CHAPITRE III Les Mathématiques

thématiques l'arithmétique, la COMplabilité, le toisé et l'algèbre, Article l-—L'arithmétique.

814—Importance de l'arithmétique. L’arithméti. que est nécessaire 10 Pour son utilité Pratique : à la rigueur, on se passe de savoir lire, mais on ne peut se passer de savoir compter ; l’homme Je plus ignorant calcule ce que l’on lui doit et ce qu’il doit Payer ; 2° pour son avantage éducatif : cette étude force l'attention et exerce à un haut degré La réflexion, le J'ugement et le raisonnement suivi.

Ajoutons, pour la Maîtresse, qu’elle trouvera dans cette matière le Moyen de faire apprécier hautement son enseignement par les parents des élèves.

815.—Programme. Ex PREMIÈRE ANNÉE, l’élève doit apprendre intuitivement les nombres de L à 100 et Jes chiffres Correspondants, avec l'addition et Ly Soustraction orale et écrite de ces nombres entre €Ux. On initie intuitivement à l’idée de la multiplication et de la division.

Ex DEUXIÈME ANNÉE, revision des mêmes nombres en ajoutant la multiplication et la division, et enseignement de la numération jusqu’à 10,000, avec les opérations fondamentales sur tous ces nombres, En même temps on étudie les tables de multiplication jusqu’à 12, et on donne intuitivement les notions sur les Monnaies, les pieds et les Pouces.

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EN TROISIÈME ANNÉE, on ajoute aux connaissances déjà acquises des notions intuitives sur les poids et les mesures de capacité, et sur les fractions.

EN QUATRIÈME ANNÉE, on poursuit l’étude des fractions et on initie oralement au percentage.

Le cours MODÈLE poursuit l'étude du percentage et développe les connaissances sur les fractions et l’intérôt simple.

316.—Direction générale. I. Intuitif et pratique : tel doit être le caractère de l’enseignement de l’arithmétique à tous les cours.

1° Intuitif. En conséque.. les objets concrets serviront de point de départ à l’enseignement des nombres, des quatre opérations fondamentales et des fractions. Et tout problème sera rendu concret pour être expliqué et raisonné par les procédés intuitifs au moyen de lignes, de bâtonnets ou autres objets appropriés.

Pour enseigner les premiers nombres, l’institutrice peut utiliser les objets qui appartiennent aux enfants : crayons, livres, doigts de la main, etc. Les lignes au tableau noir, ou encore des dessins d'oiseaux, de papillons, etc., qui fixent davantage l'attention en provoquant l'intérêt, seront utilisés avec le même profit. Mais il est très à propos qu’elle se munisse d’un certain nombre d'objets qui répondront à la variété des connaissances qu'elle doit faire acquérir : un pied pliant (péed-de-roi), la série des monnaies, des poids et des mesures de capacité.

L'enfant comprendra d'autant mieux l'addition et la soustraction

des nombres si on le laisse manipuler lui-même les objets qu'i mettre ensemble et séparer à son goût pour vérifier ce qu faire comprendre. Il n’aura bien l’idée des longueurs, que si on lui met la règle en mains pour mesurer lui-même, et il ne comprendra bien la valeur des poids, des mesures de capacité, des monnaies, que

s’il peut se livrer à une vérification expérimentale,

On ne négligera pas d'exercer les sens de l'élève pour lui faire mesurer à l’œil les longueurs, les distances et les volumes, et estimer les poids à la main. On fait vérifier ensuite.

2° Pratique. L'enseignement est déjà pratique s’il s'exerce sur le concret comme nous venons de l'expliquer, il faut le rendre plus pratique encore par le choix de problèmes toujours en

Tapport avec la vie réelle de l'élève. Il faut avoir soin de Jui donner des notions exactes sur les poids en Cours, les prix cou-

rants des objets, les quantités nécessaires à l'opération qui fait

Parmi les Connaissances Pratiques qui se rattachent à l’arithmé. tique, mentionnons les m i au cadran, les factures, Comptes, reçus, billets (toutes choses deman-

au prix du poisson, afin d’adapter la Pratique de son enseignement aux exigences de la région.

