Gonventiona relatives aux toDoUoiM aon-rationnellea

— ^ous a\on3 fait au n" 136 la convention suivante : par le symbole a ' , OH \/a (oà q est an entier positif), est désignée celle des racines d'ordre q du nombre a qui a le même signe que a.

Cette convention, fort naturelle dans le cas où a est un nombre déterminé et connu, n'a plus de raison d'élre si la quantité ïous le radical est une fonction d'une variable x; une telle quantité, en «fret, n'a pas de signe détermine quand x varie. C'est pourquoi, lorsque nous écrirons (sons plus) le symbole (//{xj ou [f{x)] ^, nous l 'interpréterons désormais comme pouvant représenter à volonté {si q est pair) une racine positive ou une racine négative.

Lorsque nous écrirons, d'autre part, une identité où entre l'expression y{/'(x) , il sera entendu que l'identité est valable quelle que Boit celle des racines q"" de/(x) que l'on y considère (à condition, bien entendu, que, dans une mémo identité où l'expression fîgure plusieurs fois, on ne lui attribue jamais qu'une seule valeur pour une même valeur de x).

Quant au symbole (') ±{'f<x), nous l'emploierons quand nous désirerons spécifier que nous considérons n la fois la racine positive et la racine négative de/(r).

300. Fonctions algébriques explicites on implicites. — En combinant les cinq opérations fondamentales, nous pouvons

(') Le symbote ± »o lit plat oa moin» (cf. n" 3J8).

BovTKODi. — Lm PriDcipu [I< l'AcaljH nHlbéuulitjue. jî

386 ULCCi. DC9 FOncnon»

Gonstnrira des expressions y (n;), et par cons^umt îles foncttoas algébriques, en nombre infini et d'une eoDipkxît^ croissantfi. Ce n'est point là d'aillMirs le seul moyen doat noas dispOHoi» pour former des fonctions, et la théorie des éqnations nous en suggin auMitât un antre.

Appelant P(x.y} une fonctioa de x et /, écrÎTons l'^Hlé

(.) FKr)=o.

Poor chaque valear de a:, celte égalité est une équation en j* qne noa» suppcaerons poarrae (du moins pour cerlairres valeurs de x) d'une racine «a moins; cette racine est une râleur àe y, déteitninée par la valeur donnée à x, et qui varie lorsque cette valeur varie : c'est donc une c< Jonction » de x. Ainsi la relation

{i/x -t- i)j'' — aj-/ -)- 3 ^ o, lonqu'oD la lAsiout par rapport à l'inconnue y, définit les fonction»

/ï H- 1 Lorsqu'une ronction est définie par l'égalité y =flx), où / asi une expression dépendant de x, nous dirons que celte fonction eek définie exiiticUement. Une fonction définie par uce égalité telleque (i) est dite, par contre : fonction définie implicilemenl, oa fonction définie par une u relation implicite », ou simplement fonction implicite.

On appelle, d'une manière générale, « fonction algéhrique de x a toulfi fonction (explicite ou implicite) déGnie au mojen d'une égaUté qui est formée d'expressions algébriques proprement dites {voir la notei, de la p. 37a) ('). Il importe de remarquer qu'en parlant ainsi, on ûtend le sens que nous avons primitivement attribué au mot <i fonction s. Au S ^ du chapitre 1, en effet, nous n'avons défini comme telles que \es fondions qui sont écrites ou peuvent (*)

(') On démontre d'ailleut* qu'il est possible de définir une quelconquede ces fonctions par une relation implicite P{x, y] ^ o dont le pTemier mambn eat u» pelysonu en x et y. Cela revient i dira qne ï'im pe«tt«ujoun. transformer l'ëqualion F(x, y) k^ o en une équation équivalente dont le premier membre est un polynôme. Cf. p. 3^6, note 1, et infra.

{*) Ces deux hypothèies sont équivalentes puisque la fonction est, par défmition, indépendsunte de l'expiesHOn qui la représente (ch. i,. S 4]-

ÉTUDE DES FOnCTlONS n'vsK VAHIàBLE 3Sj

6tre écrites SOU& forme explicite. Or il est clair que tonte foDCtioD implicite ne peut pas être écrite explicitement (<) : si, par exem^Je, la relation (i) est une équatitm du cinquième degré en y, nous ne pouvons former aucune expreaûon algébrique qui représente les racines (en fooction des coefficients de l'équation, et, par conséquent, dea:).

