Ponctions de plusieurs variables. Fonctions Implicites
430. La théorie des fonctions de plusieurs variables (') suit pas à pas la théorie des fonctions d'une variable, et nous ne nous y arrêterons que brièvement.
Soit/(a;, y, z), par exemple.une expression algébrique dépendant de trois variables indépendantes et de nombres connus ou de lettres représentant des nombres connus {constantes) : cette expression déGnit une Jonction algébrique {explicite) des trois variables X, y, z. Telles sont les foncUons entières polynomales (voir n° 201) et les yb ne fions rationnelles qui sont, par définition, des quotients de deux polynômes en x, y, z. Une expression algébrique telle que
('} n Le» quaiMitéi variables que nous avons considérées jusqu'ici — dit EuLER [InlroduclioinAnali/iininfinitorum, 1748, chap.vj — avaient entre elles une telle iiaiaon qu'elles étaient lautes tonctioua d'une seule variable, et que la détermination d'une seule emportait celle des autres ; mais nous allons traitera présent des quantités variables qui n'ont aucune dépendance réciproque, de manière qu'en substituant à l'une d'elles une valeur déterminée, les auLros restent encore indéterminées et variables. Ces sortes de quantités que je représente par x, y, z, ne changent point de nature quant à leur signification, chacune renfermant comme à l'ordinaire toutes les valeurs déterminées ; mais eu les comparant on remarquera que si l'on met pour t, par exemple, une valeur quelconque déterminée, les autres x et y auront une signilicatian aussi indéûnis qu'auparavant. La différence entre les quantités variables dépendantes ou indé- I>endantes les unes des autres consiste donc en ce que, pour les pr«miires, la valeur déterminée d'une seule donne celles des autres, et que pour les dernières la détermination de l'une ne limite nullement la lignification de celles qui restent. — Donc une (onction de deux ou d'un plus grand nombre de variables x, y, z est une expression composée de ces quantités de quelque manièn que ce soit >.
P0:(CTI0»5 DE PLUSIEURS VARIABLES. FOKCTIO^B IMPLICITES ^31
qui ne peut pas être mise sous forme de quotient de deux polynômes, définit une Jonction non rationnelle.
Si dans lexpreasion de la fonction entrent des puissances d'exposant irrationnel, des logarithmes, ou des lignes trigonométriques de quantités variables (cf. a* 37S), la fonction u =J{x, y, z) est dite transcendante.
Considérons, d'autre part, une relation ou égalité de la forme
dont le premier membre Y (x, y, z, u) est une fonction algébrique ou transcendante quelconque des quatre quantités x, y, z, u. Cette relation — qui est (lorsque l'on considère x, y, z comme connus) une équation en u, — détînit imp^ii;((emc/i/(') une fonction u(/onction implicite algébrique ou transcendante) des trois variables x, y, z. Les fonctions explicites ou implicites d'un nombre quelconque de variables se définiront exactement comme les fonctions de trois variables.
440. — Une fonction (') u := /(x, y, z) des trois variables x, y, z, n'est pas toujours définie pour toutes les valeurs de x, y et z. Avant donc d'étudier la fonction, nous devrons indiquer les intervalles dans lesquels nous faisons varier x, y et z. Si par exemple la fonction est définie pour x, y el z tels que
a' <x<a, 6' < X < fr, </ < î < c,
nous dirons que In foncdon existe dans le domaine [af, a), (b', b) (c', c), et nous pourrons nous proposer de l'étudier dans ce domaine.
Si X, y, z sont des fonctions de certaines variables, v, ... w, la variable dépendante peut être regardée comme une fonction composée de ces variables (Jonction de fonction). Supposons, eu parti-
(') Inveraement cette relation définit impliciteoiGiit x comme fonction de jf, i, u, ou y comme fonction de x, i, u, etc. Cei fonctions «ont analogueg aux fonctions iaverses que l'on coiuidère dam la théorie des fonctioni d'une variable.
I*} Je continue à prendre pour exemple une (onction de 3 variables ; tout ce qui Vft Stre dit s'applique aux {onctions de n variables (quel que soit le nombre n).
