Dérivée d'une fonction de fonction (lonoUon c

■ée). — Soit y fonction de x, et x fonction de z. Nous avons dit (n' 304) qu'en ce cas y peut être considérée h volonté comme fonction de x ou comme fonction de z. Nous aurons donc aussi à considérer deux dérivées de y : l'une, limite du rapport^, est la dérivée de y par rapport à la variable x ; nous l'écrironi y. ou -f^. L'autre dérivée, limite du rapport ^, est la dérivée de y par rapport à z ; noua l'écrirons y', ou ■/ , Quant k la variable x,

qui est fonction de z, elle admet une dérivée par rapport h z,

. , dx savoir X, ou -p ■

Cela posé, nous remarquons que, quels que soient Az, Ax et Ay, nous avons

Aj^ A^ A*.

Ai Az 3F'

cette égalité subsistant lorsque les accroissements àx, Ay, Az tendent vers o, nous avons k la limite

dr dy dx

DÉRITÉIS JioS

égalité qui nous donne la règle de dérlvalion d'âne fonclion de fonction [ou fonclion composée).

Application. — Soit k calculer la dérivée de y = /i -i- ar'. Je pose I + x' = u, et j'ai alors

La même méthode permettra de calculer la dérivée d'une racine d'ordre quelconque portant sur un polynoime en x ou sur une fonction rationnelle.

418. Dérivée d'ane paissanoe rationnalle â« x. — Considérons la fonction ^ = xi , où p et ^ sont des nombres entiers quelconques positifs ou négatifs. Pour calculer sa dérivée, nous = u. Nous aurons d'après les n** 413, 416, 416 :

poserons x <

= u. No

ufl aur

y = uy

d'où y.

donc /,

Posant dès lors^

, nous pourrons énoncer la proposition suivante : Quelque soil le nombre ralionel (positif ou négatif) m, la dérivée de x"' esl toujours égale à mx"~'. Cette règle ne diffère pas de celle qui a été donnée au n° 413 pour m entier positif.

419. Signe de la dérlTée- Haxima et mlnlma. — Nous venons d'exposer les méthodes au moyen desquelles on calculera les dérivées des fonctions algébriques explicites. 11 nous faut voir maintenant (ou commencer k voir) quel usage nous pourrons faire de ces dérivées.

Soit^ une fonction uni voque, continue, et admettant une dérivée continue dans un intervalle a, b {vide 3S1).

U résulte de la défmition mime de la dérivée (n° 407) que si, pour X = xn, h fonction y admet une dérivée positive, elle est croissante ; si elle admet une dérivée négative elle est décroissante.

^6 CALCUL DBB FOnCTIO^fS

Ainsi le signe de la d^rîv^ fait coniudtra le sens da la variation ds la fonction.

Supposons maintenant qne, pour x = Xi , la fonction paase |>ar un maximum (n" 400) : elle cesse de croître pour décroître : donc la dérivée y, qui était positive (au voisinage de 3!;i) pour x <; x,, devient négative pour x > Xx, et comme y varie d'une manière ■continue, cette fonction est nulle pour x = Xj. Réciproquement, si la dérivée y' est nulle pour x = x,. et si elW passe du signe + au signe — lorsque x, en croissant, traverse la valeur 0:1, nous sommes assurés que la fonction y présente un maximum.

Supposons au contraire que, pour 3; ^= x, : la fonction passe par -un minimum ; elle cesse de décroître pour croître ; donc la dérivée s'annule et passe (lorsque x passe de x <x, à x >- x,) du signe — au signe +. Réciproquement, si la dérivée se comporte ainsi, la ■valeur x ^ x, donne un minimum de la fonction (*).

Cela étant, il nous sera facile de déterminer le sens de la variation de la fonction y{x) ()our une valeur quelconque Xo de x. Si la dérivée y'(X(}) est positive, la fonction, avons nous dit, est croissante; si y'(xt) <: o, la fonction est décroissante. Dans le cas où y (xo) = o, considérons la dérivée seconde, /, pour la valeur Xo de x. Si /(xo) > o, la fooclion /(x) est croissante pour x ^ x,,; donc lorsque x passe de x < xo È x > xo, la dérivée / (nulle pour x = Xo) passe du signe — au signe -+- : donc y présente un minimum. Si, au contraire, /(xo) = o, /(x,) < o, la fonction .présente im maximum.

