Supposons donc que nous considérions des accroisse

(') Sur celte assimilation d'une variable x à un point (extrémité d'une abtcîssB) mobile >ur une droite, voir tupra n° 'tg^i.

(I) C'est en recourant ainii à la considération du mouvement que Nkwton définissait la dérivée, qu'il appelait /luzùin.ConsidéraDt les quantités tonctioni de x (qu'il appelait fluente^} comme des points mobiles (voir la note précédente) il en calculait les vitesses pour une variation arUtratremanl petite (et, à la limite, infiniment petite) de la variable : > velocitatci quibus singulœ Fluentes augentur per mctum geneiantem (quasvelocitates appello Fluxiontt, aut sïmpliciter velocitalM vel celerilatet] exprimuntur elsdem litteris puncto auctis, sic ù, t. y et i [la variable indépendant itaildiiigniepart] ■ {Melhodut fluxionum, Opuscula Mathem., p. 54. Cf. supra, p. 383, note 1). La notation que propote ici Newton d'b point passé dans l'usage. ^ Sur la déHaitiou rigoureuse de la vitesse, voir Troit. Liii., fin du ch. 11.

3g8 CAtCUL M9 po.icTions

in«nUA«t £.-<le|4iueiL pUa ei arbilrairement {')ptlita: aiora, dan» la fraction r , les deux termes deviendront plus petits qne n'importe quel nombre donne ; mais la Traction ^ pourra, quant à elle,

se rapprocher d'un nombre déterminé (ni infiniment petit, ni infi-

k niment grand); et ce nombre, alors, a limite de ^ pour h = o n,

sera la mesare de la vitesse de la variation de y. Commenl le rapport T est en efiet susceptible d'avoir une limite, c'est ca dont nous nous rendrons facilement compte en remarquant que puisque j est fonction algébrique de x. l'accroissement k est lui-même fonction algébrique de A, et (Onction égale à o pour A =^ o : ainsi A; est égal à une expression algébrique telle que par exemple :

fc=3A-i- 3 A' ou k = , ijt etc. Les veleurs de t correspondant à cex exemples sont :

onvoitque.lorsque&serapprochedeo, ces valeurs se rapprochent d'une valeui' déterminée, 3, bien que la fraction .donlles deux termes deviennent arbitrairement petits, tende à prendre (si on ne la simplifie pas) la forme dépourvue de sens - .

Lorsque la limite de ^ existe (■), eHc est appelée dérivée île la fonction y pour x ^ x,. La valeur do la dérivée peut naturellement varier, et varie en général, avec la valeur de x, : elle est donc fonction àè Xg.

406. Exemples de dérivées. — ■ Goasidérona la fondioii y^=a^aa voisinage d'ttœ vataur qadccnque x^ de a:. Pour«=x«, nons avons y ^= y(, = xi. Pour x = 3C, -J- A, nous avons

(*} Au sens de la pafe 55, note i.

(*) Voir au n" ^07 [Remarque] ce qu'il laut au juate Aoteadre pat U.

3,Nzed.ïGOO<^IC

BËRIVÉBS 3^^

Bb cenaéquence :

k = (x, -H ft)" — xl=: aT,fc + A' ; , = aa;„ -(- ft;

lorsque k tend vers o, le rapport ■; admet la limite 3x, ; cette limite est la dérivée de la fonction pour x -^ x,,. D'ailleurs Xa est une valeur quekonqae de x ; nous pouvons donc énoncer te résultat snivant : pour toute valeur de x, la fonction y =x* admet une dérivée égale à ^x.

Considérons la fonction y =■- v'ï au voisinage âe a:». Nous avons-

d'où l'oa déduit ('> (d'aprt» le n" 303) k = .. ^^^ =.

