BA + D

et pour condition de tangence

(Ba-j-D) 2 — (B 4 a 2 — 8BDa — 4D 2 )=0;

d’où l’on tire D= — Ba , et par suite

Il ne reste plus qu’à exprimer que la distance de ce point à la directrice est égale à la 'distance de ce même point à l’origine.

Pour cela , comme l’équation du diamètre de la parabole est

l’équation de l’axe , qui doit nécessairement passer par le foyer, sera

222 SORTIONS DEVELOPPEES,

Et si l’on désigne par «, |3, les coordonnées d’un sommet quelconque , on aura pour première relation

En outre [la directrice , étant perpendiculaire à Taxe et devant passer par le point dont les coordonnées sont 2*, 2$, aura pour équation

Vi — 2f3=|(>— 2«),

La distance du point de contact trouvé ci-dessus à cette droite sera , d’après la formule connue ,

VhT

et celle de ce même point à l’origine ,

•I/hZ

lx '

Egalant ces deux valeurs et réduisant , on trouvera, en prenant le signe supérieur,

équation, d’une çissoïd.e renversée,}, En prenant le signe inférieur.

«0B 2 +« 2 — aa)=0,

qui donne à la fois l’axe des ordonnées et un cercle construit sur la distance du foyer à la tangente comme diamètre : résultat qu’il était facile de prévoir , d’après la propriété connue de la parabole.

155 et 156. Soit x la hauteur du plan sécant au dessus de la base , et y le rayon de la section circulaire , on aura les équations

frR 2 -j-ry 2 \ . nX i tR 3

& étant le rayon de la sphère. Eliminant y entre ces équations, et faisant, pour abréger, R=l, on auraj

Cette équation a toutes ses racines réelles. En effet , appliquant la méthode de M. Sturm , on a

et faisant successivement x=r-f-oo , x=z- — ao , le nombre de variations gagnées étant égal à 3, l’équation proposée n’a que. ^es racines réelles.

^'ailleurs, en faisant x=0, on gagne deux variations ; donc l’équation a deux racines positives.

Ces racines sont comprises entre 0 etl et entre 1 et 2; mais, d’après la nature de la question, x devant être essentiellement positif et < l, il: suffira de chercher la racine comprise entre 0 et 1.

Substituant dans l’équation (F) x =— >

oü obtient

substituant dans celle-ci ÿ=2-J--> on trouve

d’où enfin

et les réduites consécutives

ou en décimales a; =0,347 , à moins de 0,001 près.

157. L’origine des axes rectangulaires étant placée au centre O de la première, et l’axe des x dirigé suivant la ligne des centres OC , si l’on désigne par d la distance des centres , par «, p, les coordonnées d’un des points de rencontre des tangentes, et enfin par r et r' les rayons des circonférences données , dont les équations sont

L’équation d’une tangente en un point quelconque T(p, y) de la première , sera

qy+px=r 2 , (3)

y et .z .désignant les coordonnées d’un des points d’intersection de cette tangente avec la seconde circonférence.

En outre la corde de contact des deux tangentes menées à la seconde circonférence par le point I («, p) sera

Or, les équations (3) et (4), représentant une seule même droite TMN, il faut et il suffit que les constantes des deux .équations, résolues par rapport à. y, soient identiquement les mêmes ; résolvant ces équations, on obtient

Egalant les constantes , on aura a — d p

r»+( *-d)d ij i 3 q *

Si le point T (p, y) était déterminé sur la première circonférence , l’élimination directe entre les équations (8) et (6) ferait connaitre les coordonnées a, p, du point de rencontre I correspondant à la tangente sécante TMN.

Mais si l’on élimine p et y entre les équations (1), (5) et (6), l’équation résultante en «, p, représentera le lieu géo-

métrique des points de rencontre des couples de tangentes menées à la seconde circonférence par les points d’intersection avec elle de toutes les droites tangentes à la première. Les équations (5) et (6) donnent

et, substituant ces valeurs dans l’équation (1), on trouvera , toutesréductions faites ,

r 2^| (a < /) 2 (r 2 d 2 )2rfr' 2 (a— d)— r' 4 ;=0 , (F)

équation qui représente une ellipse , une hyperbole ou une parabole, selon que r est plus grand, plus petit que d ou égal à d.

Si d— 0 , l’équation (F) se réduit à

et représente un cercle.

Si d=r=r', elle devient

üÜ ^2 ’

|?-2r(«— sf)= # >

et représente une parabole ayant pour axe la ligne des centres et pour paramètre le diamètre de chacun des cercles donnés, le sommet étant situé au milieu du rayon.