MERE

Le 2ème cas est celui d'uxz nombre entier divisé par une fraction : 3 + 4. La solution se raisonne comme dans les deux derniers cas de la multiplication, en partant de la définition abstraite de la fraction. Diviser 3 par ä, c’est le diviser par un nombre 3 fois plus petit que 2. Je div'se donc d'abord par 2=ÿ ; mais non diviseur est 3 fois plus granc. qu'il ne doit être, et en conséquence ma réponse est 3 fois plus petite qu'il ne faut. Je la rendrai donc 3 fois plus grande en multipliant le numérateur par 3 ; et j'ai} x 3—}

Le 3ème cas se résout d'après les mêmes principes. (C'est celui d'une fraction divisée par une autre fraction : } + %. faut diviser #4 par un nombre 5 fois plus petit que 2. Divis:int d'abord par 2, c'est-à-dire multipliant le dénominateur, j'ottiens ,%4, quotient 5 fois trop petit ; je le rends 5 fois plus grand en multipliant le numérateur par 5: ?15—1%.

N. B. Nous avons toujours remarqué que les élèves ont une forte propension à répéter ce raisonnement par cœur sans le comprendre. La causé réside dans le fait qu'on ne comprend pas bien la définition abstraite de la fraction, c'est-à-dire que % est le quotient de 2 + 5, par conséquent 5 fois plus petit que 2, de même que 1 ou 2 est 5 fois plus petit que 10.

331.—Modèle de préparation d’ure leçon sur la multiplication d’une fraction par une autre fraction (Cf. 162).

I. Fonp. a) En analysant la règle que je dnis enseigner, je trouve les points suivants : 1° Il faut multiplier le numérateur de la fraction multiplicande par le numérateur de la fraction multiplicateur ; 29 par cette opération j'aurai multiplié la fraction elle-même par un nombre entier, par conséquent plus grand que le mutiplicateur réel qui est le quotient de ce nombre par le diviseur ou dénominateur ; 3° le produit donné sera donc trop grand ; 4° pour le ramener à sa valeur, je devrai diviser ce produit par le diviseur de ce nombre ou le dénominateur.

b) Mon but précis sera de faire découvrir cette opération sans m'occuper encore de faire apprendre la règle.

c) Connu des élèves : Ils doivent savoir : 1° qu'une fraction est un quotient et que # est 5 fois plus petit que 4 ; 2° que multiplier le numérateur d'une fraction par un entier multiplie cette fraction ; 3° que multiplier le dénominateur par un nombre entier, c'est diviser cette fraction. Je me suis assuré dans les classes précédentes que ces principes n'offrent aucune obscurité à l'esprit des élèves : autrement il serait inutile d'aborder cette leçon

d) Inconnu des élèves : la règle seule. Toutes les opérations

Ne bre gene dei Poe à

ii} | |

nécessaires pour appliquer la règle sont Cannues : je n'ai qu'à guider et à faire rendre compte.

IT. MANIÈRE D'ENSEIGNER. 1° Répétition : la leçon précédente sur la multiplication d’un nombre entier par une fraction.

2° Introduction : Nous avons déjà vu deux cas de multiplication des fractions, nous venons de revoir le deuxième, Il nous reste encore à en voir un qui ressemble beaucoup À l’autre : c'est la muiti- Plication d'une fraction Par une autre fration, Vous allez découvrir Vous-mêmes comment procéder, je vais seulement vous aider. Vous savez ce que nous avons fait pour multiplier 2 par 4 ; que veut dire # ? Quelle est sa valeur Par rapport à 4 ?

