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haut, en les habituant À écrire indifféremment 6 + 3 ou ÿ = 2, À la fin de tous ces exercices, il est important que l'élève comprenne bien, pour l'exprimer, que multiplier c'est Prendre une quantité autant de fois qu l'indique un nombre appelé multiplicateur, et que diviser c'est chercher Combien de fois une Juaniité appelée diviseur est CONfehue dans une autre appelée dividende. Quand je mesure une table avec un Pied, je cherche combien de fois cette mesure est contenue dans la table, je fais une division,

Faire comprendre cette notion est de la Plus haute importance ; nous entendons : la faire comprendre intuitivement, expérimentalement, /a faire découvrtr, L'élève en effet reste avec l'idée vague et fausse que multiplier c'est agrandir un nombre, et que diviser c'est le diminuer, P "€ Pour les nombres entiers. Mais quand on arrive aux fractions, l'élève n'y est plus, et il est tout désorienté de Voir qu'en divisant une fraction par une autre on obtient parfois un nombre entier, et qu en multipliant une fraction par une autre on arrive foujours avec un Produit plus petit que le multiplicande : Ja raison en est qu'on ne prend qu'une partie du multiplicande, la partie indiquée par la fraction multiplicateur.

Au moyen de lignes, on fait découvrir que multiplier %{ par 4, c'est prendre T{ une demi-fois : le résultat est jonc #8. Tandis que si je divise 14 Par !{, je cherche Combien de fois 4 est contenu dans 72, et les lignes feront voir qu'il y est contenu 2 fois,

Quant l'élève à Compris, par l'intuition, la nature de ces quatre Opérations fondamentales et qu'il sait les effectuer mentalement, il ne

faut pas Manquer de lui apprendre à faire les calculs chiffrsé et à dis- Poser ses nombres en Conséquence au tableau Ou sur l'ardoise,

322,- Tables. Toutes ces opérations intuitives ont pour but, nous l’avons dit, de conduire l'élève graduellement à opérer sur des nombres abstraits. Aussi doit-on l'initier à faire toutes ces opérations mentalement, sans le secours d'objets, à mesure qu'il peut se livrer À ces exercices,

Il apprendra donc à additionner et à soustraire les nombres abstraits par des exercices qui complètent les leçons intuitives. On applique les élèves À des exercices comme ceux-ci : { et {1 font 2 ; et

font 3;'et f. sans répéter la somme à chaque nouvelle addition. Reprenez ensuite ‘ Î'et 2 font 3: et 2 font 5; et 2...

Les exercices de SOustraction sont analogues. - Pour les deux Opérations on Peut faire de ces exercices oralement pendant la classe, Puis par écrit lorsque les élèves Sont rendus À leurs Pupitres. On leur donne alors à confectionner des tables d'addition qui consti. ‘attention et de travail personnel d'intelligence

L'enfant apprendra ainsi à additionner, non par des exercices répétés de mémoire, mais Par un travail de construction et de vérification, et par l'usage qu'il fera de cette table quand il aura à aduitionner des nombres. Le sens de la vue aidera les opérations de la mémoire, et le tableau finira par être vu même quand les yeux sont fermés.

Pour construire une table d'addition, on trace un carré divisé en dix colonnes verticales et autant de lignes horizontales. Le petit carré supérieur de gauche ne contient aucun chiffre. Au carré voisin

droite, faites écrire le chiffre 1 et continuez les nombres sur toute la ligne horizontale qui se termine à 9,

A la seconde ligne de la colonne de gauche, faites écrire également { et continuez les mêmes nombres en descendant jusqu'au bas de la colonne qui se terminera également par 9

Ce travail préliminaire étant fait, les élèves sont appelés à compléter le tableau en ajoutant 1 à chaque carreau dans le sens hori-

zontal jusqu'au bout de la ligne, 11 obtiendra alors le tableau que nous figurons ici. (fig. 1).

je | mme mme anmmmmnnane femmes ones l'ananas

me ns | mme me | mme fans | cn

on

a ee lame | cam À lonnemmmnnne lemme l'annee

| eme | emmansnanes Paname nmmermee lon

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me mms | meme mme | amentienmes lenmmmnmr lemme

EE I RS PR OR DICO Fig. 1.