IT. L'enseignement de l'arithmétique doit étre raisonné. Il est parfaitement inutile de vouloir enseigner l’arithmétique sans habituer l'élève, dès les premières notions, à donner d'une manière concrète le Pourquoi de toutes ses Opérations. I] faut lui faire acquérir ]u possibilité de chercher Par lui-même Ja solution

duira à la généralisation (52). Quand l'élève Comprend que la bille qu’il a dans la main droite jointe à celle qu'ila dans la main gauche ui donne deux billes, il faut le pousser à l’addition de deux autres objets visibles, puis absents, et finalement à Ja règle abstraite : un et un font deux.

gravée dans la mémoire intellectuelle, sera pour lui le moyen de faire des recherches personnelles par la déduction. Par contre, certaines formules, comme la règle de la division simple, sont plus propres à embrouiller qu'à éclairer l'enfant.

3° La maîtresse doit éviter soigneusement, chez elle et chez ses élèves, tout ce qui est mécanisme et verbiage : elle exigera toujours que l'élève donne les raisons de tout ce qu'il fait et de tout ce qu'il écrit, et qu'il dispose ses chiffres et les signes qui les accompagnent avec l'ordre qui manifeste tout le temps la suite du raisonnement qui s'effectue dans son esprit. Ainsi sur ce problème : Combien coûteront 30 œufs à 50 sous la douzaine ? Ne laissez pas dire : On divise par 12 puis on multiplie par 30 ; mais faites raisonner l'élève tout le temps que s'effectue le problème : Puisque 12 œufs coûtent 50 sous, 1 œuf coûtera 12 fois moins : 1=?2 ; et 30 œufs coûteront 30 fois le prix d’un, ou 30— 40x10, Lorsque l'élève donne la réponse, exigez qu'il résume le prablème : Si; les œufs coûtent 50 sous Ja douzaine, 30 œufs coûte.. at $1.25 ; et tenez à ce que la réponse se lise des yeux sans difficuiré : 30—59%30—61,25, Ne laissez pas mettre le signe = vis-à-vis le numérateur ou le dénominateur, mais au bout de la ligne qui sépare les deux termes de la fraction, afin qu'il soit visible que la réponse est Je résuktat de toute la fraction.

4° Il faut se méfier de la récitation machinale de raisons appri- Ses par cœur. Dans la multiplication de ÿ par i il ne manque pas d'élèves qui après avoir multiplié la f-action multiplicande par 3, répètent sans la comprendre la formule apprise : Ayant mulliplié la fraction par un nombre 4 Sois trop grand, ma réponse est 4 fois trop grande, il faut que je La rende 4 fois plus petite en la divisant par 4. Pour contrôler, faites expliquer pourquoi on dit qu'en multipliant par 3 on a multiplié Par Un nombre 4 fois trop grand,

Il serait puéril et inutile de faire apprendre aux élèves une catégorie de problèmes sur le même type en variant simplement les chiffres qui entrent dans les données, sans faire raisonner aucune opération. Une telle mécanique ne mérite pas le nom d'enscignement. Ce sont des élèves formés à telle école qui répondent : ‘Je n’ai jamais vu cette règle dans mon arithmétique ”.

IT. Le caleul mental doit être conduit de front avec Le caleul chiffré. Le calcul mental est en effet la base et la clef de l’autre. On fait résoudre mentalement les problèmes faciles avant de densander les problèmes plus difficiles dans le même ordre; les premiers initient aux autres. L’utilité pratique de ce calcul se fera surtout sentir aux élèves qui ne font pas leur cours complet :

la vie réelle leur demandera plus de calcul mental que de calcul chiffré.

317.—Exercices d'arithmétique. Nous ne pouvons appuyer sur chacun des exercices auxquels les élèves seront soumis en arithmétique. 11 suffira de donner aux élèves-maftresses, déjà préparées par leur formation professionnelle, une orientation sur les points fondamentaux et sur les principaux exercices qui s’y rattachent.