3° Marche : a) Procédé tnductif. J'emploierai les exemples MAÉ ELÉCETÉSES CS de

b) Moyens intuitifs : Le tableau noir seulement. A la fin je me servirai des lignes suivantes pour faire vérifier qu'en multipliant LA par & c’est-à-dire en prenant 3{ deux tiers de fois, j'ai pour produit 5,

2 LL __X Eu 3 de Y | Hdez ;

c) Forme : Interrogative tout le temps. Orientation des questions : faire dire : a) que ÿ est le quotient de 3 par 4, b) qu'il est 4 fois plus petit que 3; c) quel eftet est produit sur } quand je muitiplie par 2 et Pourquoi ; d) ce qu'il faut faire Dour ramener le produit à sa juste valeur ; e) quel effet est produit sur ? quand on multiplie le dénominateur par 3. Ce sont les grandes lignes de mes questions, je ne m’en laisserai pas écarter ; j'y reviendrai aussitôt si je suis obligé de poser des questions secondaires.

d) Comment synthétiser et résumer. Après chaque exemple je ferai redire rapidement ce qui aura été fait, en faisant raisonner chaque cas. Je ne m'occupe pas encore de la règle pour ne pas suggérer l'envie de s’arrêter à la formule sans la comprendre,

e) Comment graver dans l'intelligence : Poser des questions comme celles-ci : pourquoi le produit est-il plus petit que le multi. plicande ? En multipliant 3 par ÿ quelle partie ai-je prise de H ? Combien de fois ai-je pris le 4 de ? ? Donnez donc une démonstration intuitive de cette opération (suivant le tableau ci-dessus),

4° Applications : avec les exemples ci-dessus. Je pourrai au besoin en ajouter, en prenant des fractions dont les termes sont trés

simples. Je ne m'occupe pas encore de simplifier pendant l'opération, je m'en tiens À mon but précis.

5° Devoir: } x },et3 x 3. Vous me direz si le produit de la deuxième opération est plus grand que le produit de la première ?— Combien de fois? Et pourquoi ? (1).

S V. Les fractions décimales.

332.—Procédés pour l'enseignement des fractions décimales.— Les fractions décimales s’enseignent intuitivement au moyen d’un tableau que la maîtresse tracera soit au tableau noir, soit, d’une manière plus permanente, sur une feuille de papier d'emballage qui serait exposée aux yeux de la classe. Ce tablenu devra consister en un carré partagé en dix bandes horizontales et en autant de bandes verticales dont chacune représente ;!. du grand carré. En s’entrecoupant, les lignes qui déterminent ces bandes constituent 100 petits carrés dont chacun représente ;!, de la bande et r$o de tout le carré.

En procédant graduellement on fera comprendre les ;1- au moyen des bandes et les 150 AU moyen des carrés; en même temps, l'élève pourra constater que 1 bande de ;; est équivalente à 2 ; en partageant un petit carré (145) en dix nouvelles petites bandes, il pourra comprendre que ;k5 — .49, et aussi que x5 OÙ 555 = 104%.

On procède de la même manière pour toute partie du tablean : , 8... 180. rês.

Ces moyens intuitifs sont employés pendant longtemps pour familiariser les élèves avec les fractions décimales, et l’on y

(1) Nous nous faisons un devoir d'exprimer à M. John Ahern, professeur de mathématiques À l'Ecole normale Laval, de Québec, la reconnaissance que lui doit le personnel de l'enseignement primaire pour les travaux lumineux qu'il a publiés sur la pédagogie de l'arithm tique depuis de nombreuses années, tant dans / Enseignement primaire que dans le traité de pédagogie publié avec sa collaboration. Dire qu'il nous a insp'ré serait trop peu dire. Lorsque nous avions à suivre les écoles dans le ministère paroissial, il nous a révélé la possibilité de faireraisonner toute l'arithmétique aux enfants et de leur rendre claire toute la théorie des fractions : ce que nous avions cru impossible jusque 1À nous le voyons mettre en pratique tous les ans à l'école d'application.

reviendra chaque fois qu'il sera nécessaire de le faire ; mais on ne doit pas oublier qu'il faut graduellement, comme en toute chose, habituer l'élève à passer du concret à l’abstrait et au général qui est le but final de ces procédés intuitifs.