Ce tableau peut intéresser l'élève par les observations qu'il saura

faire lui-même en l'étudiant : 1° les chiffres se suivent dans l'ordre

naturel des nombres, de 1 en { en prenant chaque colonne de haut en bas, et également les lignes de gauche à droite ; 2° si on suit les

DUT rerreenreemememennrnee.

lignes obliquement en montant de gauche 4 droite, les chiffres se retrouvent les mêmes ; 3° en les descendant obliquement de gauche à droite, ils se suivent de 2 en 2,

Mais ils seront surtout utiles, et c’est là leur but, pour l'addition des nombres, Ainsi SUPPOSONS qu'on ait À additionner 4 et 5 : prenons la colonne de 4 et descendons-la jusqu'à la ligne de 5, et nous trouvons la somme : 9, Si je veux soustraire 5 de 7, je vais dans la ligne de 5 et je la suis jusqu'à 7, puis remontant cette colonne jusqu'à la première ligne, je trouve la différence : 2,

Pour ne pas rester mécanique, cette Opération doit commencer sur peu de nombres à la fois, et exercer l'esprit en même temps que la mémoire. Quand cette faculté fait défaut on recourt au tableau. Il ne faut pas construire ce tableau tout d’un COup, mais partie par partie à mesure qu’on ensei'rie les nombres.

Il y a encore moyen de :endre cette opération plus intuitive en faisant disposer des bâtonnets sur une table, dans l’ordre même où les chiffres sont disposés au tableau : 1 d’abord, puis de petits lots successifs de 2, 3... -jusqu'’au nombre voulu. Puis On opère comme sur le tableau.

L'élève connaissant bien l'addition, il sera facile de lui faire dresser une table de multiplication suivant le tableau fig. 2. Marquant le chiffre 1 au premier carré supéieur de gauche, on écrit Ja

série des nombres dans la ligne horizontale et dans la colonne de gauche jusqu'au nombre 9. Prenant ensuite la ligne horizontale de 2, on ajoute encore 2 à lui-même puis au nombre obtenu dans chaque carré : 2 + 2 = 4 5 + 2 = 6... Puis mêmes chese pour chaque ligne : 3 + 3 = 6; + 3 - + PER

Le tableau se fait par les élèves eux-mêm :5 Cès qu’ils puvent additionner quelques nombres et il se poursu 4 mesure qt 2 leurs Connaissances se développent.

On pourra faire observer que les colonnes et les lignes horizontales sont semblables, et servent à un travail d’addition ; ainsi Prenant la colonne du 4, on a 4, 8, 12; 12 est le résultat de 4 + 4 + 4 ou de 3 fois 4, Ce résultat indique qu'on a pris le chiffre de la colonne (4) 3 fois: ce qui est indiqué par le premier chiffre de cette ligne à droite. Si donc je veux connaître le produit de 5 par 6 ou 6 fois 5, je suis la colonne de 5 jusqu'à la ligne 6; au point de rencontre j'ai 30, produit des deux nombres.

D'autre part, si je veux diviser et savoir combien de fois 9 est Contenu dans 54, je suis la colonne 9 en descendant jusqu’à 54, et, suivant la ligne vers la gauche, je trouve, dans la première colonne, le chiffre 6 qui est le quotient de 54 par 9,

Ce tableau finira par entrer dans la tête, moins par l'effort aride de la mémoire que par l'application à le construire, à le vérifier, à le contrôler, par l'usage qu'on en fera et par la vision qui s’en gravera peu à peu dans l'esprit. Onne le fait pas tout d'un coup, ni une fois pour toutes : on le construit à mesure qu'on apprend les nom-

bres, et on le reconstruit aussi souvent que c'est nécessaire pour aider la mémoire.

N. B. On remarque que les élèves-maîtresses enseignent bien les premiers nombres, en les faisant additionner, soustraire, multiplier et diviser, mais qu’elles n’ont pas assez de persévérance pour continuer ce travail pendant tout le temps que l'élève apprend de nouveaux nombres ; et que, rendus en troisième et quatrième année, les élèves ne savent pas leur table d’addition et de “ultiplication après les avoir bien commencées. On compte trop sur la mémoire pour faire apprendre ces tables : elles doivent s’apprendre peu à peu et intuitivement À mesure que les nombres s'enseignent, et il faut y revenir sans cesse à tout stage du cours. Ce qui profite, ce n’est

Pas tant d'aller vite que de faire apprendre à fond tout ce qu'on enseigne.

$ III. Les fractions.

328.—Initiation aux fractions. On initie graduellement av: fractions dès la deuxième année, mäis occasionnellement, st toujours au moyen de l'intuition. Si la maîtresse a une

harnais, b

ni

mers

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mesure d’un pied qui se replie en quatre, c'est très facile de donner par cet objet l’idée de la demie et du quart. Au moyen de lignes au tableau, et de bâtonnets, on fait comprendre la demie, le quart et le tiers, et on apprend à écrire ces valeurs : 1 divisé par deux égale #, etc. Puis graduellement on habitue à donner la moitié, le tiers, le quart des nombres connus.

Il faut se garder, ici comme partout, de commencer par les

définitions : procédons de la chose à l’idée, de l’idée à la formule. Les mots numérateur et dénominateur sont donnés quand les élèves connaissent les fractions jusqu'aux douzièmes.