Qu'une fonction, cependsnt, soit explicite ou implicite, nous pouvons toujours, lorsque nous en énonçons les propriétés, convenir de la représenter par le symbole f[x), — étant bien entendu que J{x) ne désignera une a expression algébrique » (^ue si la foocticai est déiiiûe expliaitexnent.

3ftl. Fonction définie daini un IntarrallB. — Des définitions données, plus haut il résulta qu'une fonction est uue loi de correspondance ^uivanl laquelle àdes valeurs variables indépendantes x répondent des valeurs de la variable dépendante j.

n se peut qu'une telle loi de correspondance soit définie pour touU valeur de x ; aiaai l'égalité y = ax» — i détermine la valeur de yqueLqucsoit X. Mais il est possible aussi que la loi ne soit définie que lorsque X varie entre certaines limites : ainsi l'égalité y = ^i — x" ne donne une valeur (') de y que si — i <; x <; i ; pour le» autres valeurs de x, eu effet, la différence i — x' est négative et n'a pas de racine carrée.

Ainsi donc, si nous voulons étudier une fonction en détail, il nous faut d!abord spécifier pour quelles valeurs de x elle est définie. Nons dirons qu'une fonction y est définie ou « existe » dans l'inUrvulle (') a, 6» si elle est définie pour a <i x ■<. b, c'est-àdire pour X variant entre les valeurs a et b. Une valeur de x i partir de laquelle la fonction cesse d'exister (extrémité d'un intervalle où la fonction asiate) sera appelée valeur critique oa singulière.

(') Vid0»upra, ïfi 3&o.

(■) Elle en donne deux ai l'on ne spécifie pas le signe dont on aSecte te ladieal ^t — »■.

(s) Lorsque nous disons simplement que nous étudiant la fonction dans l'intervalle a, b, nous n'entendrons pas nécessairement dire par là que la IWHliwi a'eziata que dans cet inteivalla : elle peut exister dans un intervalle plus grand «pu celui qu'il nous plait de considéiei.

388 CALCUL UBS TO;«CTI0^S

392. — l>e mot n intervalle « lîveille dans notre esprit «ne image physique : c'est qu'en eiïcl ce mot. comme la plupart de ceux qu'emploie la théorie des fonctions, lait allusion à la représ«ntalion géométrique des nombres-abscisses. Portons les valeurs de X, a et 6, à partir d'une origine o, sur un axe orienlé (n* 127) : ces valeurs

son! alors des abscisses, et nous constatons que si a <; x < 6, l'extrémité de l'abscisse a: est située entre les extrémités des abcisses aetb: c'est pourquoi nous disons que le point représentatif de x esl • dans l'intervalle a, b i>. C'est encore par allusion à la figuralion des abscisses que nous dirons d'un nombre qu'il est « situé t> dans un intervalle ou « au voisinage » d'un autre nombre. Ces locutions se comprennent d'elles-mêmes.

393. Ponction inv«rB6. — Soit y=/[x) une fonction de x. L'égalité qui la défmit peut s'écrire ^ — f{x) = cet il nous est loisible, évidemment, de lu considérer comme une relation implicite définissant x en fonction de y. Ainsi la même loi de correspondance qui fait forresponrlre uite valeur de y A une valeur de x, fait correspondre inversement une videur de x à une valeur de y : se donner une fonction y de x, c'est se donner du même coup une fonction (') x dey : cette fonclion est appelée * fonction im<erxe » do la fonction /(x) ou y{x).

Exemples. — La fonclion inverse de la fonction y ^ x' est la fonction x =^ v'j- La fonction inverse de ^ = x* 4- x est

Remarque. — Il importe de se garder d'une confusion à laquelle pourrait prêter notre langage. On sait que l'on appelle in~

verse d'un nombre a le nombre - ; on appellera, semblablement, in-

(') La fonction inverse, naturellement, ne peut pu toujoun Stre mÎM loui la torme : x ^ ezprcuion algébrique de y (cf. n° 390).