Bemarqae. — La règle ainsi formulée est en défaut si l'on a en même temps /(ce,) = o, y'(x„) = o. En ce cas la fonction y, nulle pour x ^ x^, passe, pour cette valeur, par un maximum oa par un minimum, suivant que la dérivée seconde, y", est négative ou positive (en x^ Xo). Si y passe par un maximum, cette foDctioii est positive de part et d'antre de x^; donc la fonction y ne <xaae pas de croître lorsque x traverse la valeur x„. Si y' passe par un minimum, la fonction y ne cesse pas de décroître. Dans le cas.

Cl Sans nommop expressément la dérivie — qui n'avart point «neore, de son tempu, été définiB et étudiée — FcmuAT indique tris exACtement, daua un opuscule co mm unique à Descahtes en iC'J't, la marche du calcul les minima [voir tn/ra,

DiRITÉES 407

OÙ l'on aurait y'ix^) = o, /(x») = o, y"{x^) = o, on ferait ialervenir la dérivée d'ordre 4 et *<nR de auile (').

420. Théor«me des acoroissements Unis, — L'application que noua venons d'indiquer n'est pas la seule, loin de \h, à laquelle donne lieu le calcul des dérivées. Nous allons voir, en eOel, sans tarder que la notion de dérivée joue un tdle depreinier ordre dans tous les problèmes essentiels de l'algèbre et de l'analyse. Mais, avant d'aller plus loin, faisons tout d'abord une remarque qui se rattache direclement à la définition de la dérivée.

Nous avons dit quels dérivée mesure, en quelque manière, lavi-. tesse de la variation de la fonction dans un intervalle x„ — A, Xg + A ; mais ensuile nous avons restreint cet intervalle et, en faisant tendre A. vers o, nous l'avons rendu a inûnimeat petit •>. Ainsi la connaissaoce de la valeur de la dérivée pour une valeur déterminée x,dtx ne pourra, aemble-t-il, rien nous apprendre k elle seule sur la variation de la fonction dans un intervalle fini (non infiniment petit) contenant x„.

Non, sans doute, nous ne pourrons rien déduire de cette valeur, si nous choisissons au hasard l'intervalle et la valeur Xf Mais nous pouvons démontrer la proposition suivante qui est, nous le verrons plus tard, grosse de conséquences ; 5i /[x) est dans linlervalu o, b, une fonction continue pourvue (Tune dérivée, il existe an nombre x» de f intervalle tel que ton a l'égalité /{t) /(«) = (6 -<i)/(x,).

Ainsi le rapport, à l'accroissemenl b — a de la variable, de l'accroissement correspondant de la fonction, est mesuré par la valeur prise par la dérivée en un point (au moins) intérieur k l'intervalle a, b.

(■) La diacuMioa qui précède wt faite dam l'hypothèse où la fonctàon y[x] «t BB dérivée, — la fonction y' ~ fltf) — sont toutes deux uni- Toques et continues au voisinage de la valeur z». Dans le cas ob il n'en eat pas aiiiii, une étude spéciale est nécessaire pour voir comment se ewnporte la fonetion. Ainsi la fonction y ^ x^x- dont la dérivée, égale à - /x, s'annule pour z ^ o, ne présente, pour cette valeur de x ni masimum, ni minimum, et n'est ni croissante, ni décroissante : elle cesse d'exister pour x négatif et la valeur ;r = u est pour «lie une i^lmir eritiqu» au iwh du t>/> 3g\.

4o8 CALCUL DES F0:<CTlOIfa

Pour démonlrer ce Uiéorème, nous ferons d'abord la remarque suivante : Si une fonction P{x),univoque, continue et admettant ane dérivée continue, dans tinlervalle a, b, s'annule pour x ^^ a et X = b, sa dérivée s'annule pour une valeur x^, au moins, entre a et b.

En elTet ('), si F{x) était constamment nulle lorsque x varie de ak b, cette fonction serait constante et sa dérivée serait nulle dans tout l'intervalle. Si F[x) n'est pas constamment nulle, elle prend entre a et 6 des valeurs positives ou négatives. Admettons qu'elle prenne des valeurs positives : devant redescendre vers o, lorsque x s'approche de b, elle prend nécessairement (*), pour une valeur de X comprise entre a et b, une valeur positive plus grande que toutes les autres ; elle passe, en d'autres termes, par un maximum, auquel correspond une valeur nulle de la dérivée. Pareillement, si F(x) prend des valeurs négatives entre a et b, cette fonction doit passer par un minimum. Dans les deux cas, V{x) est nulle pour une valeur as, comprise entre a et b.

