Dérivée du logarithme (■} népérien d'une fonction
qneloonqae. — Soit y = L [/"(x)] le logarithme népérien d'une fonction quelconque de y. En appliquant la règle de dérivation des fonctions composées, on obtient la dérivée
C'est, d'après la définition du n" 412 la dérivée logarithmique de la fonction •'^ . j . dont le nom se trouve ainsi justifié.
433. Dérivée de la fonction x™. — Considérons la puissance transcendante de x, d'exposant irrationnel, x". Pour en calculer la dérivée, remarquons quex= e"^, donc x"" := e""^. C'est là
;') La dérivée du logarithme a étë donnée par Jean Bermouilli dans une note inBéréc aux Acia emditorum en novembre 1 6iji (cf. Œw., t. 1, p. i aâ) : le calcul effectué par Bernouilli lui avait d'ailleuTB peut-<tre été îatpiri par une lettre de Leibniz (voir Acta emditorum, avril i6gl|.
FOnCTio:(9 tba:(sgexdintbs classiques 417
une fonction composée : y = c, u ^ inLx, dont ia dérivée est e^ .u'^ ou «"• ~ *>" ""f . c'est-à-dire mx"—'.
Ainsi l'expression de U dérivée de x"" est celle-là même que nous avions déjà trouvée au a' 418 en nous plaçant dans l'hypothèse où m était un nombre rationnel.
434. Dérivée de la lonctlon sln x. — Pour obtenir l'expression de cette dérivée, nous établirons d'abord un lemme.
Lemme. — Le rapport —- tend vers la valear limite i. lorsque la valeur de a se i-approche indéfiniment de la valeur o.
C'est là un fait que nous avons admis implicitement dès l'origine de nos spéculations sur la longueur du cercle; car, étant donné que 2 sln a est la longueur de la corde de l'arc égal à 2a (vide sapra p. 168, noie i), notre lemmme n'afQrme autre chose sinon que l'arc de cercle infiniment petit est oasimilablo à sa corde (qui est avec lui dans un rapport égal à 1). — Le lemme pourra d'ailleurs être démontré de la fagon suivante.
Considérons le cercle tri go no m étriqué de ra^on t (n° 150) et l'abscisse curviligne positive (voisine de o) AM = a (voir fig. 75, p. 168). Puis imaginons (le lecteur fera aisément la figure) que nous menions en M la tangente au cercle (tangente perpendiculaire au rayon OM) jusqu'à sa rencontre en N avec OA prolongé. Dans le triangle rectangle MON, nous avons (o» 216) MN = OM . tg MOA ou {puisque le rayon OM = 1), MM =^ tg a. D'ailleurs (Fig. -jb) OP = cos a, PM =^ sin a. Considérons alors les trois surfaces suivantes : triangle OMP, secteur circulaire OMA, triangle MON. La seconde contient la première et est contenue dans la troisième; donc
(1) aire OMP < aire 0M.\, < aire MON.
Or, puisque les deux triangles sont rectangles :
fliVe OMP = - . OP . PM = - cos a . sin a, a a
aire MON = i OM . MN = ^ lang. a.
D'autre pari l'aire du secteur circulaire OMA est égale (n" 84) à Boonovi. — Lm PiÎDcipM d( l'AutjM malbéiiuUqB*. ij
4io cuxivL DES FOHcnoaa
la detnî-longaear de l'axe AH, soit ~, inaltt|âîte pur Timité (longueur du rayon]. L'^aKté (i) s'écrit donc
multipliant chaque membre par -»~, il vient :coso<;-' — ■< — . Lorsque a se rapproche indéfiniment de zéro, cos a tend vers la valeur-limite i . Donc le rapport -r— , compris entre deux nombres dont la valeur tend vers i , tend anssï vers i ; il en est de mJme de aor iavene —^ { puisque - = i j .
435. — Cela posé, donaons à x, 1 partir d'une valeur quelconque de cette variable, no sccroiaeeiDeDt k. L'accroiasMMBt k de sin x est sin (x + A) — ain x, ou (d'aprèa le d* 103} un X cos A H- COI X sin h — tin x ou sin x (cos h-~ i) + cos x sin h; donc, lorsque A Und vert o,
,. f : k . ,. .^ oot h — I itn A
(aj UDtite r = sm a; . limite r h cos ï . — t— .
Je dis que la limite du rapport ■ r est zéro. En effet
noiisavonsd'apr&sle(ii°382)ridentitéoosA=i — 2 sin' -. Doac
Lorsque A tend vers o, la dernière fraction tend vers la limite « d'après le lemme du n" 434 /où l'on fait « == -) : donc son produit par le facteur sin - , qui tend vers o, leod auaw ¥era o. —
Le rapport--'?— , d'autre part, qui figure aa eacond terme du second membre de (a), tend vers i d'après le lemme, donc : lim j = cos X. En conwïquenco :
Lft flérWée ie la loaotlon v = sin œ wt j-' » oes x.
F0:iCT10KS
430. DérivAe de oos x — Nou8 avons cos a: = sin { r — !« ) • Nous pouvons donc considérer le cosinus comme une fonction composée : j'=8in u,u = -z — X. D'où
y, ^cos n . B, = — C05 0, ou — cos { ; — x\: donc y = -
437. Dérivée da tang x. — En appliquant la règle de déri- ' vMian dn qnolMStt A la liMK:tion 7 = t^ jr = ^i^, jMHts ablenaos
cos' X ■+■ lin' :
ou (voir n' 163jy =
ce ^u'on peut mibm éorire (') y = i + tg* x.
438. DériréBS des tenoUogw aic««]Mir«a iHveraaa. — PoKm x^wmy: nous avons x, = oos 7. La fonclioa y ^ apc am s, fancâmi invene de «in y, a pour 4énvée ^i* 410)
La dMria ti sn ita x eit dene ' . Beourqnons que cette
dérivée devient infinie pour les vsleurs x = — ietx=+i, pour lri«[iMilr[i a^ ^= ï. Ces vtUus sont, nous l'avons vu, des valeurs critkfBes potir la fonction irc sin x.
Soit maintenant x = cos y; nons en déduisons
T = Hii t y\ ukac j- ^ »« sin «,
aay = arc cas z ^ arc «in i.
Les dérivées de arc sin x et arc cos x sont donc éyaiet et 4e -n^nef conlrtùre».
CALCUL DES FOTICTIOnS
Posanldeniêmea:=:tgy, nous aurons (n" 437) x, ^ i -^- tg* y; la dérivie de la lonotîon 7 = arc tg x ett donc