Lorsque A tend vert o, le rapport j admet une limite é^ale & — ^= . Nous énoncerons donc le résultat suivant : nour toute valeur de x, la /onction y =^^/x admet {ou a) une dérioée égale à

407. DéttnitioD géaéràlm dm U dérivée. NoUrtîOB«. — TiooB avoDs vu conuncBt on déGnit la dérivée pour une valeur x^ de x; cette valeur étant quelconque, il est permis de la désigner par la lettre x, sans indice, ainsi que nous T'avons fait dans les deux énoncés donnés ci-desras. On formula alors, d'ordinaire, la dé(iaitionde la dérivée dans les termes et avec lesnotalionBMirvantes : ' Soit X une valeur quelconque de la variable indépendante (an voisinage de laquelle la fonction est supposée univoque et continue) et ^ b valenr correspondante de 1* ïonctioB. A partir de la v^ur X je donne à la variable indépendante on acnoàsMuent (pesitif on négatif) égal à Ax : il en risiilte pour y an accroùetineBl Sy.

Si le rapport v~ admet une limite (et une limite unique) lorsque

^') On k voit «■ IwMnt v = x^ + h et ^ ^ x, dam l'identité

^/â — /S = T 1= 'i^ •• déduit immédiatement des ideatitéi (XVj

4oO ClLCt'L DBS FONCTIO:<S

Ax prend une suite quelconque de valenrs tendant vers o, cette limite est la dérirée de la fonclion poar la valeur x de la variable. Remarque. — Aux termes de celte ^érmîtion, on suppose toujours, lorsqu'on déclare que la fonction admet une dérivée, que la

limite du rapport j^ et la même qae t accroissement Ax tende vers o par valeurs positives ou par valeurs néfjalives.

On désigne généralement la dérivée de y par la lettre v* affectée d'unaccent(on/v(:yp/7/iie), ou par y., l'indice indiquant la variable par rapport à laquelle est prise la dérivée : on l'écrit aussi (') :

y , symbole qui rappelle que la dérivée est obtenue en prenant le rapport de deux accroissements ^y, Ax que Ton fait tendre vers o. Si l'on veut rappeler que les variables dépendantes y et y sont (snctions de x, on peut, au lieu de y et y', écrire : y(x) et y'{x') ; ou bien, si l'on a posé j* ^ f(x), on écrira : y' = f (a:).

408. Dérivées d'ordre supérieur. — La déri\ée y", étant fonction de x, peut avoir elle même une dérivée : cette dérivée sera appelée h dérivée seconde a ou « dérivée d'ordre -a « de la fonction y : on la représentera par le sjmbole (') y' [y seconde], ou par le

symbole j^j, symbole dont la forme sera justifiée ultérieurement.

La dérivée de j*' (dérivée troisième o\i d'ordre trois) s écrit y', ou -,-\ . La dérivée d'ordre 4 s'écrit y"* ou ji, et ainsi de suite.

Le calcul de la dérivée d'une fonction peut être considéré comme une opération effectuée sur l'expression de la fonction. Nous appellerons cette opération : dérivation.

409. Dérivée d'une constante. — Une constante est une quantité qui reste fixe lorsque x varie. Son accroissement est donc nul quels que soient a: et Ax : j'en conclus que sa dérivée est toujours nulle.

I') Ces notations — dont les tria grandi avantages apparattront dam la suite — sont, à quelques modifies dont pris,cel]ea qu'employait Lbibnii, et qu'il définit dans son traita des Acla erudilorum, f684 {vide tupra, p. '<<|6. note i).

(') Si l'on a posé y = j/;*) ou y = /a), onpourra^rirey' = ï*,x) ou/'[x).

DËRIVéES ioi

410. Dérivée d'ans somma. — La dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées des termes de cette somme. Supposons, en efTet, que la fonction y de x soit la somme de plusieurs fonctions, par exemple (') de deux fonctions u et v. Appelons &y. Au, \v les accroissements subis par y, u, v, lorsque x s'accroît de Ax : nous avons évidemment :

ij- = iu + An.

L eg;a1ité subsiste lorsque nous divisons les trois accroissements par ix : cela quelque petit que soit àx.

Si donc nous faisons tendre Ax vers o, nous avons :

limite de ^ := limite de ^r — h limite de ^r- , donc v' ^ u' -(- u' .

4ll. Dérivés d'an produit ('). — l' Le produit ifwie fonction y par une constante a a pour dérivée le produit af. En effet, lorsque X s'accroît de Ax et )> de Ay, l'accroissement de ay est aAy et le

rapport de cet accroissement h Ax est d t^-

3* La dérivée du produit uv de deux fonctions u et v est égale à «'ti -4- v'u.

