Dérivées

404 Le rapport t . — Considérons (') une fonction de x, que je désignerai par le s)'mbole y{x), qui soit égale k-y^ pour x égale à X,, et univoque et continue au voisinage de x„. Je suppose que Je fasse varier x avec continuité à partir de x^ (n" 3B7 sqq.) : cela revient à donner à jr un certain accroissement h [d'ailleurs positif ou négatif) : la variable x, en d'autres termes, passe do la valeur 2:, à la valeur a; = 3;, -h A. Pendant ce temps, la variable^ subit, elle aussi, un accroissement li, positif ou négatif : elle passe de la valeur j-o à la voleur y =: y^ -h k.

D'après le n*400, la fonction y est croissante ou décroissante au voisinage de x„ suivant que les accroissements k et h sont de même signe ou de signes contraires, et, par conséquent, suivant

que le rapport y est positif ou négatif. Ainsi le signe de ce rapport indique le sens de la variation de la fonction. Ce n'est pas tout : la valeur absolue du rapport . peut être considérée comme donnant la mesure de la rapidité avec laquelle la fonction y est croissante ou décroissante lorsque X varie de x^à x^+ h. En effet, ai ce rapport

(') La notion de dérir^e est, comme nous lé verrons nu chap. m, § 3, intimenieDt liée i, celle de tangento & une courlie, et c'est sous ce vèteroent géométrique qu'elle apparut d'abord dans la science ; elle lut définitivement tirée au clair par Nbwtdn et Leibniz [voir infra. Trois. Liv., chap. II]. C'est de l'œuvre de co dernier géomètre que procède tiiatoriquement le calcul des dérivées tel que nous le pratiquons aujourd'hui : les règles principales en sont exposées dans le traité t Nova mtlliodiit pro maximis et minimU itemqut tangtntibui, qum née fraebu rue irrationalea quanlilale» moratur. et singulare pro itli» caleuU gtmu ■ qui fut publié dans les AcCa erudilorum en i6Si. Le mot deriitiré est introduit par Leibniz dans sa i?^po/i>« à Xeivlon de 1G7-' iMalhem. Werk., I. I, p. .J4-6a].