TT

Y=.«cla»g« + C

(') Ce mot l'oppove an mat diffénntialion qui était employé au XVII* nècU pour désirer l'opération de la dérivation («u, du moini une opératioD exactement équivalente, voir (upra p. joi. note a).

(*) Ce tableau ooastitue le* CanoTtm que Lbibniz proposait de dretser dèe 167^. Cf. la fin du De Quadratura de Newton.

Cj Noua pouvons aussi écrire cette fonction primilive sous la forme Y =^ L(Cr), C étant une constante aibitraire; an eDet L(Cx) = Lx + LC (i^de n" i44l- Or si C est une «orwtante artilraireilenestdemSmedelX.

433 CALCUL DBS lOîICTlOSS

Les fonctions y considérées ne sauraient d'ailleurs avoir d'autres fonctions primitîvesque celles qui figurent dans notre tableau ; en effet, soient Y, et Y, deux fonctions primitives d'une même fonction y ; la différence Y, — Y» a pour dérivée y — y, donc o ; j'en conclus que Yt — Y, est uneconstante par rapport à x, car il n'y a que les constantes (dont l'accroissement est toujours nul) qui aient une dérivée nulle.

4B2. — Four désigner simplement les fonctions primitives, ou intégrales tndéfiaies, on emploie souvent une notation spéciale dont nous expliquerons plus loin l'origine et la signification {Trois. Lie, chap. u) : cette notation est fondée sur l'emploi du signe

{originairement un S), que l'on lit ; intégrale

et du signe dx, que nous avons déjÀ introduit dans la théorie des dérivées. Ainsi le symbole

représentera la fonction primitive def{x) : ce symbole, par conséquent, ne désigne pas une fonction déterminée, mais bien une infinité de fonctions différant les une des autres par des valeurs constantes.

Nous écrirons en conséquence

x'^dr = H C, f cos a; , d.v ^ sin x -+■ C, otc,

Le lecteur traduira facilement dans ce nouveau système de notations les formules du n' 451. A ces formules nous ajouterons les suivantes que l'on obtient immédiatement en appliquant les règles de la dérivation :

= log(n. V'»'— >) + C.

/dx l t X — 1

RECUERCHE DBS FO:<CTIO:<S PRIMITIVES 433

En effet, dérivons les seconds membres. Nous avons par exemple :

dér. tJelog {x + )/i -i-x') = ':■■■. x Aér. de{x +\/i-i-x'^) ,

c'est-à-dire

réduisant aa môme dénominateur la quantité entre crocliets, et effectuant la multiplication, nous obtenons la première formule écrite ci-dessus. On vérifiera semblablement les deux autres.

453. — Ainsi il nous sera facile d'allonger le tableau des intégrâtes connues à l'avance, mais nous ne serons pas pour cela beaucoup plus avancés. Si en effet nous nous donnons a priori certaines fonctions très simples, telles que ^x* -h i , (LiC;~', nous nous a[iefcevrons vite que notre tableau ne nous est d'aucun secours pour trouver les intégrales de ces fonctions. Pourrésoudre effectivement le problème de l'intégration, il faudrait donner une métbode directe et régulière qui permit de former à coup sûr les intégrales des fonctions connues, de même que nous en savons toujours calculer les dérivées. Malheureusement il n'existe pas de semblable métliode et l'événement a prouvé qu'il ne saurait en exister; si l'on se borne en effet au domaine des fonctions algébriques et transcendantes classiques (') — et, pour le moment, nous ne connaissons point, nous n'avons aucun moyen d'étudier, d'autres fonctions, — si l'on se borne, dis-je, à ce domaine, on pourra affirmer (nous l'avons vu plus haut) que toute fonction a une dérivée, mais il ne sera point vrai que toute fonction ail une intégrale: il n'existe par exemple aucune fonction (algébrique ou transcendante classique) de x qui soit fonction primitive de i/x' -+- i . .Vinsi les règles d'intégration que nous pourrons trouver ne s'appliqueront jamais qu'à des cas spéciaux, à des types particuliers de fonctions : elles ne sauraient avoir la mâme généralité que les règles de dérivation.