^3 GALCtL DES VOIiCIKKIB
cnliei, que les varMUes x, }'. 2 soient toutes trtÛB foDctioiu d'one même variable I ; alors o peut Atie ngaidie a>nine CDoctioB (compnis) de k. variable iiùque t.
lia» EonclioD a = f(x, y, z) pont «voir pliuîevft bmachai ; c'est le cas, par exeiD{de, de la foocâoD y/i -t- xjn ■ lise Eonctioa qui n'a qu'une seule branche dans un domaîoe donné 7^ est Ate
4A1. ContinaiU. — La Tonction u de x, y, z est continue an voisine^ des valeurs x,. yt, z* de x, y et z lorsqu'elle satisiait aux condUiona suivantes : 1° lorsque x, y, z varienttrèspeuipartir de leurs valeurs respectives Xg, y^ z„ u (partant d'une valeur déterminée ii«) vaâe également 1res peu; plus pcécisenaeiit, si une fonction a est coiUiaue pour la valeurs ou « pour le tjtikm* ées oaitar* * x,, y^ z^ e^eat que l'on, peut définir un domaine — cmtcnant le système de valeurs x*, y*, ^ z* — 1^ ^P><ft P<»>r X, y, z variant dans ce domaine, u — u, reste injérieare, en tw- Uar absolue, à un, nombre donné t aussi petit qu'on voudra {') ; i" aoioat u,, u, les valeurs prises par u pour x = x,, y = y,, z = z„, d'une part, et pour x:=Xt, 7 = yti 2 =Z|. d'autre part: lorsque (*), faisant varier x, y, z d'une manière continue (n' 307) on passe du système de valeurs x., y^ z, au sytiéme de valeurs ^i> yi> Zi, la fonction a prend au moins une foia chacune des valeurs comprises entre Ug et Ui.
Si la fonction a, — égale à u, pour x = x^, y =^ y»^ z := z„ — est contimie pour ces valeurs des variables, on dit qu'elle tend vers la limite u^ lorsque x, y, z tendent respectpremeut vers les valeurs x,, y„ r» (cf. 396).
(') Quelque petit que soit t, en d'autres termes, on p«ut tonjoun ttouver un nombre a assez petit ptrurqueka tron inégalités, \x — x, i <■> lï — »»1<».I» — *9\< " («ippoaéea sslùfaitaB sianlhmdsMnt} «»traînent comme coniéquence | u — Ug | < t (cf. a" 396).
(*) On peut démontrer que cette seconde propriété des fonctions codtiausa e«t me eonséquBUCe de eiUs qu'énonoe U. note paécMaate, qui sofit, par ctnuéqnciit, à définir 1m tonctioni eantiniiM («dît TroU. Lv„ ék. i). — U j a, T«marqoDBa4e, «db infinité de manitew ds paaserdH valeurs x„, y^, Sq aux valeurs X(, y,, z, : on peut, par emaple,fùra d'Atari varier xde a:, i i, ea laissant les q^aatitéa y et zéfales à |r^ ^paisfaire varier ansaite oes dsux quantité teulei ; ou bien oa peat MaamoaoH par faire varier y seul, etc. Notre énoncé s'applique à toas om cm.
FOHCTIOltB DH PLUSnOBB VAAUBLBS. FOMCTIOBS lUPUCITBS 4a3
line fonction qui est continue pour tonales syslèmes de valeurs întinenres à on certain domaine (a, al), (b, b'), {c, if) [vide n'440] CM (file eontinae dan* k domaine.
Les propriétés générâtes de» fonctions continaM se IsitteAt étendre aux fonctions de plusieurs variable*. On ikUin eâ ywticulier que les fonctions polyDomates sont continues |K>ur toutes valeurs (finies) des variables. T..eB fonctions rationnelles (non poiyoonabs) seront, au contraire, discontinuef et uÉflioaeQt gnmdes pour certains systèmes de valeurs de varîablai. Ainsi la fonction a = s + ___ ■ sat în&DÏB loni]Be 7 et x prwinent dos valAwrs ^les quelconques. Cane manière géniale, on peut démontrer {cf. 3M) que dans tout dofnaane 06 elle existe, est anivoque, et conserve une valear finie, une fonction algébrique est nécessatre- DleM contîmie (*).
