C«loQl de 1 m L. )Af — Désignone crile iatégnle ptr
In, l'indice indiquant la valeur de l'exposant du dénominateur. Noua aurons
Or noBs avons appris an n* 4tS8, h calculer ces deux intégrales.
Noos allons établir d'antre part une égalité on relation {formule réearrente] qai permet de calculer I„^i si l'on connaît In- Puisque nous connaissoiu I|, cette formule (appKquée «n cas ofi A^ i) nooB donnera It; ayant I,, noue sauroiiB calculer !■ (en faisantdans la formule n = a ) et aiaii de suite ; de proche en proche nous pourrons calculer I», quelque grmd que soit l'eipoeant n.
Appliquons à In la formule de l'intégration par parties. En posant
— 3nl
y" "'^ ^ = (i* + Ar+'-
noua avons
Cela posé, on peut écrire
(') Voir tupra p, 437, note i.
à^O CALCUL DES FOrtCTlOHi
ce qui n'est autre chose (') que In — h I„^,, D'où la formule - anl„ — 3iiW„+,,
■" - ((' + h)" anA. !„,., = (an — i)l„ -
formule qui, comme nous l'avons annoncé, fait connaître I^^, lorsque l'on a déjà l'expression de l„.
Ainsi, en effectuant des calculs plus ou moins longs, nous saurons toujours calculer l'intégrale d'une fonction rationnelle supposée décomposée comme il a été dit au n" 374. Lorsque, par contre, la décomposition de la fonctioa n'est pas pratiquement réalisable [voir n" 374], l'intégration en général, ne pourra pas être faite.
462. Intégrale d'une Ion otion rationnelle de linic, oosa^r tang x. — Pour calculer une telle intégrale, on emploiera es général la méthode du changement de variable. Divers change* mcnts pourront être utilisés, qui se trouveront spécialement appropriés aux diverses fonctions que l'on désirera intégrer. Mais il est un changement de variable qui doit être distingué de tous les autres, car, s'il n'est pas toujours celui qui conduit aux calculs tes plus simples, il présente l'immense avantage de pouvoir servir en tous cas : c'est le changement
tg - = (, ou a; =^ a arc tgi; d'où X4 ;= -r^.
En effet, sin x, coa a; et tg a:, sont tous trois fonctions rationnelles de tg - (voir les formules du n" 384). Remplaçant sin a;,
cos X, tg X par leura valeurs— 7^, .t. .^ (n' 384)
dans la fonction rationnelle proposée, et multipliant par x, , c'est-àdirepar --—-T,, nous obtenons une fonction rationnelle de l que nous intégrons par la méthode du n" 469 : dans le résultat nous remplaçons l par tg - .
['i Les deux termes do la première fraction du second membre étant divisés par 1' -}- h.
1 PONCTIONS PHtUITlVES
Exemple. — Soit à calculer i -i-^. Posaottg - ==/,ildevieiit:
463. Intégrales des paissanoea et produltsde oosinuB et de sinus. — Pour calculer les intégrales
sîn^x . dx.
où l'exposant m est un entier positif, il est commode de se servir des formules trigonométriques établies au n" 383. Les puissances C0B"'2, sin''«, peuvent être remplacées par des sommes dont les termes (') sont (à des facteurs numériques près) des cosinus d'arci multiples de x, soitcosx, cos ax, ... coi mx. Ainsi tout i-evient à calculer les intégrales de ces dernières fonctions, ce qui est facile si l'on prend pour nouvelles variables 3X, 3x, ... au lieu de x.
Exemple. — Nous avons (383,i : cos'ar:= - [ i -t- cos ax] . Donc (*) / cos-x . dx = ~ i dx + ^ j cn»2x .dx = -^x + -riia 2X + C.
464. — Supposons maintenant que nous ayons à calculer l'intégrale
I coï" X . siii' X dx,
où nt et /> sont deux exposants entiers. Appliquant les formules du n" 382, nous serons ramenés au calcul d'intégrales de la forme
(') Nous ne parlons pas des termes qui sont des c pTemier terme daui la somme - + - cos ai égale à coa' x [voir n" 38a].
(') Oo a / coBiX.dJ!= ~ I COI 2x.d{'îx],ea prenant -ix pour nouvelle variable (vu la «implicite du calcul, il est inutile de désigner ici cette nouvelle variable par une lettre spéciale) ; la nouvelle intégrale ett égale à sin sx + conttanle d'nprèa le tableau du n* /ihi.
iii CJI.LC01. I
i CMmx.»iaax,dx, oùmetn sont deux eaticrs quelomqiies. Or, appliquons la première formule (7) du a°383. Nous avons
coa mx . sin rtx = - sin (m + n) X -+- ■ sin (n — m) x,
nous sommes donc remenés au calcul d'intégrales de sinus d'arca multiples de x; elles se calouleut comme les intégnles cies oonaus du n" précédent.