Nous déclarerons-nous satisfaits, cependant, lorsque nous aurons reconnu que la fonction intégrale d'une certaine fonction donnée est impossible & former i* AfTirmerons-nous, sans restriction d'au-

(') C'eit-i-dire des fonctions définici aux SS ' 't 3 de ce chapitre. Bommoui. — Le> Principn d* l'AnaljH nulhJniBtiqar. i8

43A CALCUL DBS FOKCTtOHS

cune sorte, que la foDCtioD n'a pas d'intégrale parce que cette intégrale n'est pas exprimable au moyen des symboles et dessi^foes d'opérations dont nous disposons? Cela reviendrait à prétendre que la science mathéma ligue est incapable de définir et d'étudïer d'autres fonctions que les fonctions algébriques ou transcendantes classiques. Or une telle prétention serait plus que téméraire. C'est unn maxime banale que nul ne saurait assigner des bornes à la science ; et effectivement, nous rencontrerons bi^itôt un problème fondamental (le problème des airea) (*) qui nous forcera à accepter comme un fait l'eiislence de fonctions intégrales dont nous ne savons pas former l'expression, et à faire entrer ces fonctions dans nos raisonnements {videinfra, chap. m, $ 5, et surtout Trois. Lia. cbap. ii).

Mais contentons-DOUB pour l'instant de cet avertissement el bornons-nous à indiquer les ptiocipales règles ei méthodes qu'il conviendra d'appliquer pcwr eflectuer auaai commodément qoe possible le calcul des intégrales qui sont des fonctions algébriques ou transcendantes classiques.

454. Intégrale de la lonotioa aj{x). — L'intégrale indéfinie du produit af{x) oà a est an nombre indépendant de x (une cchistante) positif ou négatif est évidemment le produit par a de riAlégrale indéfinie de/fx). En d'autres termes :

J„fio,yx^,Jf(x;d,.

45S. Intégrale Indéfinie d'ane somme. — L'intégrale indéfinie d'ane somme de fonctions est la somme des intégrales indéfinies de ces fonctions.

Ainsi

J[.A') -H 9{=r)]dx =jf{x)dx +js(^^)dx.

Et en eBetr s nous sppdons F(x) el G(x) des fondioDS prîmi-

(') Nou* constaterons {cliap. iii, SSlquecsnoavaauptobliiiMestazaet»ment équivalent au problème de 1b rcchercheilBsfonctîoiupTiinitiveB. Cette constatation, fut à la fin du xvii' sièdo, le point de départ du aideal inUgial.

RECRERcm DES poifcnons raniiTtVEs ^35

tïves de/et g, la somme F 4- G a pour dJrivfe J{x) ■+- g{x), et

est, par conséquent, fonction primitive de celle somme.

Application. — L'intégrale indéfinie d'nn potjRome en x est nn

polynôme en x. Ainsi le polynôme a*' -+- fer + c a ponr intégrale

indéfinie :

ax' bx*

| — ^ -^ex -i-d, (d con*t«nte arbitraire).

466. latégratioB par partira. — Soient u(x) et v(x) deui fonclîobs de x. Nous savons que le produit uv a pour dérivée (n° 411) Vax|H«9Moa viv -h x/u où b' et »' sont les dérivées de u e^v. Il en résulte que FinUgraie indéfinie de la fonction u'v est égale au produit av moine fintégroia indéfenie de la fonction v'u. En d'autres termes :

Ju\x).v[:i).dx = u(x).v[x)-j'^{x).u{T).<ix.

Cette formule permet de calculer commodément les intégrales indéfinies d'an grand nombre de fonctions.

Exemples. — Pour calculer l'intégrale de log x, posons a = x (d'où u' = i) et V ^ log X ; nous aurons :

I ïogx.dx=^uv — I v'adx:=x\ogx — I x.-ilx^xlogx — x + C.

Pour calculer l'intégrale dax log x, posons u:= — (d'oùy'^j::) et u = log s ; nous aurons :

J x\osx.dx^ ^\ogx—j~^dx

On pourra calculer de même, de proche en proche, l'intégrale de x" logx, quel que soit l'entier m.

Soit encore h calcnler Pintégrale indéfinie de xe*. Posons e' = « (d'oïl a' =e')eix = v; nous aurons :

I xe'dx ^ xe' — | Vdx := xe' — e*,

436 CALCUL DES FOKCTIOIfS

La méthode d'intégration par parties a été employée pour la première fois dans des cas particuliers par Fermât (') et par Pascal ('), mais cette méthode se présentait chez eux sous une forme géométrique qui en masquait la généralité. Gomma les règles que nous allons donner aux numéros suivants, elle ne fut formulée définivement qu'au xvm* siècle.

467. Changement de variable. — Soit h calculer l'intégrale indéfinie d'une fonction y =t-- J{x) ; je suppose que x soit fonction d'une variable t, que je prends comme nouvelle variable ou variable auxiliaire ; alors y devient une fonction composée de t. Appelons Y = F(a:) l'une des fonctions primitives de J{x) ; la variable Y sera fonction de (, et l'on aura (n" 417) :

et, par conséquent : Y, — y.a;',. J'en conclus que Y est fonction primitive de la fonction de l, yx,.