44S. CdrlT4«s partiellea du pramfer ordre. — Conudérons WM roBctàon DMVoqu» «t MHriJwM, ■ =^ /(», y. *), attTOMJkose d'un système de valenrs de x, y, z. Supposons que, y et z ne changeant pas, x suUsse un accroiaRa»at (positif ou Kégatif) A«. La variable a subit un accroissement correspondant que je désignerai par (Aa]i. Fusons tendre Ax vers o (en ne koncduat tos-
jourg pas i y et z) et considérons le rapport -r^. Si ce rap^ft se rapproche de plus en plus d'une valeur-limite, cette limite est
(<) On démontre, pluB particulitramett, le th£orime «uivaBt, dent nous nous contentons de donner l'énonce (i) t'appËque aux fonctions trans- MiiitiMlrw cvnuiw anx tonetUa» algibiiqwea).
Si la fonction u =>/(z, y, z) m< Mnttmi» dtina um domaine ioivtà (a, al), {h, b'), (c, e'], et varU, dam ce domaine entre i tl d, la divenes fonetione impHeifee 'Jonction x de y, s, u, fonction y de x, z, u, etc.], difiniee par la relation u — f{x,ifi,») = o, eent continues pour Inta teo ayaUme» de vateare eorreapondant à ce domaine pour letquel» ellei eont univoque» (noua ne noui occupons que de ces lyaUmeR de valeaM^, car nous n'avona défini la continuité que dee aeulsB fonctiona univoquas).
C'aat ea fartaat delà que l'on établit par uaa dlmenstratio» rig««veaaa la continwté d'une fonction implicitB' difini» pa> ane rabtiHn F [X, y) := o dont le premier membre eit fonction continue de x et y},
PIui particulièrement encore nom pouvons déduire de la proposition qui précAde que ta fonction Éaverse d'one fonction contlnvn est
4a4 CALCUL DBS
appelée : dérivée partielle de a par rapport à x ; c'est la dérivée de la fonction de x que définit l'égalité u ^florsqu'ony laisse ini'ariables les quanlilés y et z. On désigne la dérivée partielle relative à a; par le symbole u'.. ou/., ou (avec la notation dite di^érentielle}
par le symbole (') ^ ou t^ ■
On définira de même la dérivée partielle par rapport à y, [que l'on écrïra u,,J',, r- oa — et la dérivée partielle par rapport à z. Ces définitions s'étendent d'ailleurs au cas où la fonction est fonction de variables indépendantes en nombre quelconque. Le calcul des dérivées partielles se ramène immédiatement au calcul des dérivées ordinaires, puisque, pour calculer /., il suffit d^ns l'expression f, de traiter y et z comme des constantes.
Les trois dérivées partielles sont en général des fonctions des variables x, y, z (cf. n*407).
Exemple. — Pour un système quelconque de valeurs de x, y, z,
ta dérivée partielle de la fonction u = ■■- par rapport à a; est
\/y+z^ la dérivée partielle de la même fonction par
-x(y+ 2')T" ; la dérivée partielle par rapport
z») ' . 3î, ou -xz(y-i-z*) ' .
443. Dérivée d'un» lonctlon oampoaée. — Kaisounoos, cette fois, pour simplifier l'écriture, sur une fonction de deux variables, a z=J[x, y), considérée dans un domaine où la fonction u et ses dérivées partielles sont des fonctions continues, et supposons que xély soient toutes deux fonctions d'une mime variable / :
alors u est relativement k la variable (, une fonction composée. Parlons d'un système de valeurs correspondantes de t, x, y et u,
(') Dani ce symbole, nou» arrondissons le d a&a de dUtÏDguer la dënvé« partielle d'une dérivée ordinaire.