333, — Définition. Quand l'élève connaît par l’observation que la fraction décimale a toujours pour dénominateur 10, 100, 1000....on lui en donne la détinition.

334. — Ecriture des décimales. A mesure que l’élève acquiert l’idée nette d'une décimale, on le fait passer de l'expression de la fraction ordinaire qu'il connaît : ,1,, , à celle de la fraction d'cimale sans exprimer le dénominateur : .1,.2, etc., en surveillant bien l'emploi du point que sa légèreté lui fait oublier souvent,

Puis quand il connait jusqu'aux millièmes et qu’il peut les écrire correctement, on fait découvrir que les principes de la numération s'appliquent aux décimales aussi bien qu'aux nombres entiers, à savoir : 1° qu'une unilé d'un ordre queléonque vaut un dixième de l'ordre immédiatement supérieur. Ex.: dans 11, le chiffre de droite représente une unité, et celui de gauche représente 10 unités ou une dizaine ; et dans la fraction décimale «11, le chiffre de dro':: vaut 1 centième et celui de gauche vaut 1 dixième ou dix # plus ; 2° qu'une unité d'un ordre quel-

pe

conque vaut dix unités de l'ordre im médiatement inférieur.

Pour graver davantage ces connaissances on fait souvent analyser les décimales comme on a fait dans les nombres entiers, par exemple dans .324, il y a 3 dixièmes, 2 centièmes, 4 millièmes. Le tableau le fait constater intuitivement.

Ces notions s’élucident encore par le soin qu’on apporte à faire multiplier ou diviser par 10, 100... .une fraction décimale donnée.

335. — Opérations fondamentales appliquées aux fractions décimales. Nous ne disons rien de la ma-

nière d'enseigner l'addition et la soustraction des décimales,

sinon pour recommander de faire raisonner toutes choses et de ne faire rien apprendre qui soit de pur par cœur.

Ainsi en multipliant .5 par 3—15,il faut faire raisonner comme suit la mise du point : j'ai multiplié comme si 5 était un nombre entier, mais je devais multiplier par ,, de 5 ou un nombre 10 fois plus petit que 5. Le produit est donc 10 fois trop grand, et je dois le diviser par 10, ce qui va me donne 1. 5.

Les mêmes raisonnements s'appliquent en division d’après la connaissance des principes rappelés au no 3928.

Nous croyons toutefois simplifier les quatre règles de division en les réduisant à deux,

Le premier cas, qui pourrait aussi bien se généraliser avec les autres, est celui d’une division dars laquelle le diviseur est un nombre entier. On opère sans tenir compte du point, comme si le dividende était un nombre entier ; exemple : .5 + 5—1 ; puis, sur le quotient on raisonne ainsi : j’° divisé un nombre 10 fois plus grand qu'il ne doit être, par conséquent le quotient est 10 fois trop grand ; je dois donc le diviser par 10 ; et la réponse est . |], réponse exacte.

On peut garder cette règle attendu que celle que nous donnons en second lieu rendrait parfois l'opération plus longue.

Dans tous les autres cas, nous proposons cette règle unique que nous trouvons d’une application pius simple en pratique. Cette règle s’énonce ainsi : Pour opérer une division de fractions décimales, on réduit les deux termes de la division en nombres entiers ; la division s'effectue alors sur des nombres entiers.

Exemples : .5 + .5=5 + 5=1 ; 5 + ,5—50 + 5=10 ; .05 + .5—5 + 50=—.1 ; 19.2 + .0012= 192 000 + 12= 16 000.

Cette règle est l'application du 5ème principe de la division (328): En multipliant les deux termes d'une division par un même nombre, on ne change pas le quotient.