Ceci dit, posons-^ ' i ^•' - = m, et considérons la fonction [*) de ce

Cette fonction est continue et admet une dérivée continue de même que /(a;). D'ailleurs elle s'annule (il est facile de le vérifier) pour a; = o et pour x ^ b. Donc sa dérivée, qui n'est autre que F'{^) =fÇx) — m, s'annule pour une certaine valeur x^ de x comprise entre att b ; pour cette valeur on a

ce qui démontre le théorème.

421. Raolnea multipleB d'une équation. — La considération des dérivées simplifie considérablement, comme nous

CI Noui nous bornons ici à eiquîsier une démonstration que aeule la théorie complète de la continuité {telle que noua le présenterons daoi notre Troiiième Livrt) permet de rendre tout à tait rigoureuse.

{'] Nous admettrons a priori ce fait qui parait intuitif : il peut cependant et doit itre établi par une démonstration.

(') m est un nombre indépendant de x ; c'ett une constante.

Talions voir, l'étude des équations, polynomales ou autres, qui ont des racines multiples.

Soil/(a:j =^o une équation polynomale(') dont un nombre a;, est racine d'ordre o: (356). Nous avons vu que lorsqu'il en est ainsi, le polynôme /(œ) est divisible par {x — x,)" : nous avons donc

f{x) élanl un polynôme. Nous en déduisons, en appliquant la règle de dérivation des produits

' I.îW

■wi.

égalité qui montre que /'(a;) est divisible par la puissance (x — iCi)*~'. Réciproquement, si Xi est racine commune aux équations f[x) =: o (ttf'(x) = o, cette racine est sàrcment une racine multiple de /{x). En çffet nous aurons f{x) ^ {x — iCj) , fplx), f{xy étant un polynôme. Donc, en dérivant :

mais on suppose y (x) est divisible par {x — x,);donc ^(a:), reste de la division def{x) par {x — Xi) [n" 372], est aussi divisible par {x — xi). De là résulte que f{x) est divisible par {x — x,)* et admet Xi comme racine multiple (double au moini).

On parviendra à des i-ésultats analogues si l'on considère les racines imaginaires def{x) [vide 367). Si le polynôme /{x) e»t divisible par l'expression (a;" H- giX+k,)^ [c'est-à-dire contient cette puissance dans sa décomposition en facteurs premiers, vide n' 373], la dérivée /{x) est divisible par l'expression (x' ■+- <f,x -h Ai) "* "~ ' .

Nous exprimerons ces faits en disant que X équation f{x) = o — qui sera dite équation dérivée de l'équation /(x) = o — admet, pariai ses racines toutes les racines, multiples, réelles ou ima-

{') Nous ne nous occuperons, pour eîmplîGer, que dca équations polynomnlei. Tout ce que nouB allons dire dam ce numéro, pourra cependant Gtre appliqué à des équation! transcendantes /.x| = o dont le premier membre est fonction univoquc et continue de x au voisinage des valeurs X,, Xi, etc. : il suffira de remplacer partout le mot < polynôme ■ par le mot • fonction continue ■ (cf. d" 43S}.

4lO CAtCUL D» rOHCIlONS

ginaires def{x) : pins pr^sénKot, oee racinea ont, pour Téquatioa dérivée, un ort/re de mu//(p/ici(^ inférieur d'uiw unité i celui (ju'elle» ont dans l'équa^km proposée.

Il réauUe de cette proposition que ti an nombre x, est uns racine multiple d'ordre «. {supérieur à t) de tèquatianj^x) = o, elle ett racine (d'ordre de mullipUcilé a — a) rfe f{x), racine {d'ordre a — 3) de /"{x), ... et racine {(tordre i) de la dérivée d'ordre n—i./i—'){x).