POnCTIQSS DE PLUSIBVBS TARIABtES. POMCTIOSS
' et donnons à l un accroissement At : il en résnlte pour x, y, u des accroissements Ax, Ay, Au.
D'ailleurs, on peut évidemment poser :
(i) &a=[f(x+Ax.y-hiy)~f(^-t-ix.y)]-i-[/(x+àx.y]~f{T.y)].
Appliquons le théorème des accroissements Gnis (n" 4S0) i chacune des différences écrites entre crochets. La première différence est égaie au produit de A^ par la valeur que prend la dérivée /,{x H- Aie, yo) pour une certaine valeur 3-0 comprise entre y et y -i- Sy i nous poserons y,, ^ OAj", où d désignera un nombre positif et inférieur à i . La seconde différence est, pareillement égale au produit Ax -/.{x ■+■ ÔiAx, y) où $, est un certain nombre compris entre o et i. Divisant aÉors Au par Al, nous aurons
Faisons maintenant tendre At verso ; les accroissements Ax, Ay, Au tendent alors tous verso ; la valeur de la dérivée /".{x + fïiAx.v) tend vers la valeur de la dérivée f, {x, y) ; ta valeur de ta dérivée /, (x •+■ Ax, y 4- OAy) tend vers In valeur de la dérivée /", (a:, y), et l'on a, par conséquent, h la limite : dérivée de a par rapport à l, ou : u, =;/'. {x, y) . x', + f, [x, y) . y, , égalité que l'on peut écrire ainsi
du ^^'^ ,,^^y
'di~ bxTt'^ »ydt'
444. Dérivés d'une lonotloo ImpUolta dex. — Considérons la fonction implicite j de x définie par la relation F {x, y) ^ o. Nous plaçant dans un domaine où F {x, y) et ses dérivées par- Uelles sont continues, appelons Ay l'accroissement de y qui correspond h l'accroissement Ax de x. Nous aurons, en définissant $ et S, comme au numéro précédent, t accroissement de F
Ay . F, (x + 4x. y -t- «Ay) ■+■ ^x . F.(x -t- e,Ai, y). Mais l'accroissement de F est nul, puisque la fonction F de x
436 CALCUL DBB FOnCtlOM
et y reite nulle ÏMsqve -y est égale \ la fonction implicite de ai <)«e nous considérons. Donc nous avons, ea divimit pttc ^ :
o = ^ . F, (x -f- A», / + eaj-) + F, (!c + 6,ix, y),
d'où A/, F.(x+a.A:r.j-)
ijr — K,ta;H-4a:^-t-6Ay)
Lonrpie ^ tA Ay tenâcnl vers o, F', ta^d vm k valeur F", (x, 7) F, tend ven la valeur F, (j;, /). Si donc cette dernière valeur n'est
pas nulle, le rapport ^ a aussi une limite qui est la dérivée y [ou y.] de y pat laf^oit à », «t l'on a ('}
(4) ^'=-Fr-
Si F', est nul sans que F. le soit, y est infini. [Voir, smr le cas où F, et F, sont tous deux nuls le Ghap. iv, du présent Livre],
Exemple. — L'égalité x* -t- y* — i = o déÛnït une fonction implicile y de x. Pour avoir sa dérivée, poaoos ¥ = x* -i- y' —■ i.
aj.; d'où ^ = —
U5- Dérivées d'onlr» ■up4rl«ar d'une lonotlOD de pla-
•lenre variables. — Les dérivées partielles du premier ordre d'une fonction u=^f{x. y, z) sont en général des fonctions de x, y, z : elles ont donc, à leur tour, des dérivées partielles relatives aux trois variables x, y, z.Nousappelleroa8cesiKiuv«ll«sdériv4e>: dérivées partielles du second ordre de la fonelioa u, et nous ks
I') Catt« égaMtâ vaul ponr me ralear queleonqae de x, mais la valMir qu'il y faut Amaar à y s'eit fokit aiUtraira Ws^e je aat d»nB6; yaat en cfTet la valeur de la fouction, laquelle latiifait toujouraà la relation F(z, y] = o. Ainsi pour avoir axplicitaiii«iit la valeui da y' ponr une valeur d^t«rmiaée, Xg de x, il faut : i° calculer la valeur correspondante y, de y [définie. par la relation F(x, y) t= o] ; 2° calculer la valeur dussoood membre de (4' pour x = Xg et 1/ ~ y,.
