Discuter et construire la courbe

EXAMEN ÉCRIT

889*. Quelle doit être I» longueur de la |base supérieure CD (fig. 86) d’un trapèze rectangulaire ABCD , dont la base inférieure AB est donnée, pour que , le trapèze étant suspendu par l’ extrémité supérieure C du côté oblique , la base reste horizontale.

890*. Etant donné la surface , le périmètre ’.et l’un des angles d’un triangle , calculer le côté opposé.

891*. Discuter et construire la courbe y 3 — 3a#y-)-:r 3 =0.

892*. La première année de l’ère chrétienne était la 10 e du cycle solaire , période de 28 années juliennes après lesquelles les jours de la semaine reviennent dans le même ordre aux mêmes jours du mois; la 2 e du cycle lunaire , ou nombre d’or, période de 19 années juliennes après lesquelles les nouvelles lunes reviennent aux mêmes jours de l’année ; enfin la 4 e d’une autre période de 1S années juliennes , appelée cycle d’indiclion , relative à certains actes administratifs chez les Romains :

Quelle est dans le 19 e siècle l’année qui compte 27 de cycle solaire, 15 de nombre d’or et 11 de cycle d’indiction?

895. Partager un tronc de cône en deux parties dans le rapport de m à n par un plan parallèle'aux deux bases.

894*. Un cercle C (fig. 88) roîftu sur la circonférence d’un cercle O immobile ; pendant ce mouvement un point M pris au dedans ou au dehors du cercle mobile, et invariablement fixé au centre , décrit une courbe; dont on demande l’équation.

(Equation générale des épicycloïdes, en termes finis.)

EXAMENS

395. Déterminer la surface du pentédécagone régulier en fonction du rayon du cercle circonscrit.

596*. Etant donné une courbe du 2 e degré , mobile autour de son sommet , [on mène à cette courbe , dans chacune de ses positions , une tangente parallèle à une droite donnée : trouver le lieu géométrique des points de rencontre de ces tangentes avec Taxe de la courbe.

397*. Inscrire dans une ellipse donnée un triangle équilatéral dont un des côtés passe] par le centre.

598. Quel est le nombre d’éléments qui , combinés 4 à 4 , donnent 35 combinaisons ?

599*. Inscrire dans une courbe du 2 e [degré donnée un triangle dont les trois côtés soient assujettis à passer par trois points donnés.

600*. Etant donné deux plans inclinés formant avec l’horizon des angles donnés e et 6', et deux sphères C et C r (fig. 94) inégales , mais chacune homogène , et de rayon r et r', de sorte que leurs poids p et p' soient exprimés par

P = J" xdr 3 , ^=| 7r i’r' 3 ,

d et d r étant leur densité; mettre ces sphères en équilibre entre les deux plans en les faisant appuyer chacune sur un des plans et l’une contrg l’autre.

EXAMEN ECRIT

COMPOSITION TRIGONOMÊTRIQDE.

La composition trigonométrique consiste dans la résolution d’un triangle dont trois éléments sont donnés , parmi lesquels au moins un côté ou plus généralement une fonction quelconque des côtés. Les candidats se serviront des tables de sinus.

Quoique le calcul numérique soit le but principal de cette composition, il est important de démontrer les formules trigonométriques dont on fera usage , ainsi que les diverses transformations qu’on peut être obligé de leur faire 6ubir afin de les approprier au calcul logarithmique.

Les calculs seront disposés avec ordre et clarté , de manière à présenter en tableau la suite des opérations.

Les approximations seront faites convenablement tant pour les angles que pour les côtés , et le résultat sera vérifié , si le temps le permet , par une méthode différente de celle qu’on aura employée pour la solution directe.

Les candidats pourront s’exercer à résoudre les problèmes trigonométriques suivants :

601*. Etant donné les trois côtés d’un triangle

déterminer les trois angles A, B, C.

EXAMENS

602*. Etant donné deux côtés et l’angle compris

déterminer le troisième côté et les deux autres angles , c. A, B.

603. Etant donné un côté et les deux angles adjacents a=143,9, B =75° 24' 30", C 48° 39' 20",

déterminer les deux autres côtés et le troisième angle,

604. Etant donné deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux o= 78*44, 0=106*27, A =42° 15^ 50'',

déterminer le troisième côté et les deux autres angles ,

605*. Etant donné les angles et la surface

déterminer les trois côtés a, b, c.

606*. Etant donné deux côtés et la différence des angles opposés ,

déterminer le troisième côté et les trois angles, c, A , B et C.

examen écrit.

607. Etant donné les angles, et l°Ia somme, 2° la différence de deux côtés ,

déterminer les trois côtés a, 5, c.

608*. Etant donné un angle , le côté opposé, et 1° la somme, 2° la différence des deux autres côtés ,

déterminer les deux autres angles et les deux autres côtés B, C , b et c.

609*. Connaissant un angle , le côté opposé et le rectangle des côtés qui comprennent cet aDgle

déterminer les deux autres côtés et les deux autres angles B, C, 5 et c.

610*. Etant donné les angles et le périmètre

déterminer les trois côtés a, b, c.

EXAMENS