422. — Considérons, plus généralement, la décomposition dn polynôme /{x), en produit de facteurs {vide 357), et. parmi ces facteurs, ceux qui correspondent auï racines multiples, c'est-àdire ceux qui Egurent dans la décomposition avec un exposant supérieur i i . Soit

[x ~ j,)". ... {x - x,f' (x* + ff.i + fc.)^' - (=f' H- 3-=^ + ''...)^-

le produit de ces facteurs (').[

Il résulte, du numéro précédent (*) que/'(x) est divisible par le produit

/.{a:)={i -*,)".-'.. .(;!»-»- y.H-fcji'"— ... (x» + 3„x-+-k„)P--' .

Ainsi les polynômes f{x) et /' (a:) sont tous deux divisibles par le polynôme p{x).

D'ailleurs on démontre facilement (') qu'il ne peut exister aucun facteur polynomal autre que les facteurs de p (x) par lequel /{x) eif {x) soient tous deux divisibles ; c'est pourquoi l'on dit — par analogie avec la théorie arithmétique de la division — que le pol jaome p{x) est ie plus grand commun dîvùieur des poljnomesy{x)

(') Si toutes le* racines de f\x) étaient multiple», le produit que noui ooniidcran* cotnciderait avec ^z); dans tous les cas, /(xj «st dÏTiiifala par ce produit.

(*| Il est manifeste, en oflet, que ai un polynôme eat divisible par plusieurs lacteura premiers, il est divisible par leur produit. Comparer la démonstration du n** J't'S.

{') C'eit là, pour les facteurs de la forme {x — Xi] uns innsiquencB immédiate de la double proposition du a" jai. On étendra aiiàment oelts conclusion aux facteurs de la forme (*' + g* + fcjP qui c i des racines ima^naires.

FOKCTIOaS TaAIISCEXfiAKTB& CLASSIQUES (il

423. — Les ratùae» inuliipleB àef{x) étant lea raciaes d« polynôme/) (c),«Bvoil que, pourobteaifcesracines, il suffira de /onner et «Sr rétoudre Fé^alion p(x) ^o. Or la fonDalàon de p{x) «st •née : on l'obtient pu une Hiétfaode de calcul BÏmpleqai est extctemant celle qui est iisitée ea arithmétique pour la recherche du fiuA grftnd commua diviseur (voir p. a8, noie a) [nous nous dispeaseroDs de l'eipoeer ici].

El] appliquant cette milhoda à l'équation donnée (quelconque) /(xi = o, puis k l'ëqualion p(x) ^o [au cas où elle a elle-même des Eacines multiples (')] et ainsi de suite, on pourra toujours finalement ramener la recherche des racines multiples du polynôme /(x) à la résolution ctéqaations qm n'ont que des racines simples.

S. — Ponctions transcenàantea classiques

434. — Nous appellerons u fonctions transcendantes classiques » les diiTéronteo fonctions d'une variable x que les formules coiuldérées au chapitre i (S 10) nous permettent de définir et d'étudier. Ces ioactions peuvent toutes être obtenue* par combinaison (*)< des fonctions algébriques et des fonctions fondamentales énumérées ci-dessous :

Puissance transoMidanta d« x. — J'appelle ainsi la Sanction x", dont l'exposant a une valeur constante irrationnelle, positive ou négalive. Cette fonction existe (est déQuie, n° 391) pour les valeurs positives de X. — La fonction inverse d'une puissance transcendante est également une puissance transcendante, car si l'on &y = a"", on en déduit a; =y''.

Fonotlons exponentielles. — J'appelle ainsi les femctioMa* où a est un nombre constant positif (').

{') Cm rjMÎiiM ont, vn tout cas, d'aprA* «e qui j^cède, un onfrw 4ê multipliciti moindre dana p[x) que dans f^xj.

(') Voir les exemplrs du n" 4ii.

(') La théorie dca nombres imaginaires permettra de définir dea fonction* exponentielles a', où te nombre a est négatif. Le plus souvent, d'aâlBBn, ainai que bous le Terrona plus loin, «m ramène l'étude des Jouctioaa a' à l'étude de la fonction t' (voir n" ^syt, qai est la foiKtioti exponentielle proprement dite.

4l3 CALCUL DBS FONCTIONS

Fonctions logarithmîquM. — Ce sont les fonctions log^ x {vide 143), inverses des Fonctions exponentielles, que l'on définit comme on a déGai les fonctions inverses des fonctions algébriques [si l'on pose y = loga x, on en déduit, par définition X = a^]. Les fonctions logarithmiques existent pour les valeurs positives de X. — En particulier, les fonctions log, x sont des logaritlimes qui ont pour base le nombre £ défini au n* iO^ {logarithmet népériens, voir n* 145). On les désigne d'ordinaire, pour simplifier l'écriture, par l'un des symboles log x, sans indice, ou Lx.