FONCTIONS DK PLOIiUlK& VABUBLES. VONGTIOKS IMPLICITES ^37
désignerons retpectiveioent : i" les détivéespacUelles dey. par l«8 •ymboles (') :
a* les dérivées partieffes de f, par les symboles :
3° les dérivées partielles de f, par les symboles/".,, ou r^. ■-. De la m&me maAière, nous déGnirou les dérivées parlîelUs d'ordie 3, d'ocdte 4> >■• de la foncUoa et dobs les lepcéseoUroHs parles symboles fiV. .../['}. ... on ^,...^,...
4M. — Je dis que, dans le calcul d'ane dérivée partielle d'ordre supérieur, on a le droit d'intervertir l'ordre des dérivations, c'est-Sdîre que l'on a, par exemple :
ÉL^^. ''/ = »'/ ..le.
Dém<mtn>ns tmt d'aboid ce théorème duu Is as où la foocItaB B = / ne dépend que de deax TBrÎBMes xetj: je dis qœ I'ob i en ce cas ; f., =/',,.
Ë» tBei, VIL conRdéranl f(x, y) comme fonction de x, bous avons, d'après le théorème des accroissements finis (n* 4S0) :
OÙ o < âi < I (cl., pour les notations, le a* 443). Considérons la fracUon du premier membre comme une fonction de y et appliqnocrs-lnî le théorème des accroissements Knis par rapport k cette quantité, k laquelle nous donnons un accroissement Ay : nous obtenons:
,„, K^ + A^.J- + ày) ~f{x,y -+- ày) -~ (fa + Ar,y) + J(x.y)
{*) La lettre / peut être remplacée partout par la letlM u.
4aS CALCUL DES F0»CT101IS
(avec o < ô <; i), le second membre étant la dérivée par rapport ày da lu fraction ligurant dans (5) [que l'on remplace, dans ce dernier calcul ('), par la fonction égale /".{x •+- 9iAx,y)j prise pour ta valeur y -i- fiiy de la variable.
Faisons maintenant le même calcul en intervertissant les rôles de X et y. Nous pouvons poser
Considérant le rapport du premier membre comme fonction de X, et opérant comme ci-dessus, nous retrouvons au premier membre l&fraclion qui figure au premier membre de (égalité (6) et constatons, celte fois, que cette fraction est égale à//,(x-(-e', Ax.y-he'Aj-) ouo<fl', < 1, Ainsi/, ',(a: -^-i^Lx, y-\-^ty)=^f,'.{x'^-fl^Lx.y+fl'ty) quels que soient les accroissemeats Ax et A}*. Faisant tendre ces accroissements vers o, nous obtenons l'égalité
447. — La même démonstration s'applique, évidemment, au cas où y dépend de trois, quatre, ... variables, puisque, lorsqu'on effectue des dérivations relatives à x et y, on traite toutes les autres variables comme des constantes.
D'autre part, on déduit de l'égalité (7) que, si /est une fonction de x,:y, z, on a
a:axaj a^a^ax ' bxôyàz a^darai '
car la première égalité s'obtient en appliquant le résultat cidessus démontré à la fonction ^; la seconde égalité s'obtient en dérivant par rapportez les deui fonctions identiques -^^ et r-^* D'ailleurs les raisonnements faits sur x et ^ peuvent être répétés
(') Lm deux membrei de {!>) Jtant des fonctions identique*, leute dérivées par rapport i y le sont auaai et j'ai donc le droit, lorsque j'applique le théorème des accroissements Unis bu premier membre, de remplacer sa dérivée par celle du second membre.