ÉTUDE DES FOnCTIONS d'uNE VARIABtB 389

verse ttane fonction y{x) la fonclïoo -r-r ; ainsi Xinverse ttum fonction et sa fonction inverse sont choses tout à fait diiïérenles.

304. Fonction de lonotlon. — Soit y une fonction de x et X fo notion d'une variable indépendante z. Il est manifeste que la variable dépendante y se trouve ètie fonction de la variable 2. En particulier, supposons que les fonctions y de x et xde z soient données explicitement : si dans l'expression dey je remplace {') x par son expression en fonction de z, j'obtiens texpression de y en

fonction de z. Ainsi, les égalités y = /i, x ^= ^— — -donnent

l'égalité y ^=\j ^ T'OS fonctions di^finies do cette manière

sont appelées II /oncfions (/e /ortcf ions », ou « fonctions compo~ sées ». Nous en rencontrerons de nombreux Gieniples dans la suite de cet ouvrage.

30B. Branches de fonction. — Considérons l'égalité ^r* =zf{x), où f[x) est une expression algébrique quelconque contenant x. En vertu de cette égalité, et dans certains intervalles toulau moins (voir 301), à chaque valeur de x correspond une vuleur de y. Mais n'en correspond-il qu'une seule ?

La réponse variera suivant la forme de l'expression 71|x). Si y =f{x) est une fonction rationnelle, il est certain qu'à une valeur de X ne correspond qu'une valeur de y. Au contraire l'égalité y == y/x qui délinit y comme fonction de x pour x >• o donne pour chaque valeur de x deux valeurs dilTcrentes de y, égales et de signes contraires. Mous dirons que nous avons là deux « branches » différentes d'âne même fonction. La raison qui nous fait nous exprimer ainsi n'est i>oint seulement que d'après le n" 380, le symbole général ^x signifie, pour nous, à volonté + </x ou — /x- Nous remarquons que les deux « branches de fonction » y=^ + i/x ety = — v'x sont fonctions inverses d'une même fonction, la la fonction x =^ y^ : c'est pourquoi nous regardons ces deux branches comme appartenant a une même fonction.

(') L'opératioD ainsi effectuée c>t appelée < changement de variable alfébrique ■.

Sjo CALCti, iwes FonCTiom

Aiofit, DOU6 wmmes avertis que J'égalild y =^ J[x) peut définir une fonction pourvue de plusieurs branches. Mais nous n'allons point, pour l'instant, nous préoccuper de celte circonstance. En eQet l'étude d'une fonction Y =^y(j') est principalement l'étude de la variation concomilante des voriables le et ^ à partir de valeurs données : ta variable x part de la valeur :c«, y part de la valeur y» [telle que y„ ^=/{x„]], et il s'agit de savoir comment varie y à partir de y, lorsque x varie à jiarfir de x^ ; la variable dépendante y peut n'Stre qu'une branche de fonction, mais cette branche est en tout cas déterminée d'une manière unique Idu moins dans un certain intervalle contenant x^) par les valeurs Xo, jg d'où nous partons. Nous ne considérerons, jusqu'à nouvel avis, que des intervalles où 1/ iie cesse pas tf en élre ainsi, c'est-i-dire des interv«lleB ne contenant aucune valeur de x pour laquelle plusieuis liranchea de la fonction peuvent venir ae confondre (en preaant ia même valeur). Ilu'y aura dès lors aucune ambi^ruttédansnotrelasgage si nous disons « fonction » au lieu de « branche de fonction a «D spécifiant que nous suivons la foncUon, au wtitinage dr x,, à partir des valeurs initiales x„, y,. La fonction sera dite luioofue {ou uai/orme] dans les intervalles dont noua veaoas de parler.

396. Continuité. — Les fonctions algébriques sont, en général ('), continues au voisinage de loale valeur x^ de x pour ia^aelte elles existent. Nous entendons dire par lit que oes fonctions y de x satisfont aux conditions suivantes : 1" lorsque x (à partir de x,), varie très peu, y (partant d'une valeur détcimioée y,) varie égale- ■aent très peu : a° soit y, la valeur de y qui correspond à tme valenr JC] voisine de Xtiy pread mi moins une fois, pour x wanaat entre x» et xi, cliacuae des valeurs comprises entre y^ et y,. Une comparaison va nous aider à comprendre ces énoncés. InugintHis que dans le <M)urs d'une après-midi la température varie : nous pouvons alors oonfiïdérer que la température à un instant 4}ueicooque est déterminée par l'heui£ qu'il est, c'est-à-dire par le •tompsécoulc depuis midi : elle se comporte comme si elle élMt foncliim de l'heure. La température peut varier plus ou moins vile, mais nous admettons qu'elle se modifie d'une manière continue,

1') Voirie n" IJflij.