Fonctions trlgonométriquea ou ciroulairss. — On appelle ainsi les fonctions

et leurs combinaisons.

Fonotiona oiroulaires (ou trigonométriques) inveraM. — J'appelle ainsi les fonctions inverses des fonctions trigonométriques (la définition des fonctions inverses étant toujours U même) .

Posons par exemple a; = sin y ; la fonction inverse de cette fonction de y est désignée par le symbole : y = arc sin x [qui s'énonce : arc sinus x, c'est-à'dire : valeur (mesure) de l'arc ou abscisse curviligne dont le sinus a pour valeur x].

Pareillement, la fonction inverse des cosinus sera appelée arc cosinus (arc cos x).

La fonction inverse de la tangente sera appelée arc tangente {arc long X ou arc tg x).

42S. — Les combinaisons des fonctions transcendantes fondamentales et de fonctions algébriques seront, par exemple, les fonctions de la l'orme

<«'l. «in [/(')] QÙJ{x) est une fonction algébrique ou transcendante fondamentale de X [exemples (') ; e-'' , e"", sin (5 x* — i), sin e^, etc.).

(') Ces {onctioni peuvent Glre considérées comme des fonction» eompoaéet ijonetiona de foncUon», vP 3(|4l : ce sont îles toncti ni [e' ou lin Uj de la variable u, laquelle eat tonclion connue de x.

PO:iCTI0»S TRATISCB:iDAnTES CLASSIQUES ^ti

La fonction x* est, elle aussi, nne Tonclion de celte forme. En effet, choisissant arbitrairement un nombre positif fixe a, on aura ('), pour toule valeur positive de x :

x= a^-'; donc af = {ù^-')' = a*'"*-'.

436. — Les définitions et théorèmes généraux des $% I et 2 se laissent immédiatement étendre aux nouvelles foactioas que nous adjoignons aux fonctions algébriques : définition de l'intervalle d'existence et des valeurs singuli^s ou critiques, définition des fonctions inverses, des fonctions de fonctions, des branches de fonction, des fonctions implicites ; définition et propriétés de la continuité; définition des pâles; définition de la croissance et de la dérivée, des règles de dérivation des sommes, produits, quotients, fonctions de fonctions, etc.

Remarquons en particulier que les fonctions circulaires inverses sont des fonctions à plusieurs branches (à ane infinité de branches). Ainsi, il y a un arc sinus qui est nul pour x ^ o (car sin o ^ o)

et qui croit de o & - quand x croit de o à i (on a sin ~ := i) ; cet aiv sinus est une branche de fonction. Il y a un autre arc sinus qui part de n (car sin ir ^= o) et décroît de tt à - quand x croit de o & I ; un troisième arc sinus pari de la valeur 37c (car sin ait =" o) et crott jusqu'à — qu&nd x croit de o à 1 ; et ainsi de suite.

Les fonctions arc sin x et arc cos x, d'autre part, admettent les valeurs a;;= — 1 et x = -l-i comme valeurs critiques ; elfes n'existent pas en dehors de l'intervalle — 1, + 1 ; car il n'existe aucun arc dont le sinus 00 le cosinus soit inférieur à — i ou supérieur à + I.

Nous allons maintenant apprendre à calculer les dérivées des fonctionB transcendantes fondamentales.

(') Voir aux n^ 137 et 1 j4 l«* règle* relatives au cakul des exponentielle! et des logarithmei.

jl4 GALGUL DBS FOKGTIOira

437. Dérivée (<) d* a>. — Soit a un nomlire poailif, que nous prendrons, pour fixer Wt idées, supérieur 1 1. A&n de calculer là dérivée de la fonction }> = a*, Jonnom Ji a, I partir d'une Talemr quelconque de cette variable, un accroissement h. L'accroissement k de y est

A- = a'+* — rt' = a'it^ — 1), d'où

Donc/tou/- qae la Jonction a' ait une dérivée, U/aat et il sajit qae U rapport — r — Éende vtrs mae limiU! délernûnée lortfoe la valear Je h tend vers zéro (par Taleun positrTOS ou n^fatWcs, mt n" 407). Appelant (*] f. cette limite fqui est constante par rapport

