Définition de la fraction

sième année, l'élève compren jusqu'aux douzièmes, il faut

À la fin de la troiant bien la pratique des fractions lui faire découvrir que la fraction est une ou plusieurs parties de l’unité divisée en plusieurs parties égales, que le dénominateur indique en combien de parties on a partagé le tout, et que le numérateur fait voir le nombre de par-

ties qu’on a prises de ce tout } Marque que j'ai trois parties d’un tout partagé en quatre. Cette notion est intuitive : i] suffit

on argent égalent

d'ouvrir les yeux sur une ligne de démonstration, poi:. la comprendre,

Mais arrivé en quatrième année, il faut apprendre à multiplier et à diviser une fraction par une autre fraction. Il est alors nécessaire de faire trouver une définition plus abstraite, indispensable pour raisonner la multiplication et la division d’une fraction par une autre fraction. Cette définition abstraite est la suivante : Une fraction est un quotient : le dividende est le numérateur, le diviseur est le dénominateur et le quotient est la fraction elle-même. Ainsi si je divise 1 par 2, 2 est contenu dans 1, 4 fois, et j'ai pour réponse }. C'est romme si je disais 1+2 =.

827.—Marche à suivre pour faire découvrir cette définition. Remarquons d’abord qu’il ne s’agit pas de donner aux élèves cette définition, ni de la faire apprendre par cœur. Îl faut faire observer ce qu’ils ont appris dans l’étude intuitive des fractions pour leur faire constater cette définition qui est comme le résumé de toutes leurs connaissances préalables. Prenons le temps voulu pour que tout soit raisonné, enchaîné et clair dans l'esprit. Dans cette matière, vouloir aller vite, c’est se condamner à ne pas marcher.

Pour faire découvrir cette définition, il faut que l'élève comprenne d’abord la nature de la division telle que nous l'avons expliquée précédemment (521). Je poursuivrai cette étude en faisant observer deux mesures, l’une d’un pied et l’autre de deux. Celle d’un pied est contenue deux fois dans l’autre, et celle de deux pieds n'est contenue que %Z fois dans celle d'un pird, et } de fois dans 6 pouces ; ou encore je ferai cet exercice au tableau sur deux lignes dont l’une contient l’autre 2, 3, 4... .fois.

La petite ligne représentant 1 pied tient lieu de dividende ; l’autre ligne, représentant 2 pieds (diviseur), est contenue dans l’autre....combien de fois ?—14 fois. C'est donc 1 divisé par 2, et la réponse, ou le quotient, est exprimée par X ; par conséquent le numérateur 1 est le dividende, et le dénominateur 2 est le diviseur.

Je reprends l'opération avec deux lignes dont l’une contient l’autre 3{ de fois, et je fais découvrir que 34 est le quotient de 3 divisé par 4 ; c’est donc le 1{ de 3, ou une quantité 4 fois plus petite que 3. Les mêmes constatations peuvent se faire sur ä, + et $.

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L'élève connaît déjà que % égale 3 fois le Y% dei. La notion que je lui donne présentement lui ouvre un horizon nouveau. Je la grave davantage par un procédé intuitif qui va lui faire voir que les #% de 1 sont la même chose que le 1/ de 3.

Je suppose le partage d’une pomme en 4 parties et j'en donne 3 parties à A :ilen a les 3, 34 de 1. Puis je partage 2 autres pommes, chacune également en 4 parties, et je donne à B la partie qui reste de la première et une autre partie de chacune des autres pommes : il a le Z{ de chacune des 3. B a-t-il autant que À ? Absolument oui ; or, À a les 34 de 1 et B le % de 3.

Représentant cela par des lignes au tableau, j'aurai le résultat suivant :

} de 3

Il devra donc rester bien net dans l'esprit que la fraction ÿ est une quantité 4 fois plus petite que 3, que 3 est 3 fois plus petit que 2....et qu'en général u’e fraction est le quotient d'un numérateur divisé par un dénominateur.

328.— Application à la fraction des principes de la division. Ceci étant compris, il faut faire appliquer à la fraction les principes suivants qui s'appliquent à la division, principes auxquels les élèves ont déjà été initiés dans l’étude des fractions (324), mais qu’il faut découvrir intuitivement dans une étude systématique. ;

1° Multiplier le dividende c'est multiplier le quotient par le méme nombre.

2° Diviser le dividende, c'est diviser Le quotient par le même nombre.

3° Multiplier le diviseur, c'est diviser le quotient pur le même nombre.

4° Diviser le diviseur, c'est multiplier le quotient par le même nombre.

5° Multiplier ou diviser à la fois le dividende et le diviseur par Le méme nombre ne change rien ART quotient,

ler Lg it et :

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Ces principes peuvent être découverts par l'intuition. Par exemple, je veux chercher combien de fois le pied pliant (diviseur) est contenu dans la longueur du tableau (dividende), quand il est replié en quatre. En le déployant à sa moitié, puis à ses 3/ et enfin à toute sa longueur, je multiplie le diviseur par 2, par 3 et par 4, et il est évident qu’il est contenu un nombre de fois moins grand dans le tableau, en d'autres termes que le quotient diminue d'autant de fois.

329.—Multiplication des fract. ns. Divers cas peuvent se présenter : 1° Une fraction est muilipliée pur un entier. Ce cas a déjà été résolu dans la confection des tableaux de fractions : multiplier ÿ par 2, c’est prendre 2 fois j — s,

2° Un entier est multiplié Par une fraction. C'est pratiquement la même chose, puisqu'il n'y a qu'inversion de l'ordre des facteurs : 2 x 3% = $ Cependant on prépare la solution du 3ème cas en expliquant que j’ai à multiplier 2 par un nombre 4 fois plus petit que 3, qu'en multipliant donc par 3, mon multiplicateur est 4 fois plus grand que le multiplicateur véritable, par conséquent que mon produit est 4 fois trop grand — 6. Voilà pourquoi je dois le diviser par 4 = $.

3° Multiplication d'une fraction Par une autre fraction : 24 par 4. Il s’agit de multiplier 24 par un nombre 5 fois plus petit que 4. Je multiplie le numérateur par 4 comme expliqué au fer cas. Mais 4 est 5 fois plus grand que le multiplicateur véritable, et donc mon produit sera 5 fois plus grand qu'il ne doit être ; il faut donc diviser ce produit par 5 : ce qui se fait en multipliant le diviseur. D'où la solution 33 x # =

3380.—Division des fractions. Le premier cas n'offre aucune nouveauté à l'élève. C'est /4 division d'une fraction par un entier : 3 + 2. L'élève a déjà raisonné qu’il peut également multiplier le dénominateur par 2 ou diviser le numérateur par le même nombre et obtenir le même résultat — #4.

Intuitivement je puis vérifier cetté opération comme ceci: diviser $ par 2, c'est voir combien de fois 2 est contenu dans %. Je mesure ÿ sur une ligne, au-dessous de laquelle je trace une ligne double de la première, représentant par conséquent 2, et je la partage entiers. Oril est visible que 74 seulement de la deuxième ligne entre dans les 2 de l’autre.

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