L'institutrice doit comprendre d’abord qu’elle n’a que deux choses à enscigrer aux enfants ; les nombres et les quatre opérations fondamentales d’addition, de soustraction, de multiplication et de divison. Toute l’arithmétique est là. Les nombres bien compris, elle donnera les signes qui les représentent ; ce sont les chiffres qui sont aux nombres ce que les mots sont aux idées. Les quatre Opérations fondamentales sont appliquées sous diverses formes : les fractions en sont l'application la plus intéressante. Et les fractions bien comprises donnent la clef de toute la suite de l’'arithmétique. Il n'y a aucun problème qui ne se ïésolve autrement que par l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Il s’en suit que l’enseignement doit appuyer fortement sur les nombres et les opérations fondamentales, et que c’est dans l'étude des fractions que l'élève acquerra cette connaissance raisonnée qui le met en demeure de résoudre tous les problèmes de l’arithmétique en utilisant simplement les notions acquises jusque-là.

Pour procéder avec ord re, nous considérerons successivement la numération, les quatre opérations fondamentales et les fractions. Queiques explications sur La solution des problèmes achèveront de compléter ces notions,

$ I. La numération.

318.—L'initiation aux nombres, Je prendsun crayon dans ma main et Je montre aux enfants :—Combien: ai-je de crayons dans ma main ?— {/n.

Je prends re plume :— Combien de plumes ?—Montrez-moi #n doigt.—Prenez votre livre : Combien de livres ? Je trace une Zigne au tableau :—Combien de lignes ? Montrez-moi une ardoise. Bien mes enfants, vous connaissez bien quand il n'ya qu'une chose :——Est-ce qu'il n’y a qu'un pupitre en classe? Montrez-m'en ”» seul, Est-ce qu'il n’y a qu'un élève ? Montrez-moi un seul élève. V a-t-i plusieurs maîtresses ? Dites combien il y en a :——Une seule. Je m:ts un lot de bâtonnets ou billes devant eux :—Mettez-en #n de côté. Très bien. Je vais vous montrer maintenant comment on représente au tableau qu’il n’y a qu’une chose : regardez bien : combien de crayons dans ma main?-—Un.—Je le marque comme ceci: 1. Combien de plumes ?—Une. Regardez encore : 1. Nommez-moi une chose que Vous avez sous les yeux et je vais l'écrire encore : — Un livre. —Quel livre ?—Celui-ci.—Oui, il n'y en a qu’un; je le marque ici: 1. Etesvous capables de marquer à votre tour le nombre de choses que je vais vous indiquer ?

J'en envoie un au tableau, le moins bien doué, pour lui fournir l’occasion rare d’être en évidence : les autres écrivent sur l’ardoise ou le papier. Je prends ma règle et la leur montre, et je dis en appuyant sur le mot : wne règle. J'examine et fais corriger au besoin.— Très bien; effacez. Regardez ce crayon. Ecrivez combien... Combien d'élèves écrivent au tableau ?—Marquez. Très bien, mes enfants. Quel plaisir nous allons avoir à étudier l’arithmétique comme cela !

C'est assez pour une classe. J'ai donné l'idée du nombre 1 et le chiffre correspondant : je n’en pourrai faire autant à chaque jour. Je n’ai expliqué ni la définition du nombre, ni celle du chiffre : j'ai fait mieux, j'ai appris la chose : les noms nombre et chiffre viendront plus tard ; rien ne presse.

Pour enseigner les nombres suivants, je pars du connu. Enrevisant la classe précédente, je m'assure que les élèves connaissent une chose et le chiffre correspondant. Alors je continue. Prenant un crayon à chaque main, je montre d’abord celui de la main droite. — Combien de crayons ? Puis celui de la main gauche : Cor bien encore ici ? Puis je les mets ensemble. Ils savent généralement qu'il y en a deux, sinon je d2vrais leur dire : 2.—Combien faut.il ajouter de crayons avec un crayon pour en avoir deux P—Je fais un point au tableau.— Combien de points ? Ajoutez-en encore un. Combien en avez-vous ? Faites une ligne sur vos ardoises. Ajoutez-en encore une. Combien en avez-vous ? Combien avez-vous ajouté de lignes à une ligne pour en avoir deux ?—Je mets deux points au tableau : Combien de points ? J'en efface un :— Combien en ai-je ôté ? Combien en reste-t-il ? Je mets encore un lot de bâtonnets devant eux : Otez-en deux. Paul vous avez deux pommes, et vous en donnez üne À l'ierre : combien vous en reste-t-il ? Si l'enfant ne peut répondre, il faut le tenir dans le concret visible : bâtonnets, crayons, boutons,

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