à X, puisque — t — ne dépend pas de x), notu ouro/u pour exprès- «KM de la détiuét 4b o* :

Nous admettrons toi sans démonstration Vexistemx <fe la limite /„ (ce qui revient sî l'on vent, à admettre a priori(*) que la fonction n'a une dérivée). La valeur de /., d'ailleurs, est nécessairement positive. En effet, suppoaoD». par exempla, que h tende vers o en restant positif; pour A>o, onao* — i>o; donc

\']JmmBmtiawvai.imcp*Bo U i4gte d» dCnvattondM •apenavtieRMa; dant le mémoiio cité lupra, p. '{76, nota 3. [Acta eruMt., 1697, Œuf., I, p. 18Î *<jtf.)

{'] L'indice a rappelle que nous rafscimoiu lui une poisteace du nombra a.

(") A prian, l'exiatanM de cetl» Bmite n'«it nulloment évidéste : naiw TorcHM en eSet ulténeuiement qu'il axiita des faitctiona MmtiiMM qui n'ont pa* do dérivée.

(*) On démoiitre facirement que si h tend ven o en restant négfttîl, b

limite de — ^— tmt la même (1.) que pour A poiitif. Pomm, en effet, h ^ — h (en supposant A' > o| ; nous avons

loTsque K (poiittf) tend v donc — -. — tend aussi Te

FO^CTIOHS THAmCEirDAKTEfi CLASSIQUES 4I&

4S8. Dérivées û» a'" et de a''. — La dérivée de v = a"", dérivée d'une fonction composée, esl

l*our avoir la dérivée de j" ^ a'', posons a' =^ a'°5*'' en désignant par log^o' le logarithme de base a du nombre a' : nouaaurons

y =z a'^ ^ a''**'' • * et y' = l„ . \o^ a! . a''.

Remarque. — Au lieu de nous servir du nombre a pour calculer la dérivée de a'', nous aurions pu raisonner directement sur a' comme nous l'avons fait plus haut sur a'. Mous aurions ainsi obtenu comme dérivée de a'', l'expression U . a'', où 4. eût désigné la limite du rapport — r — pour h tendant vers zéro. Lesdeux expressions /,. iogad'. a'' et 4, . a" ont donc la même valeur^ et l'on a, par conséquent ; L. log^a' = /«■ . d'où l'on déduit :

„log^.(^ —a'^ ou a''' = a'-' ou a^- = a''^ .

Eb d'autres t«rmea. let valeurs de [expression a'- eai méipeKdanle da choix du nombre a if où tan etl parti (cette valeur sechange pas si on remplace a par a' ou par tout autre uomhn).

429. La fonotlon c. — Le nombre a ^ qui a, d'après ce qui précède, une valeur numérique déterminée indépendante du nombre a est appelé e 1 d'où log„e tt= ^ I ; on trouvera (en ^ectuant le calcul pour une valeur arbitraire de a)e = a,7i83... CenombreC)est eiaclement celui que nous avons déjà introduit au n* 122 : l'équivalence des deux définitions que nous nous trouvons ainsr donner du nombre e sera démontrée plus loin.

Proposons- nous de calculer la dérivée de C. Nous ponvons écrire :

y=e' = «'"g^-', d'oM / = J,.loft,«.*'.

f ) Le symbole « a été iatraduït par Eulkh (Lettre i Goldbach 1731. Cone»pondanee, éd. Fms, 1. 1, p. 58j.

4l6 CALCUL DES FONCTIONS

Mais, par définition, U-^ogaS = i. Donc ladérivâe de la fonction e' est la fonctioD e' elle-même.

430. Nouvelle expresaion de la dérivée de a'. — Elevant h la puissance U les deux membres de l'égalité e = af., nous obte-- Dons â = c'<; exprimant que les logarithmes népériens des deux membres égaux sont égaux, nous avons {voir la notation introduite au n" 434) : log n ou La = /,. Donc, d'après le n" 43S, la dérivée de a' est La . a'.

431. Dérivée de ï^ (ou log x). — Posons x = e»; cette fonction de ;^ a pour liértvie x, = e' d'après le n° 430. I.a fonction y =ljXon log X est la fonction inverse de x ^ e". Donc, d'après le n" 416, sa dérivée est

Aiiud, la dérivée de la fonction Lx e>t - .