ÉTUDE DB8 HmCnOUS d'wE VAtUABlâ %!

«Ile ne fait pas de sauts htuaques [nalura non facU talias) ; aiiui, pendant un temps très court, par exemple — r— de seconde, la température varie très pou ; et, d'autre part, si d'un instant h un autre la température est montée de i5 degrés k i5,02 degrés, nous sommes certains qu'il y a eu au moins un instant întermidiaire où la température a été de i5,oi .

"La théorie de la figuration des fonctions, que nous exposerons au chapitre m, ramène la notion de continnité à une notion géométrique élémentaire et intuitive : celle de courbe continue, ou courbe pouvant être tracée sar le papier d'un trait continu.

Si nous voulons, par contre, rester placés au point de vue de l'arithmétique et de l'algèbre, nous ferons appel — afin de préciser et de rendre tout à fait rigoureure notre définition de la continuité — à la notion de limite que nous avons introduite au { 6 du Premier Livre.

Nous dirons que la fonction ou branche de fonction y =f{x) fist continue pour la valeur Xa de x si, lorsque l'on donne à x une suite quelconque de valeurs (en nombre infini) z,, X}, ..., x„. ..., se rapprochant de plus en plus de x^ et tendant vers la limite xo, les valeurs correspondantes de y forment une suite trndaal vert une limite déterminée {et toujours la marne) y^, égale kf{x^.

Ceci signifie, d'après la définition de la limite, que : quel que soit le nombre donné, arbitrairement petil, (., on peut trouver an nombre « assez petit pour que, si [ x» — x,, | < a [ce qui équivaut à dire que Xg — œ <x„<;x» + aj, iVenr^ïaftc('}rinég»lité: [/(e-.) —A^o) \<s,ou:y, — s< /(x„) < y, + i.

Lorsque cette circonstance se présente, on peut (sans spécifier

quelle e«t la suite de valeurs Xi, Xî, ..., %, convergeant

vers Xo, que l'on donne k x) dire que y tend vers la « limite n yt lorsque x tend vers x».

Cette définition de la continuité, est conforme à celle que nous avons donnée plus haut. Les dioerses propriétés qm caractérisent ^/onctions continues en peuvent être déduites (').

Cela établi, nous dirons qu'une fonction y = J{x), définie

(') Vat f\x-), I Xt] Boui désigneroni les valcura prîaoapsr/ pour x •= x, * = «,),

(*) Voit infra p. 422, not« a «t Trois, Liv., dup. tu, § i.

Sga CALCDi. DES fosctioss

dans un certain intervalle a, b est continue dans cet intervalle n elle est continue poar toutes les valeurs de x comprises entre a et b.

397. GroiBaanoe et dëoroiseanoe dM variables. — Pour pouvoir parler de la continuité d'une fonction, il fuut naturellement que nous fassions varier d'une manière continue la variable indépendante X. J'entends par lu que, pour passer de la valeur x^ à une valeur voisine x» + A, nous faisons traverser à x toutes les

valeui-s intermédiaires telles que Xo -^ - , Xg +31 ^^- ^ nombre h peut d'ailleurs âlre positif ou négatif: aiA> o, on a Xg -(- A > a;,, et, de X|,en x^ + A, a: va en croissant (croît) ; si A <; o, on » x„ -h h < Xfttx va en décroissant (décroit) de x» en xo + A.

Cela posé, nous voyons que dire d'une fonction y de a: qu'elle est continue, c'est dire que y croit ou décroît d'âne manière conlinue à partir de y^ lorsque x croît ou décroît d'une manière continue.

398. paies et infinis des fonctions. — Pour un esprit non prévenu, la notion de continuité est intimement liée ii celle de fonction algébrique. Aussi ce que tout d'abord nous devons nous altaclier k comprendre, ce n'est pas qu'il y ait des fonctions continues, c'est au contraire que la loi de continuité puisse soulTrir des exceptions.