En d'autres termes, lorsqu'on remplace x, dans J[x), par son

expression enfonciion de l, on a{') :

H constante, ou

ij7(»)<(x=J'[r(«).«,i*

Cette formule permet de calculer l'intégrale indéfinie Y' ~t- C de J{x) ; Y sera obtenue en fonction de t, mais pour la mettre sous la forme d'une fonction de x, il suflira de remplacer ( par son expression en fonction de .c (').

(I) Principalement dans le traité ialitulé De aquatîonum loeattum tnuumutation», dont le rédaction fut achevée en 16.Î7 (Œuc, de Fermât t. 1, p. 555-399).

[ij En particulier dans le Traité des trilignet et dt leurs ongUtêi [iGSS],

('') Si l'on se sert de la notation diOérentielle en posant x'4 = -.' (voir 407), on voit que toul ta patse comme «i dx et dt étaient des Il ombret ordinaires, -^ une fraction, et f{x'dx un produit : si l'on admet cela, il est évident que fyX] j- . A ■= /,«'dr.

(*) On a suppoié x fonction de l ; donc invenement ( est fonction de x.

RECaBHCHE DES F0SCT10!<S PHIUITIVKS 437

468. Applications. — Soit à calculer l'intégrale indéfinie de ■-..-. ■ ■■■■ , oîi k est une constante; je prends une variable auxiliaire (

égale à T ; j'ai alors x = kt, x =: A:, et par conséquent :

L'intégrale indéfinie cherchée est donc orc sin (, ou (ea remplaçant (par^V arc sin ^■

On utilisera le même changement de variable pour calculer les intégrales indéfinies (') de

j> -+- fc» a:' — k* /a:' -\- k' v'x' — k*

On aura par exemple :

SoiL maintenant à calculer l'intégrale indéfinie de (ax •+• fr)"" où a, b et m sont des constantes : nous poserons ax -i- b =: l,

d'où a: = — - -H -. x, ^ -, et nous obtiendrons (d'après

les formules du n° 461) - i-^-— — ' si m est différent de — i ,

ou - log (ax -\~ b) si m = — i.

460- Intégrale d'une fouotion rationnelle de x. — Pour intégrer une fonction rationnelle de x, c'est-à-dire le quotient

^T-4de deux polynômes en x, nous nous servirons de la formule

de décomposition qui a été donnée au chapitre i.

Nous supposerons que le degré de B(x) est inférieur au degré

(') Je désigne par k* un nombre constant positif; CGtte notation est juitifiée par le tait que k^ est un nombre toujours positif (quel que aoit le signe de k].

as CkUAJL os» FONCTIONS

de A(x) {s'il n'en était pu ainu. on n'aurait qa'k retrmciier de la fonction un polynôme en x, quotient de B par .\, pour avoir une fonction rationneHe qui satisfasse à la condition voulue (voir le début du n° 374)]. ^ous pourrons aloi's transformer noire fonction en une somme {voir la formule (3) du n" 374] et tout reviendra k calculer les intégrales des termes de la somme, c'est-à-dire les intégrales des foncUoDS des ijpes suivants :

I ax+ b

[x — x,]'' (ar» -^gx + ky

où x^, a, b, getk sont des nombres coDttante qoeloooquea et n un exposant enfler jK»if// quelconque supéiieur ou égal à i.

Voyons donc comment nous obtiendrons ces diverses intégrales.

460. — Nous avons vu i la fin du n* 468 comment on calculera la prcmî&re.

Pour obtenir la seconde, remarquons d'abord que, d'après l'identité {xvu) (n-SOS) :

gement de variable a: -h * = (, doii i, = i , En appliquant

la r^gle du n* W7, le lecteur vérifiera aisément que nous sommes

ramenés au calcul d'une intégrale de la forme | -| rr^ dt,

(/et m nombres constants).

Cela posé, nous avons

nous sommes donc ramenés (d'après les numéros 464-86) aucalcol

Pour calculer la première, observons qu'elle peut s'écrire 1 f'"' et qui n'est antre cluse que i <'' "^ '')'"*' + C

BBCHBRCBB DBS FONCTIOHE PUIUTITES Hq

comme on le vmt immédiatement en prenant la dérivée de cette dernière fonction.

Quant à la seconde intégrale, nous ne pouvons pas rassembler dans une seuleet même formule les diverses expressions qu'elle aura suivant les valeurs de l'exposant n. Mais nous allons indiquer la méthode qui permettra de la calculer en établissant une formule d'un type que nous avons déjà rencontré plus haut : le type récarrent.