < - < i ; en effet dans ce ca»
(') aoL 6 n« peuvent être tous deux nuls, car si n = fi ^ o, il n'y a pat! d'équation ; ïi a ou 6 est nul, l'cqualion se réduit à a sin x e= c, ou 6 cos I ^ c, et »e résout immédiatement au moyen d'une table donnant lei arcs dont les sinus ou cosinus sont coanua.
(') Cela résulte immédiatement de la définition de la tangente qui prend toutes les valeurs comprises entre — 00 et + ae lonque l'arc prend toutes les valeurs comprises entre — 5 et + " (voir n" lâa, 157).
(voir n° 154) il existe une infinité d'arcs f -t- x ayant [wur sinus le nombre -
386. Autres ezempleB d'équatlona trigonométriques. — Considérons l'équation
(il) tt tg T + b cotg ar -1- r = o, (o, 6, c connut). .
Pour la résoudre, remarquons qu'elle peut s'écrire (d'aprc-s la définition de 1^ a; et cotg x) : a - — -t- b j— -\~c =o, équalloii équivalente à
a sin* 3; -H '' co«' a; ^- c cos x sin i ^o; on aura donc, d'après les formules (G) et (5) [n'382] : I — C08 ax . I + cos 30 e .
ou
c sin aa- + (fc — a) co» aa- -(- m- 6 ;= o.
talion quiestdu t)pc(io) par rapport à l'inconnue 3x et se résout e il a été dit plus haut.
On trouvera dans les traités de trigonométrie de nombreux exemples d'équations plus compliquées, que les transformations indiquées dans ce paragraphe permettent de ramener à des équations non transcendantes.
Considérons d'ailleurs une équation quelconque dont le premier membre soit un pol)nouie en sin x, cos a:, tgx, égalé à o. Eu prenant comme inconnue auxiliaire u = tg - et remplaçant sin x,
cos X, tg X par les expressions (y) du n" 384 [où l'on substitue x & uj nous serons: ramenés ù la résolution d'une équation algébrique dont l'inconnue sera a.