Ces exceptions existent. Elles se présentent, en particulier, pont les valeurs isolées de x pour lesquelles les fonctions algébriques ont une valeur infinie.

Considérons la fonction y ^ - ■ Celte fonction est bien déterminée pour toutes les valeurs positives ou négatives de x. Pour X -~^ o, elle n'a pas de valeur. En effet, lorsque x est positif et

se rapproche de o, la fraction - (tout en restant positive) devient plus grande que les nombres les plus grands ; lorsque x est négatif et se rapproche do o, la fraction est négative et sa valeur absolue devient, elle aussi, infiniment grande. Nous exprimons ces faits en disant que, lorsque x tend vers o, y devient infiniment t/ranit positivement ou négativement suivant i/ae x est positif ou né-

ÂTUDE DES FOnCTIONS d'UHE T;IRIABLE 3g3

galif (')■ 11 y a, en ce cas, dUcontinaiti de la fonction pour

Afin de pouvoir regarder la correspondance entre x et y comme définie quel que soit x, nous conviendrons de dire que la valeur de y correspondant à x =: o est i'injinï et nous écrirons :

j- = =o (pour X = o).

La valeur a; =^ o, pour laquelle la fonction rationnelle y = est inlrnic et discontinue, est appelée « pôle » de cette fonction. On constatera aernblablement que les fonctions

sont inlinies (*) et discontinues pour a; ^ i . La valeur x ^ i est un pôle pour cliacune de ces fonctions.

D'une manière générale, pour la fonction rationnelle y = ^i~\ [P et R étant des polynoiaesen x\ toute valeur de x qui annule R, sans annuler P, rend y infini et est un » pôle ».

Nous parviendrions à des constatations analogues si nous étudiions, au voisinage de la valeur x ^o, des fonctions non rationnelles telles qae y ^ x"^, y ^:~, , qui deviennent infi-

x'(cx -j- d) niment grandes en valeur absolue lorsque x tend vers (se rapproche de) la valeur o. Nous dirons que, pour ces fonctions, la valeur a; ^^ o est un « injini » (c'esl-à-dire : une valeur pour laquelle ;y =^ oo). [Jusqu'à nouvel avis, nous réserverons le nom de pôle aux u înfmiu » des fonctions rationnelles (')].

('] Ramarquons en outre que, lorsque z traverse la valeur o, en passant du «gno — au signe +, y saute brus4|uement d'une valeur négative infiniment grande à une valeur positiva infiniment grande. Nous dirons alors que jf taute d» ta vateur + » 4 la fabur + ce . Les choses se

paMfnt autrement pour la fonction y = -, qui eit toujoun positive (cf. in/r« af> 5(>3).

(*) Pour a: =3 I, les dénominateur» des fractions sont nuls tandis qu« les numérateurs ne le sont pas; et l'on vérifiera facilement que, pour z voisin de i et inférieur à i, les tractions sont négatives tandis qu'elles ■ont positives pour x voisin de ■ et supérieur.

(*) Voir au Trois. Liv., cliap. ir la dcfinition générale des pAles.

389l Gontizuiité d«s ionctioiM Riffébrl^MS. -~ Les polei «t infinis étant ainsi caractériaés, on peut aOirmer que : Dont tout intervalle où elle exîtie, eal wÙDoque. M cmuerve une vakar finie {c'eat-à-dire n'a point de p&le ou infini), une fonction algétriqae t}ueleonqae de la «tu'iable x est niceuairanenl continae.

On a pu démontrer ce théorème en toute rigueur en parlant de la définition algébrique de la continuité donnée au n° 306 ('). Nous nous contentons, pour le moment, de l'énoncer.

400. Fonction* croissante* ou déoroissantaa. Hazlma «t uinlma. — Poursuivons l'étude générale de la (onction algébrique y ^/(x), ou (') y(x), au Koisinagfi d'une valeur quelconque X, de X. De part et d'antre de x,, nous imaginons qoe x varie dans un intervalle où la fonction est supposée être définie, univoque et continue, et nous examinons comment varie y.