324.—Procédé général pour l’enseignement des fractions. On ne saurait trop recommander aux institutrices de procéder lentement et d’une manière graduée dans cet enseignement. C’est aller très vite que de faire raisor.ner toute chose, parce que c’est donner la clef de toutes les opérations qui viendront à la suite. On ne doit pas passer d’une fraction à l’autre avant que tout soit clair dans l'esprit et que l'élève applique facilement tout ce qu’on lui a enseigné.

Voici comment je procède : traçant au tableau noir une ligne qui représente un tout, je la partage en deux parties égales. Les élèves déjà initiés diront que chag'e partie est la moitié ou une demie ; je l’écris au bas de chacune de ces parties.

Puis je fais dire combien il y a de demies dans toute la ligne ; combien il en reste quand j'en enlève une, combien je dois ajouter à une demie pour avoir toute la ligne. Je fais les mêmes questions pour des choses qui sont visibles aux élèves, puis pour des choses encore concrètes, mais qu'ils n’ont Pas sous les yeux. Puis je leur demande aussitôt des applications sur des mesures connues : combien de pouces dans un demi-pied ?-de mois dans la moitié d'une année ?d’onces dans une demi-livre ? -— J'ai dix sous dont je veux donner la moitié à Pierre et l’autre moitié à Jacques ; combien donnerai-je à chacun ?

Les 1 étant comprises, une autre leçon se donnera de la même manière sur les tiers. Je fais additionner 1 avec 3, Puis avec à ; je fais soustraire 4 du tout et de 4. De plus je fais constater expérimentalement que 3 est la } de 4. Combien j'obtiens en multipliant } par 2 et par 3, puis je donne des petits problèmes pour appliquer ces opérations.

toits

En partageant une ligne en quatre parties égales, j'obtiens des quarts que je ferai étudier de la même manière, en faisant additionner et soustraire, Puis je ferai découvrir expérimentalement que 4 est la moitié de 1}, par conséquent que =, —que 3—1{,—que +=}, et que —4=/7{.....Ceci, on le fait voir et constater expéri-

mentalement : i; ne s’agit pas de faire rien apprendre Par cœur en répétant des formules.

Dans des leçons subséquentes, je procéderai à la subdivision des + pour obtenir des huitièmes, puis des seizièmes, en faisant découvrir la relation qu’il y a entre les seizièmes, les huitièmes, les quarts et les demis, de manière que l'élève vos et comprenne que }—?—{—.4 ; que r3—la moitié de 1, le quart de }, ou le 1 de 1. 11 doit se familiariser avec toutes ces valeurs jusqu’à pouvoir additionner les seizièmes avec les quarts, les soustraire ; Comprendre et dire sans hésitation que 3—#-}, et qu’en ajoutant re à 3 On obtient ?, etc.

La ligne de 1 est également subdivisée en sixièmes puis en douzièmes, puis on montrera les relations qu'il y a entre 1% à, +5 et 1, etc.

Les fractions des cinquièmes,des dixièmes et des vingtièmes s’enseigneront de la même manière. On devra se faire au tableau noir

un tableau semblable à celui de la figure 3, pour expliquer toutes les fractions.

î + ou

À mesure que ce tableau se parfait sous les yeux des élèves, il faut faire constater expérimentalement ce qui rend une fraction 2, 3 fois plus grande ou plus petite ; que deux fractions qui n'ont pas les mêmes termes peuvent avoir la même valeur ; qu’on peut multiplier ou diviser les deux termes d'une fraction par le même nombre sans changer la valeur de cette fraction, comme Y5=$-1-1

—{=3; et que de deux fractions ayant la même valeur, il faut toujours, en pratique,

prendre celle dont les termes sont les plus simples.

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Fig. 3

825.— Problèmes d'application sur les fractions. Il est nécessaire d'appliquer la Connaïssance des fractions par des problèmes gradués. Ces problèmes sont résolus

d’une manière intuitive au moyen des lignes qui servent à l’enseignement des fractions.

di L (| mm mm |

Soit le problème Suivant: Les deux tiers de ni $24. Quel est iout mon argent ?

Je procède sur une ligne comme suit :

Après une série de s

olutions intuitives de ce genre, j'amène mes élèves à raisonner la solu

tion chiffrée comme suit :

Problème : 3 - $24

SE

Solution : È — 24

oh à

Soit un autre plus c: npliqué :

Un voyageur Perd | de son argent ; 11 dépense la moitié de son reste, puis 1! donne Le i de Son nouveau reste. Finalement il Dossède

encore $18.. Combier avait-1? en partant ?

3 | 3 | 3 | 3 | 3 | Perdu dépensé donné 5 — $18 P

Solution — 3. — $18 RUE À.

Li So :