Étude des fonctions d'une variable

387. — La théorie des équations n'est qu'une application particulière d'une théorie plus étendue qui a pour objet l'étndo générale des fonetions (n" 3i8). Chercher, en effet, pour ditTérentes valeurs de a, les valeurs do x qui sont racines de l'équation f{x) := a, ou bien se proposer d'étudier les valeurs de y [définies par l'égalité y ^^/(a:)], qui correspondent aux difTércntes valeurs de x, ce sont là deux problèmes équivalents. Cependant l'état d'esprit du malliémalicien qui entreprend d'étudier les fonctions pour elles-Diânies est quelque cliose de nouveau en algèbre : il ne s'agit plus de combiner des formules, mais d'analyser à priori, afln d'en déterminer la significalion et les lois, les divers modes de correspondance qui peuvent i^tre étahhs entre des quantités variant simultanément. Nous reviendrons plus loin {TroîsO'mc Livre) sur celte étude analytique de la notion de fonction, qui resta fort longtemps vague et imprécise, et ne devint consciente qu'au ux' siècle. Pour le moment, nous ne nous occuperons que de la technique des calculs relatifs aux fonctions ainsi que des quelques propositions d'ordre général qu'il est nécessaire d'établir pour étaler ces calculs.

C'est h l'occasion des problèmes posés par la géométrie et la mécanique (') que l'idée de fonction fît son apparition au xvn' siècle,

{') Les premières loactiona 4]ue NtwTOM étudia ae présentèrent dans des problèmei de mécanique : c'étaient des quantités variant en fonction du Itmps (lequel, en mécanique, est considéré comme un nombre positif.

dans les écrits de Descaites, Leibniz, Newlon. C'esl pourquo l'interprétation géométrique de la tliéoiie des fonctions fut originaircment confondue avec la tliéorio elle-même. De nos jours encore, la iîgure géométrique est, pour la plupart d'cnti-e nous, le vêtement obligé des relations fonctionnelles abstraites que notre esprit ne parviendrait pas à saisir directement. Le lecteur |>eu familiarisé avec la notion de fonction est donc invité à s'aider du chapitre m de ce Livre s'il veut suivre facilement le présent paragraphe et les suivants. Comme nous l'avons annoncé, nous irons ici droit au but. renvoyant à plus tard tout ce qui a Irait à l'évolution historique de la fonction.

388. FonotloDB algébriques d'une variable x. — Soit /{x) une expression qui est algébrique au sens des n°* 278 et 379 par rapport à X, et dépend d'ailleurs, d'une manière quelconque, de nombres connus ou de lettres représentant des nombres connus : cette expression est une fonction alyébn'quc de x.

Dans l'expression /(jt), x est la h variable n ; les nombres connus (ou (!xes; qui no varient pas avec x, et toutes tes expressions formées avec ces nombres, sont appelés cunslanles.

Nous avons défini aux n°* 311 et 31S les fonctions /(x) les plus simples : fonlions enlii-res ou poiynomalcs 'polynômes en a: dont

nombre de minutes ou de Eccondo» ou do fraciioni Ao secondes écoulée* depuis UD instant initial donné, cf, inira, n" 396 et Trois. Liv.). Mail Newton observa tout de suite quo tous les réaultuts qu'il obtenait restent exacts dans le cas où la variable indépendante n'est plus le temps {qui .intervient dans les pticnomèr.e» physiques), mais bien une quantité variable quelconque dont dépendent d'autres quantités variables (et. ch. I, § 4). ■ Idcirco in iis qu» sequuntur, tempus formaliter non cousidero, sed suppono quod una ex propositis quantitatibuihomogcnacum aliis crescat atquabili Fluxu, ad quam ceters tanquam ad Tempui referanlur, quce ideci pcr Analogiam non inconciune dici potcst Ttmpua. Quoties igitur vo:c lanpua in sequenlibus inveuietur, .. hoc verbum sumendum uat, non quasi Tempua intellcxistcm in sua formali signîficatione, set tanquam Bignifictins quantitatem illam à Tcmpore diversani, cujus a;quabili Incremento vcl l''luxu Tempus «xponitur et mensuratur 0 ûl/cfAorfiis /Iitiionum, opud Oputcula Mathemat., t. I, lyiJ,

ÉTUDE DES FONCTIONS d'cKE VAKIABLB 385

les coeOîcients 8ont desconslantes], et fonctions rationnelles [rapports (quolients) de polynômes en x, cf. 374].

Considérons d'une manière générale une expression où n'entrent, «n fait d'opérations elTectuées sur x {voir 370) que des additions, soustractions, mulliplications et divisions : il résulte des règles de calcul données au $ 9 du cliapitre i que cette expression peut toujours êlre mise sous forme d'un quotient de polynômes (comparer a° 376) : elle déjinil donc une Jonction rationnelle.

Si par contre il entre, dans /{x), parmi les opérations eiTectuéea sur la variable, des extractions de racines (élévations k des puissances fractionnaires), la fonction y =: f{x) est une fonction algébrique non- rationnelle [exemple ; la fonction y = ^x' -+- i ].