En effet, posons y ^ uv et appelons Au, Au, A^, les accroisseinents de Au, Ad, ày correspondant à l'accroissement Xc de x. ^ous aurons

ij r= (u -)- in) (u -1- Au) — au := cAu ■+■ uAv + Au.Avi

donc

Aj- Au ^ Au , Au .

égalité qui subsiste lorsque \x tend vers o, et qui donne {At> devenant nul) :

, . éy du do , ,

[■) La même dimonitration s'appliqu» à la Bomme d'un nombre quelconque de fonctions,

(*} Leibnii énonce ces riglea soui uno tormo un p«u difiércnte on considérant, bu lieu des dérivées, les di/fir»ntiêB«t, dont noui parlerons dans notre Troitième Livre, ch. ii.

Boimovi. — Lu Principes da l'AïuljM lutUnutiqiM. iG

413- IMrivfolognltluaique. — On appelle dérivée logarithmique d'une fonction y (vide in/ra 433) le rapport •- . L'inlérftt de cette exprefisian lient au théorème suivant :

La dérivée logarithmique d'un produit est égale à la somme des dérivées logarithmiques des fadeurs du prodail.

Considérons d'abord, en efTet, le produit y des deux faleurs u et V. Nous tirons de l'égalité (t) [en en divisant les deux membres

par}*] •'-=â~^v' ^<3°*'<^^^">*tt ■*<*'°'^'Mtit \eproànitz = amoi

posant y =^ au, nous avons z = yw, - ^ "^ — i — ; mais, d après

De proche en proche, nous dénionti-erons ainsi que le théorème est exact, quel que soit le nomhre des facteurs du produit.

413. Dérivée d'ane pnlManoe entière de x. — Soit y = x" une puissance entière de x. La dérivée logarithmique de x~ est égale k m fois la dérivée logarithmique du facteur x ; or celte dernière dérivée logarithmique n'est autre que - puisque U dérivée de XGst (') I. Donc nous avons :

/m j, , , mr" .

t = ~-; do,. / = — = ™:-..

Dérivée d'un polynôme. — Un polynôme étant use somme de puissances de x multipliées |>ar des constantes, nous saurons calculer la dérivée d'un polynôme. Ainsi la dérivée du polynôme y =^ 3a;' — a;' H- oar -f- ab* est y' =; 3.3ar* — ax -t- a ^ gx' — ax + a.

414. Dérivée d'un quotient. — La dérivée da qaotieal ~ de de deux fonctions de x est égal à -3

En effet, lorsque x subit l'accroissement Ax, nous avons :

' CI Le r«pp«pt de rseerotMMueiit A^rde « à cet aoereiiMinnit — mtme est égal à I.

téduîsBDt KD roéom dénorainaleur, il vient :

Ar = 7

- Au) ' Aa ti' + uAu

Lorsque àx tend vers o, le numérateur de la dernière fraction se rapproche de plus en plus de va' — uv', tandis que le dénominatenr se rapproche de v'; donc t£ admet une limite qui est

415. Applioatioii. — Soit k calcuLer Is dérivâe de l'ÎDvarse d'une puissance entibre, af, de x ; nous poiofona s = i , v = ic**, d'afr u' = o, v' =: mx"*"', et nous auroiu :

dérivée da ^ ;= — j— =; — t- — ^= ^^irr •

En introduisant des exposants négatifs (n" 137), nous présenterons comme il suit ce résultat. Posons m' = — m [m' est alorsnigitii) : nous avons J; = «— = x-' A^ = x---*; «oub

constatons donc que ta dérivée de a;"" esl m'ac"'"' : la régie qui donne celte dérivée eat celle mAme qvi dcane la dérivée de x^ pour m entier positif.

Dérivée (Tarte fonction rationnelle. — Sachant calculer la déri- 1^ d'un quotient et la dérivéa d'an pelyaome quelconque, nous saurons calculer la dérivée d'une fonction rationnelle quelconque.