Supposons quex, croissant d'une manière continue (voir n" 397) passe d'une valeur inférieure à j;, à une valeur supérieure : pendant ce temps, y crott ou décroît et pacee par la valeur y^ pour X =^ o'o : si ^ crott, nous dirons que la fonction est croissante pour x=^ x^; tiy décrott, nous dirons que la fonction est décroissante pour x=^ Xa. Vue fonction croissante est donc caractérisée par cette circonstance qu'elle mne dans le même sens que x. Une fonction décroissante, au contraire, varie en sens inverse du sens de a:.

Il peut aïriv«r qu'une fonction, qui est crotiemte, au vDiaisage de 0D, dans un certain intervalle Xi' < x < Xi, cesse d'être croissanlfi pour la valeur xi et décroisse dite que x >■ Xi : nous dinms

Cl Ce théorème s'applique aux fonctions implicite! auui bien qu'aux fonctions explicites. Par oontiv, le* foociious tranicBndaiitaa défiaie* nu J lo du chapitre i peuvent Stra discontinues tout en reseant Bïim.

Considérons par exemple la fonction g ^ sin -. Posons x ^ i-', d'oii y ^ tin s. Etudier y, au voisinage de x >=^ o, revient & étudier sin ■ pour les grandes valeurs de z. Or nous savons que lonqne s augmente tndifi' uiment, sin * oscille entre la valeur — i et -f i sans admeUre MMOBe limite [ou au», par exemple, eio x =^ o p«Br les valeurs «rbibrainBMnt

granJes x^ kjc{k entierj, sin 2 = i pour les valeurs s >= ~ + ffi {k entier}, etc.].

[') Je dés>^ne lu fonction ainsi pour abréger, cf. a' 307.

ÉTUDE ose FOMcnons d'we variable ' 3g&

al<H<B qoe, {lour x =: cci la fonction ptate par un maximum. : le nuximani est la valeur yi que prond y pour k^x, (valeur aupénenre & toutei cellBKqœ prend lafonctîoD an voûiaage dex = x,). — Si, au contiaire, ia fonction est décroMsante pour x<Cx, et croissante pour x '>Xi, nous disons qu'elle passe par un minimion pour X = xi, — Ainsi la fonction y = 3j:' passe par un minimum {égal h o) pour x = o, puisque cette fonction, égale à un carré positif, ne peut pas descendre au-dessous de o. La fonction y = — 3(x — i)* + apas8e, pour x=i, par un maximum

401. Remarque. — II est bon de remarquer qu'un maximam ou minimum de la fonction y{x) est une valeur critique de la fbiiotion inverse xij) [valeur h partir de laquelle la fonction cesse d'exister, voir 391]. En effet, soit, par exemple, yi un maximum obtenu pour x = xi. Pour les valeurs de y voisines de y, et inférieures, nous avons deux branches de^la fooctton x (y), dont l'une a des valeurs inférieures, et l'autre des valeurs supérieures à Xi ; mais nous ne rencontrons pas de valeurs de x correspondant aux valeurs de y supérieures à ^i (et voisines dey), puisque y, est, par hypothèse, la plus grande valeur possible de y pour la bcanche de fonction considérée. — Pour la valeur critique y^^/i, nous avons deux branches de fonction x{y) confondues.

Ainsi, In valeur j' = o est critique pour la fonction x =v/^ > inrarae de Sx*; la vabnr y ^ •! eel critique pour la fonction x= 1 -+- 1/ ~"^ [fonctton inverse dey ^ — 3 (x — i)' -»- ^\-

403 Remarque. — Au cas où l'on considérerait la fonction y dans un intervalle où elle n'est pas continue, il se pourrait que la fonction passât d'une grande valeur A une valeur plus petite sans ^ponrcela préacnter un maximum. Cette circonstance se présente

pour une fonction telle que , „ dont la valeur Xo est un pôle, ât qui saiiie de + ao & — os ; croissante {jusqu'à + k> ) pour X ■< X), cHe est encore crmssantc (mais repart de la valeur négative — 90 ) quand x dépasse x,.

ogb calci:l des

403. — Ces remarques faîtes, proposons -nous de poursuivre l'étude de la croissance ou de la décroissance d'une fonction algébrique. Pour faciliter cette étude, nous allons éli-c amenés ù détînir une opération nouvelle, dont la portée est considérable : l'opération de la tlérivation.