Pour savoir par quel nombre multiplier, il faut aller au terme de la division qui contient le plus grand nombre de décimales; dans le dernier exemple, c'est .0012; on fait disparaître

“à pr mit estenmsinetteent En CL ab in La

eee Pie bre) hanbé sosie. hi ds at

le point pour réduire en nombre entier. Par le fail même on a multiplié cette fraction par 10 000 ; pour ne rien changer à la valeur du quotient, je dois également multiplier l’autre terme par 10 000 ; ce qui me donne dans le même exemple: 192 000.

S VI. La solution des problèmes.

336.— Importance des problèmes. Les problèmes sont comme le but final de l’enseignement de l’arithmétique. Aussi doivent-ils occuper la majeure partie du temps consacré aux diverses parties de cette matière. Partout, et à tous les degrés, ils se présentent comme le moyen nécessaire de raisonner les notions apprises et de les appliquer.

837.Direction générale. I. Les problèmes doivent être choisis avec soin. Pour répondre à cette condition, il seront 1° en rapport avec Les parties étudiées : 2° gradués de manière à conduire l'élève du plus facile au plus difficile, d’une opération simple à une opération plus complexe ; 3° eructs et vrais dans leurs Jonnées: 4° pratiques ou appropriés à la vie usuelle ; 5° enchaînés de manière que les opérations successives n’apparaissent pas comme autant de choses cioisonnées, mais le développement gradué d'opérations déjà connues; 6° variés pour éviter la monotonie et l'ennui.

IL. Il est très à Propos de faire inventer des problèmes par les élèves. On ÿ arrivera en les amenart à observer les conditions dans lesquelles leur vie usuelle se déroule, et les problèmes qu’elle réclame relativement à la vie, à l’entretien des maisons, à la culture et à l'amélioration de la terre. L’arithmétique peut devenir ainsi l'occasion d’un enseignement moral très pratique.

IIL.—L'énoncé des problèmes doit étre clair, précis et bref. — On exige que l'élève écrive au-dessus des chiffres ou ailleurs les formules qui mettent en relief les données du problème, afin que la question posée se détache d’une manière visible,

IV.—La solution des problèmes doit s’opérer par des procédés concrets et aussi si mples que possible. On rend la solution

on concrète par l'usage du dessin qui représente aux yeux les donla nées du problème, par l'emploi de lignes comme nous en avons 10 (léjà donné des exemples, de figures géométriques, etc,

On simplifie la méthode en généralisant l’ procédés, par exemple celui qui est ordinair le nom de méthode de la réduction à l'unité.

emploi de certains ement connu sous

8 On simplifie les opérations par l'emploi de certaines Abrévia- . tions qui rendent le travail plus expéditif. Ainsi au lien de multié plier par 25, on divise par .04(190-25), Par exemple 328 x 25 — san —

8 200. Au lieu de prendre les ? d’un nombre par une double opé- 5 ration de multiplication et de division, on en prend les .4 (324% i— : 324*.4—129.6. Graduellement les élèves sont initiés à c

es simplifications.

338.—Manière de rendre concrète la solution | d’un problème.—Pour rendre concrète la

blème, on prend des objets concrets, avec les petits commen- Sants, ou encore on illustre par un dessin, tel qu’expliqué par le paragraphe IV du no précédent. Les élèves y sont initiés dans :

la numération et dans l'étude des fractions. Voir un exemple au no 325.

solution d’un pro-

cts A 8 an ag so Ed éae Le

Voici un exemple pour les élèves plus avancés : /4 différence entre deux nombres est 66 ;: Le Petit est contenu 4 fois avec un reste de 12. Quels sont ces nombres ?

Je construis deux lignes pour illustrer ce problème. ligne supérieure représente le petit nombre. Quand je laf une fois dans la grande ligne qui repré différence est 66 ; si je la porte 4 fois, ou 3 fois de plus, il reste sur la grande ligne 12. Or, ces 7 fors la longueur de la petite ligne ont fait perdre 54 À la première différence : 66—12 — 54, Ce nombre représente donc 3 fois le petit nombre. Et j'ai la solution suivante :

dans le grand

La petite ais entrer î sente le grand nombre, la !