FO!tCT105S DE RLUSIBURS VARIABLES. FONCTIOHS IMPLICITES ^ag
sur X et z, sur y et z, etc. Nous' reconnaissons ainsi que l'énoncé donné plus haut est bien exact dans le cas le plus général.
Ainsi loule dérivée partielle tConlre n d'une fonction J{x,y,z)
pourra être écrite sous la forme ^-.:^ït:;> oà p,<j,r sont trois nombres entiers ayant pour somme n.
44S. Formula d«» Booroi«>«m«nta ftnls, — On peut établir une formule — dite des accroissements finis — qui est, pour les fonctions de plusieurs variables, l'équivalent de la formule du n" 420.
Considérons pour simplifier, — la démonstration est la même dans le cas général — une fonction f{x,y) de deux variables, supposée continue ainsi que ses dérivées partielles dans le domaine (â, A), (/>, B) [voir 440]. Je dis que l'on a l'égalité
oîi les nombres a,{3 sont un certain système de valeurs appartenant au domaine considéré, c'est-à-dire comprises : 7. entre a et A, et |S entre 6 et B.
Remarquons que, pour passer du systàme de valeurs a,b au système de valeurs A,B, nous pouvons régler comme nous le voulons ta variation concomitante de x et de y. Réglons alors cette variation en introdnîsant une variable auxiliaire t et faisant
Lesnombresxet^sontencecasdesfonclionsdef : lorsque f varie de o à \, X varie de a à A et y de t à B. D'ailleurs, quand on remplace a: et y par les expressions (g), u ^= f{x,y) devient une fonction de /, que nous allons désigner par ^(f).
La dérivée de it = ^(/)est f', =f,{x,y)x', -^ j\{x,y)y\ (n* 443). En remarquant que x, = A — a et y, ^ B — b, on aura
(lo) f, = (A - a)f, -(- (B - ty,
où/', et y, sont des fonctions composées de t par l'intermédiaire des variables x et y, soit : f.{x,y) = o,(() /'.(«O") = ?i(')-
430 CiLCUL DC8 POUCTIOHS
Appliquons i la fanction if{t) la fommle àet accroisaenieDts finis (a° 490) relative & l'iotervalle 0,1 : noua avons
(11) .{!)-, (o) = ç'(6) avec o<e<i.
donc, d'après (10) :
?{') - ?{o) = (A - a)?i{0) + (B - 6)?.(fl).
Les valeurs a et ^ de x et y qui correspondent à la valeur 9 de f sont a = a + (A — (1)8 et p = fc + (B — 6)fl:
elles sont manirestement comprises respectivement entre a et A, et entre 6 et B; d'ailleurs, par définition des fonctions f>i, f, et f,
?.(«)=/.{".?). îi(û) =/,<^.?). ^t)=A/^), t<o)=M*)-
L'égalité (] i) n'est donc autre chose que l'égalité (8), que l'on ae proposait de démontrer.
- Recberche du fmactioua prùaltivts
449. — L'étude d'uaa <^>ération afgAnque appelle l'âtnde de l'opémtion iaverse : ainvi en a-t-îl été pour l'addition et la soustraction, pour la multi[rficatàon et la dtviaioB, ponr l'élévatïoa ans puissances entières et l'extraction dos racines ; nous ne pouvons manquer de porter, pareillement, notre attention sur l'opération inverse de la dérivation et de nous poser la question suivante : Peal-on toujours trouver une fonction F [x) d'une variable qui admette pour dérivée une Jonction donnée (connue) f [x) ?
460. — Faisons d'abord une remarque préliminaire. Il résulte du n* 409 que si une fonction F (x) a pour dérivée / (x), la fonction F (x) + G, 0(1 G est une constante quelconque, a la même dérivée. Ainsi la problème que nous nous sommes posé ae peut comporter une solution unique. S'il existe une fonction F (x), il «n existe une i/jjinîté, différant les unes des aulret par des constantes ajoutées à leurs expressions. Cas fondiona sanut appeiéei
RBCHEKCKE DSI FONGTIOKB TKDIITIVES
